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2016届上海浦东新区高三一模数学试题及答案


浦东新区 2015 学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷 2016.1
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 32 道试题,满分 150 分,考试时间 130 分钟. 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分, 否则一律得零分. 注:填写其他等价形式则得分 1.已知集合 A= x x ? 3 , B ? x x ? 2 ,则 A I CR B ? 2.已知向量 a ? ? ?2,1? , b ? (1, m) 平行,则 m ? 3.关于 x, y 的一元二次方程组 ? 4.计算: lim

?

?
r

?

?

?2 , 3 ?

r

?

1 2

?2 x ? 3 y ? 1 ?2 3 ? 的系数矩阵 ? ? ? 1 ?2 ? ? x ? 2y ? 2

3n ?1 ? 2n 3 ? n ?? 3n ? 2 n ?1 1 i 5.若复数 z 满足 ,则 z ? ? 0 ( i 为虚数单位) 1 ? 2i z
6. ? 2 x ? 1? 的二项展开式中的第八项为
10

5

960 x3

7.某船在海平面 A 处测得灯塔 B 在北偏东 30 ? 方向,与 A 相距 6.0 海里.船由 A 向正北方 向航行 8.1 海里达到 C 处,这时灯塔 B 与船相距_____ 4.2 ______海里(精确到 0.1 海里) 8.已知 cos(

?

3 ?? ?? ? ? ? ? ) ? , ? ? ? , ? ? ,则 sin ? ? ? ? ? 2 5 3? ?2 ? ?

3? 4 3 10

9.如图,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , AA 1 ? 2 , E 为棱 CC1 的 中 点 , 则 AE 与 平 面 B1 B C1 C 所 成 的 角 为

D1
A1

C1

B1
D

E

arctan

2 5 2 5 . ( arcsin , arccos ) (结果用反三角表示) 3 3 5
x

C
B

10.已知函数 f ( x ) 的图像与 g ( x) ? 2 的图像关于直线 y ? x 对 称,令 h( x) ? f (1 ? x ) ,则关于函数 h( x) 有下列命题: ① h( x) 的图像关于原点对称; ③ h( x) 的最大值为 0 ;

A

② h( x) 的图像关于 y 轴对称; ④ h( x) 在区间 (?1,1) 上单调递增。

其中正确命题的序号为____②③_____(写出所有正确命题的序号) 。

11.有一列向量 an : a1 ? ( x1 , y1 ), a2 ? ( x2 , y2 ),L , an ? ( xn , yn ), 如果从第二项起,每一 项与前一项的差都等于同一个向量,那么这列向量称为等差向量列。已知等差向量列 an ,

? ?

u u r

u r

u u r

u u r

u u r u r ur 满足 a1 ? (?20,13) , a3 ? (?18,15) ,那么这列向量 an 中模最小的向量的序号 n ? __ 4 或

? ?

? ?

u u r

5 __。
12.已知 f ? x ? ? 2sin ? x, g ? x ? ?
3

x ?1, 则 f ? x ? 与 g ? x ? 图像交点的横坐标之和为

__17___. 二、选择题(本大题共有 12 题,满分 36 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选 项是正确的,选对得 3 分,否则一律得零分. 13.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式中不 正确的是?????????????( B ) .

1 1 1 1 2 ? (B) ? (C ) a b? b ( D) a2 ? a b a b a b 14.设 ? : x ? 1 且 y ? 2 , ? : x ? y ? 3 , ? 是 ? 成立的??????????( A ( A) 充分非必要条件 ( B ) 必要非充分条件 (C ) 充要条件 ( D) 既非充分又非必要条件

( A)



15.方程 kx ? 4 y ? 4k 表示焦点在 x 轴的椭圆,则实数 k 的取值范围是????(
2 2

D )

( A) k ? 4
1 4

(B) k ? 4
1 3
2

(C ) k ? 4
1 2 1 6

( D) 0 ? k ? 4
C )

16.甲、乙、丙、丁四人排成一排,其中甲、乙两人相邻的概率是????(

( A)

(B)
2

(C )

( D)

17. 直线 ax ? by ? 0 与圆 x ? y ? ax ? by ? 0 的位置关系是????????? ( B



( D) 不能确定 18.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x, y,10,11,9 ,已知这组数据的平
均数为 10, 方差为 2, 则 x ? y 的值为???????????????????? ( A )

( A) 相交

( B ) 相切

(C ) 相离

( A) 4

(B) 3

(C ) 2

( D) 1

19.设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x ,当 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 0 ,则

f(

23? ) ? ???????????????????????????????? 6

( A )

( A)

1 2

(B)

3 2

(C ) 0

( D) ?

