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2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式 课件(人教B版必修4)


第二章

平面向量

2.3.3

向量数量积的坐标运算与 度量公式

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第二章

平面向量

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平面向量

1.向量数量积的坐标运算
已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=a1b1+a2b2 ,即两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积 的和. 2.两个向量垂直的条件 如果a⊥b,则 a1b1+a2b2=0 ;反之,如果a1b1 +a2b2 =0,则a⊥b.
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平面向量

3.向量的长度、距离和夹角公式 已知a=(a1,a2),则|a|= 等于它的坐标平方和的算术平方根. 如果A(x1,y1),B(x2,y2),则 = . , 即向 量 的长度
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事实上这就是解析几何中两点间的距离公式. 已知a=(a1 ,a2),b=(b1 ,b2),则两个向量的夹角为

cos<a,b>=

.

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平面向量

重点:数量积的坐标运算和度量公式.
难点:公式的灵活运用. 1.运用向量垂直的条件,既可以判定两向量是否垂直, 又可以由垂直关系去求参数. 注意平行与垂直关系的联系与区别.对于两个非零向
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量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有
(1)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0; (2)a∥b?a·b=±|a||b|?x1y2-x2y1=0. 2.对一些几何问题(如垂直关系)可考虑建立坐标系, 利用向量坐标法去解决.

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[例 1] 则 k 的值是

→ 在△ABC 中,∠C=90° → =(k,1),AC=(2,3), ,AB

( A.5 3 C.2 B.-5 3 D.-2

)

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[解析]

∵在△ABC 中,∠C=90° ,

→ → → AC → ∴BC⊥AC,∴BC· =0. → → → 又BC=AC-AB=(2-k,2), ∴2(2-k)+2×3=0,∴k=5.故选 A.
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[答案] A

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已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π),求 证a+b与a-b互相垂直. [分析] 只要证(a+b)·(a-b)=0即可.
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[解析]

解法一:由已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,

sinβ),得a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),
a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ). 又∵(a+b)·(a-b) =(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ) =cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0,
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∴(a+b)⊥(a-b).
解法二:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), ∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=1-1=0, ∴(a+b)⊥(a-b).

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平面向量

[点评] 处理有关垂直总是要注意利用a⊥b?a·b=
0(a,b是非零向量),或者利用a⊥b?a1b1+a2b2=0(a=(a1, a2),b=(b1,b2)).
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[例2] 设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为 45°,求实数t的值. [分析] 利用公式a·b=|a||b|cosθ建立方程,解t的值.
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[解析]

a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),

(a+tb)· b=(4+2t,t-3)· (2,1)=5t+5, |a+tb|= ?4+2t?2+?t-3?2= 5?t+1?2+20, 由(a+tb)=|a+tb||b|cos45° , 5 2 得 5t+5= 2 ?t+1?2+4, 即 t2+2t=0,解得 t=-3 或 t=1. 经检验知 t=-3 不符合题意,舍去.所以 t=1.
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已知 a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且 a∥b,a⊥c, 求 b· 及 b 和 c 的夹角. c
[解析] 8 ∵a∥b,∴3x+8=0,∴x=- , 3
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3 ∵a⊥c,∴6-4y=0,∴y=2.
? 8? ? 3? ?2, ∴b· ?2,-3?· 2?=4-4=0, c= ? ?? ?

∴b⊥c,∴b 与 c 的夹角为 90° .

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[例 3]

→ → → 已知OP=(2,1),OA=(1,7),OB=(5,1),设 C 是

直线 OP 上的一点(其中 O 为坐标原点). → CB → → (1)求使CA· 取到最小值时的OC; (2)对(1)中求出的点 C,求 cos∠ACB.

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[解析]

→ (1)因为点 C 是直线 OP 上一点,所以向量OC与

→ → → → OP共线,设OC=tOP,则OC=(2t,t). → → → → → → CA=OA-OC=(1-2t,7-t),CB=OB-OC=(5-2t,1- t), → CB → CA· =(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t -2)2-8, → CB → → 当 t=2 时,CA· 取得最小值,此时OC=(4,2).
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→ → → (2)当OC=(4,2)时,CA=(-3,5),CB=(1,-1), → → → CB → 所以|CA|= 34,|CB|= 2,CA· =-8. → CB → CA· 4 17 cos∠ACB= =- 17 . → ||CB| → |CA
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→ → → → 设OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3),在OC上是否存在 → → 点 M,使MA⊥MB?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由.
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[解析]

→ → 设存在点 M,且OM=λOC=(6λ,3λ).(0≤λ≤1)

→ → ∴MA=(2-6λ,5-3λ),MB=(3-6λ,1-3λ), → → ∵MA⊥MB, ∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0, 1 11 ∴45λ -48λ+11=0,解得 λ=3或 λ=15.
2
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? ? → =(2,1)或OM=?22,11?. → ∴OM 5 5 ? ?

故存在点 M(2,1)或点

?22 11? M? 5 , 5 ?满足题意. ? ?

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[例 4]

若 a=(λ,2),b=(-3,5),且 a 与 b 的夹角是锐 ( )
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角,则 λ 的取值范围是
? 10? A.?-∞, 3 ? ? ? ? 6? ? 6 10? B.?-∞,-5?∪?-5, 3 ? ? ? ? ? ?10 ? C.? 3 ,+∞? ? ? ? 10? D.?-∞, 3 ? ? ?

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[误解]

∵a 与 b 的夹角是锐角,

10 ∴a· b=-3λ+10>0,∴λ< 3 .故选 A.

[辨析] a与b的夹角是锐角, 则a·b>0,且剔除a与b同向.

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[正解]

当 a 与 b 同向时,a=tb(t>0),

∴(λ,2)=t(-3,5), ? 2 ?λ=-3t ?t=5 ? ∴? ,∴? ?2=5t ? ?λ=-6 5 ? 10 6 ∴λ< 3 且 λ≠-5,故选 B.
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.

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一、选择题 1.已知 a=(2,1),b=(1,-2),则向量 a 与 b 的夹角为 ( π A. 6 π C.3 π B. 4 π D.2 )
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[答案] D
[解析] 由a·b=2×1+1×(-2)=0,∴a⊥b.

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2.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b,则x
等于 ( A.3 C.-1 B.1 D.-3 )
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[答案] B
[解析] 3x+1×(-3)=0,∴x=1.

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3.已知A、B、C是坐标平面上的三点,其坐标分别为
A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC的形状为( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 [答案] C
→ → [解析] AB=(3,-1),AC=(-1,-3) → AC → AB· =3×(-1)+(-1)×(-3)=0 → → 且|AB|=|AC|= 10∴△ABC 为等腰直角三角形.

)
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B.等腰三角形 D.以上均不正确

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4.(2009· 宁夏、海南)已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 λa+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为 1 A.- 7 1 C.- 6 1 B. 7 1 D. 6 ( )
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[答案] A

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[解析]

∵a=(-3,2),b=(-1,0)

∴λa+b=(-3λ-1,2λ) a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2) 由(λa+b)⊥(a-2b), 1 得 4λ+3λ+1=0,∴λ=-7.
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二、填空题
5.已知a=(x-2,x+3),b=(2x-3,-2),若a⊥b, 则x=________.
[答案]
[解析]
2

9 0 或2
∵a⊥b,∴a· b=(x-2)(2x-3)-2(x+3)=0

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9 ∴2x -9x=0,∴x=0 或 x= . 2

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→ → → → 6.已知向量OA=(-1,2),OB=(3,m),若OA⊥AB,则 m=________.

[答案] 4
[解析] → → → AB=OB-OA=(4,m-2),

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→ → → AB → ∵OA⊥AB,∴OA· =0, 即(-1,2)· (4,m-2)=0, ∴-1×4+2×(m-2)=0,解得 m=4.

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三、解答题 → → → → → → 7.已知OA=(3,1),OB=(-1,2),OC⊥OB,BC∥OA, → → → → 试求满足OD+OA=OC的OD的坐标(O 是坐标原点). → → → [解析] 设 D(x,y),OC=OD+OA=(3+x,y+1),
→ → → BC=OC-OB=(4+x,y-1). → → 因为OC⊥OB,所以 x-2y+1=0,① → → 因为BC∥OA,所以 x-3y+7=0② 解由式①、②组成的方程组,得 x=11,y=6, → 即OD=(11,6).
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