1 2
D )

20.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S ,那么圆柱的体积等于????? (

( A)

S S 2

(B)

S S 2 ?

(C )

S S 4

( D)

S S 4 ?

21.已知函数 f ( x ) 存在反函数 f ?1 ( x) ,若函数 y ? f ? x ? 1? 过点 ? 3,3? ,则函数 f ?1 ? x ? 恒 过点?????????????????????????????????? ( B )

( A) ? 4,3?

( B ) ? 3, 4 ?

(C ) ? 3, 2 ?

( D) ? 2,3?
4 处,再自由落下,又弹回 5

22.一个弹性小球从 10 米自由落下,着地后反弹到原来高度的 到上一次高度的

4 处,假设这个小球能无限次反弹,则这个小球在这次运动中所经过的总 5

路程为??????????????????????????????????? ( C ) ( A) 50 ( B ) 80 (C ) 90 ( D) 100 23.符合以下性质的函数称为“ S 函数” :①定义域为 R ,② f ( x ) 是奇函数,③ f ( x) ? a (常数 a ? 0 ) ,④ f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增, ⑤对任意一个小于 a 的正数 d ,至少存在 一个自变量 x0 ,使 f ( x0 ) ? d 。下列四个函数中 f1 ( x) ?

2a

?

arctan x , f 2 ( x) ?

ax x , x2 ? 1

1 ? ? a? x ? f3 ( x) ? ? 0 ? 1 ?? a ? x ?
( A) 1 个

x?0
? 2x ?1 ? x ? 0 , f 4 ( x) ? a ? ? x ? 中“ S 函数”的个数为????( D ) ? 2 ?1? x?0

(B) 2 个

(C ) 3 个

( D) 4 个

24.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点,它们所构成的两个正三角 形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星,如图所示的正六角星的中心 为点 O , 其中 x, y 分别为点 O 到两个顶点的向量. 若将点 O 到正六角星 12 个顶点的向量,都写成为 ax ? by 的形式,则 a ? b 的最大值为( C

r u r

r

u r



( A) 3

(B) 4

(C ) 5

( D) 6

三、解答题(本大题共有 8 题,满分 78 分)解答下列各题必须写出必要的 步骤. 注:其他解法相应给分 C 25. (本题满分 8 分) 已知 OA ,OB ,OC 交与点 O , AD // 为 BC ,OC 的中点. 求证: DE // 平面 AOC . 证明: 在 ?OBC 中,因为 E , F 分别为 BC ,OC 的中点, A

1 OB , E , F 分别 2

F

E

O
D

B

1 OB ?????????????????????????????2 分 2 1 又因为 AD / / OB ,所以由平行公理和等量代换知, FE / / AD , 2 所以四边形 ADEF 是平行四边形????????????????????4 分 所以 DE // AF ????????????????????????????6 分
所以 FE / / 又因为 AF ? 平面 AOC ,所以 DE // 平面 AOC ?????????????8 分 26. (本题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x ,将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移 到原来的

? 个单位,再把横坐标缩短 6

1 (纵坐标不变) ,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 的解析式,并写 2

出它的单调递增区间. 解:由 y ? f ( x) ,将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移 分 再把横坐标缩短到原的 由 2 k? ?

? ? 个单位,得 y ? 2 sin( x ? ) ??2 6 6

?
2

? 2x ?

?
6

1 ? (纵坐标不变) ,得到 g ( x) ? 2sin(2 x ? ) 。???????4 分 2 6

? 2 k? ?

?

2

, k ? Z ,可得 k? ?

?

6

? x ? k? ?

?

3

,k ?Z

所以 y ? g ( x) 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

??
3? ?

, k ? Z ????????????8 分

27. (本题满分 8 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 4 分) 已知两个向量 a ? ?1 ? log 2 x, log 2 x ? , b ? ? log 2 x,1? (1)若 a ? b ,求实数 x 的值; (2)求函数 f ( x) ? a ? b, x ? ? , 2 ? 的值域。 4 解: (1) Q a ? b,? ?1 ? log 2 x ? ? log 2 x ? log 2 x ? 0

r

r

r

r

r r

?1 ?

? ?

r

r

? log2 x ? (log2 x ? 2) ? 0 ?log2 x ? 0或 log2 x ? ?2
经检验 x ? 1或x ?

1 为所求的解;??????????????????4 分 4
2

(2)由条件知 f ( x) ? log 2 x ? (log 2 x ? 2) ? ? log 2 x ? 1? ? 1

?1 ? Q x ? ? , 2? ,? log 2 x ? ? ?2,1? ?4 ?
? log 2 x ? 1 ? ? ?1, 2? ? ? log 2 x ? 1? ? ? 0, 4?
2

所以值域为 ? ?1,3? 。????????????????????????8 分 28. (本题满分 10 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 6 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? (1)求 ?an ? 的通项公式 an ; (2)当 n ? 2 时, a n ?1 ? 解: (1) Q S n ?

3 2 1 n ? n, 2 2

?

an

? ? 恒成立,求 ? 的取值范围.

3 2 1 n ? n 2 2 ? an ? S n ? S n?1 ? 3n ? 2 当 n ? 1 时也成立, a1 ? 1

?n ? 2?

????????????????2 分

? an ? 3n ? 2 ?3n ? 1??3n ? 2? ? ? ? ? ?? ? (2) a n ?1 ? ? ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 3(n ? 1) an ?3n ? 1??3n ? 2? 设 bn ? 3(n ? 1) ?3n ? 1??3n ? 4? ? ?3n ? 1??3n ? 2? ? ?3n ? 1??3n ? 2? ? 0 bn?1 ? bn ? 3n 3(n ? 1) 3n?n ? 1? 28 28 ,? ? ? . ? bn 的最小值为 b2 ? 3 3
29. (本题满分 14 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 5 分、第 3 小题 5 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 对 于 点 P( x0 , y0 ) 、 直 线 l : ax ? by ? c ? 0 , 我 们 称

??

ax0 ? by0 ? c a 2 ? b2

为点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : ax ? by ? c ? 0 的方向距离。

x2 ? y 2 ? 1 上 的 任 意 一 点 P ( x , y) 到 直 线 4 l1 : x ? 2 y ? 0 , l2 : x ? 2 y ? 0 的方向距离分别为 ? 1 、 ? 2 ,求 ? 1? 2 的取值范围。 (2) 设点 E (?t ,0) 、F (t ,0) 到直线 l :x cos? ? 2 y sin ? ? 2 ? 0 的方向距离分别为?1 、 ? 2 ,试问是否存在实数 t ,对任意的 ? 都有?1? 2 ? 1 成立?若存在,求出 t 的值;不存在,
( 1 ) 设 椭 圆 说明理由。

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,设椭圆 E 的 a2 b2 2 两个焦点 F1 , F2 到直线 l 的方向距离分别为 ?1 、 ?2 满足 ?1?2 ? b ,且直线 l 与 x 轴的交点 为 A 、与 y 轴的交点为 B ,试比较 AB 的长与 a ? b 的大小。
(3)已知直线 l : mx ? y ? n ? 0 和椭圆 E :

x2 x2 2 2 ? y ? 1 上,所以 y ? 1 ? 解答: (1)由点 P ( x , y) 在椭圆 4 4

x 2 ? 4 y 2 2x 2 ? 4 ? 由题意 ? 1 ? 、? 2 ? ,于是 ? 1? 2 ? ??????2 分 5 5 5 5 4 4 2 又 ? 2 ? x ? 2 得 0 ? x ? 4 ,即 ? ? ? 1? 2 ? ????????????????4 分 5 5 2 2 4 4 2( x ? 4 y ) 8 2 2 ? ,再利用基本不等式易得 ? ? ? 1? 2 ? ) (也可以先求出 ? 1 ? ? 2 ? 5 5 5 5 (2)假设存在实数 t ,满足题设, ? t cos? ? 2 t cos? ? 2 由题意?1 ? , ?2 ? 2 2 cos ? ? 4 sin ? cos2 ? ? 4 sin 2 ? (t cos ? ? 2)( ?t cos ? ? 2) ? 1 ??????????????????6 分 于是?1? 2 ? cos 2 ? ? 4 sin 2 ? 4 ? t 2 cos2 ? ? cos2 ? ? 4 sin 2 ? ? (3 ? t 2 ) cos2 ? ? 0 对任意的 ? 都成立
只要 3 ? t ? 0 即可,所以 t ? ? 3
2

x ? 2y

x ? 2y

故存在实数 t , t ? ? 3 ,对任意的 ? 都有?1? 2 ? 1 成立。???????????9 分 (学生通过联想,判断直线 x cos? ? 2 y sin ? ? 2 ? 0 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的切线,又证明 4
2

?1? 2 ? b 2 从而得到 t ? ? 3 也给分)
(3)设 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0) 、 (c,0) ,于是 c ? a ? b
2 2

n2 ? m2c 2 ? b 2 ? n2 ? b2 ? m2 a 2 、 ?2 ? 于是 ?1? 2 ? ?1 ? 2 2 2 1? m 1? m 1? m n n2 2 2 又 A( ? ,0) , B (0, n) 即 | AB | ? 2 ? n ?????????????????12 分 m m n2 b2 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 2 ? n ? a ? 2 ? b ? m a ? a ? b ? 2ab ? (a ? b) m m 综上 AB ? a ? b ????????????????????????????14 分

? m c? n

m c? n

30. (本题满分 6 分) 如图, 点 A(?1, 0) 、B(1, 0) , 点 C 在 x 轴正半轴上, 过线段 BC 的 n 等分点 Di 作与 BC 垂直的射线 l i ,在 l i 上的动点

P 使 ?APB 取得最大值的位
置 记 作

Li Pi
y

Pi

( i ? 1, 2,3,L , n ? 1 ) 。是否存 在一条圆锥曲线,对任意的正 整 数

n?2





都 P 1 ? ,? 2 n在 , 这条 , i( ? i

A(?1, 1 0) ) B(1, 0) D1 D2 D3 ?

O

Di ? Dn?1 C

x

曲线上?说明理由。

解:存在一条双曲线,对任意的正整数 n ? 2 ,点 P i ?1 ,2 , ? , n1 )? i( 1分

都在这条双曲线上??

如图所示, A(?1,0), B(1,0) ,设 | BC |? b , P( x, y) ,则 x ? 1, y ? 0 , x ?

i b, n

?APB ? ?PBC ? ?PAC y y tan ?PAC ? , tan ?PBC ? x ?1 x ?1

y y ? ?1 所以 tan ?APB ? x ? 1 x 2 y 1? ( x ? 1)( x ? 1)

?

2 ????????3 分 ( x ? 1)( x ? 1) ?y y
i | BC | 为常数 n

当 i ? 1,2,3,?, n ? 1 一定时, x ? 所以

( x ? 1)( x ? 1) ? y ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) 此时 tan ?APB 取得最大值,?????5 分 y

当且仅当

( x ? 1)( x ? 1) ? y 时等号成立, y

故 x ? y ? 1, x ? 1, y ? 0 , Pi 在一条双曲线上。????6 分
2 2

31.(本题满分 12 分,第 1 小题 3 分、第 2 小题 4 分、第 3 小题 5 分) 定义符号函数 sgn ? x ? ? ?

?1, x ? 0 . 已知 a, b ? R, f ? x ? ? x x ? a sgn ? x ?1? ? b. ??1, x ? 0

(1)求 f ? 2? ? f (1) 关于 a 的表达式,并求 f ? 2? ? f (1) 的最小值. (2)当 b ?

1 时,函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上有唯一零点,求 a 的取值范围. 2

(3)已知存在 a ,使得 f ? x ? ? 0 对任意的 x ??1, 2? 恒成立,求 b 的取值范围.

?a ? 3, a ? 2 ? 解: (1) Q f (2) ? f (1) ? 2 2 ? a ? b ? 1 ? a ? b ? 2 2 ? a ? 1 ? a ? ??3a ? 5,1 ? a ? 2 , ?3 ? a, a ? 1 ?

所以 f ? 2? ? f (1) 最小值为 ?1 。??????????????????????3 分

1 ? x x ? a ? , x ?1 ? 1 1 ? 2 (2)当 b ? 时, f ? x ? ? ? 。当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? ? x x ? a ? 。 2 2 ?? x x ? a ? 1 , x ? 1 ? ? 2
1 1 1 ? 0 ? x x ? a ? 。? x ? a ? ??????5 分 2 2 2x 1 令 g ? x ? ? x ? a , h( x ) ? 。在同一坐标系中分别作出这两个函数在 ? 0,1? 上的图像。 2x
所以由 f ? x ? ? ? x x ? a ? 由图像可得 a ? ? ??, ? ?

? ?

1? 2?

3 ? , ?? ? .????????????????7 分 ? 2? ? ? ? ?2 ?
b , x

(3)当 x ??1, 2? 时, f ? x ? ? x x ? a ? b .由 f ? x ? ? 0 得 x ? a ? ? 所以 b ? 0 且

b b ? x ? a ? ? 对任意的 x ??1, 2? 恒成立, x x b b 即 x ? ? a ? x ? 对任意的 x ??1, 2? 恒成立, x x b b 从而只需求 g ( x ) ? x ? 在 x ??1, 2? 的最大值和 h( x ) ? x ? 在 x ??1, 2? 的最小值,而 x x
且要满足 g ? x ?max ? h ? x ?min 。

Q b ? 0,? g ? x ? ? x ?

b b 在 x ??1, 2? 上单调递增,所以 g ? x ?max ? g ? 2 ? ? 2 ? 。 2 x

对于函数 h( x ) ? x ?

b , x ??1, 2? 时, h ? x ? min x

? ?1 ? b, ?1 ? b ? 0 ? ? ?2 ?b , ?4 ? b ? ?1 .??10 分 ? b ? 2 ? , b ? ?4 ? 2

??1 ? b ? 0 2? ? ? ? b ? ? ?1, ? ? (i) ? b 3? 2 ? ? 1? b ? ? ? 2 ??4 ? b ? ?1 ? ? ?4 ? b ? ?1 (ii) ? b 2 ? ? 2 ? b ? ? 2 ?b ? ?4 ? (iii) ? b b ? b ? ?4 2? ? 2? ? ? 2 2

综上, b ? ? ??, ?

? ?

2? ? 。????????????????????????12 分 3?

32.(本题满分 12 分,第 1 小题 4 分、第 2 题第①问 3 分、第 2 题第②问 5 分)

? b1 ? ?1 a1 ? 1 ? ? 已知两个无穷数列 ?an ? ,?bn ? 分别满足 ? , ? bn ?1 ,其中 n ? N * ,设 ?2 ? an ?1 ? an ? 2 ? ? bn
数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn , (1)若数列 ?an ? ,?bn ? 都为递增数列,求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?cn ? 满足:存在唯一的正整数 k ( k ? 2 ),使得 ck ? ck ?1 ,称数列 ?cn ? 为“ k 坠点数列” ①若数列 ?an ? 为“5 坠点数列”,求 Sn ; ②若数列 ?an ? 为“ p 坠点数列”,数列 ?bn ? 为“ q 坠点数列”,是否存在正整数 m , 使得 Sm?1 ? Tm ,若存在,求 m 的最大值;若不存在,说明理由。 解答: (1)数列 ?an ? ,?bn ? 都为递增数列,∴ an?1 ? an ? 2 , b2 ? ?2b1, bn?2 ? 2bn?1, n ? N ? , ∴ an ? 2n ? 1,????????????????????????????2 分

? ?1, n ? 1 bn ? ? n ?1 ;???????????????????????????4 分 ?2 , n ? 2
(2)①∵数列 ?an ? 满足:存在唯一的正整数 k =5 ,使得 ak ? ak ?1 ,且 an?1 ? an ? 2 , ∴数列 ?an ? 必为 1,3,5, 7,5, 7,9,11, ??? ,即前 4 项为首项为 1,公差为 2 的等差数列, 从第 5 项开始为首项 5,公差为 2 的等差数列,??????????????5 分 故 Sn ? ?

?n 2 , n ? 4 ? ;?????????????????????7 分 2 ? ?n ? 4n ? 15, n ? 5

2 2 ② ∵ bn | bn |? 2n?1 ?1 ? 4bn ,即 bn ?1 ? ?2bn ,?

而数列 ?bn ? 为“ q 坠点数列”且 b1 ? ?1 ,∴数列 ?bn ? 中有且只有两个负项. 假设存在正整数 m ,使得 Sm +1 ? Tm ,显然 m ? 1 ,且 Tm 为奇数,而 ?an ? 中各项均为奇 数,∴ m 必为偶数.????????????????????????????9 分

Sm?1 ? 1 ? 3 ????? ? 2m ? 1? ? (m ? 1)2
i.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 21 ???? ? 2m?2 ? 2m?1 ? 2m ? 3 当 m ? 6 时, 2m ? 3 ? (m ? 1)2 ,故不存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立 ii.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 21 ???? ? 2m?2 ? 2m?1 ? ?3 ? 0 显然不存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立
1 m ?3 ? ?2m? 2 ? 2m?1 ? 2m?1 ? 3 iii.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 2 ? ??? ? +2

?

? ?

?

当2

m?1

? 3 ? (m ? 1)2 时,才存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立

当 m ? 6 时, q ? 6 ,构造: ?an ? 为 1,3,1,3,5, 7,9, ??? , ?bn ? 为 ?1, 2, 4,8, ?16,32, ??? 此时 p ? 3 , q ? 5 , 所以 m 的最大值为 6 。???????????????12 分

所以 m ? 6


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