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2014年高二第一次月考数学试卷及答案


2014 年高二第一次月考数学试卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 1.抛物线 y ? ? A. x ?

1 2 x 的准线方程是( 8
B. y ?

) C. y ? 2 D. y ? ?2

1 32
<

br />1 32

y 2 x2 ? ? 1 有共同渐近线的双曲线方程为( 2.经过点 M (2 6 ,?2 6 ) 且与双曲线 3 4
A.



y2 x2 ? ?1 6 8

2 2 B. y ? x ? 1 8 6

2 2 C. x ? y ? 1 8 6

2 2 D. x ? y ? 1

6

8

2 3.命题“? x ? Z ,使 x ? 2 x ? m ? 0 ”的否定是(



A. ? x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m >0 C. ? x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m ? 0 4. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

B. 不存在 x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m >0 D. ? x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m >0 )

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
C. ?4 D. 4

A. ?2

B. 2

5.已知两点 F1 (?1,0) 、 F 2 (1,0) ,且 F1 F2 是 PF 1 与 PF2 的等差中项,则动点 P 的轨迹 方程是( A. ) B.

x2 y2 ? ?1 16 9

x2 y2 ? ?1 16 12

C.

x2 y2 ? ?1 4 3

D.

x2 y2 ? ?1 3 4


2 6.已知条件 p :| x ? 1 |? 2 , 条件 q : 5 x ? 6 ? x ,则 ?p 是 ?q 的(

A.充分不必要条件 C.充要条件
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7. 抛物线 y ? 2 px 上一点 Q (6, y0 ) ,且知 Q 点到焦点的距离为 10,则焦点到准线的距离 是( A.4 ) B. 8 C. 12 D. 16

y2 x2 5 8. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b
( ) B. y ? ?

A. y ? ?2 x 9.有如下四个命题:

1 x 2

C. y ? ? 4 x

D. y ? ?

1 x 4

1

①命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 “的逆否命题为“若 x ? 1, 则x2 ? 3x ? 2 ? 0 ” ②若命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p为:?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0 ③若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题 ④“ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 其中错误 命题的个数是( .. A.0 个 B. 1 个 ) C.2 个 D.3 个 )

10.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值是( A. 1 4 B. 1 2 C.2 D.4 )

11. 如果方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,那么实数 m 的取值范围是( | m | ?1 m ? 2
B.

A. m ? 2

m ? 1或 m ? 2

C. ? 1 ? m ? 2

D.

? 1 ? m ? 1或 m ? 2

12. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 ,则

?AOB 的面积为(
A.

) B.

2 2

2

C.

3 2 2

D. 2 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13. 若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范围是___________.

x2 y2 14. 设点 A 为双曲线 = 1 的右顶点,则点 A 到该双曲线的一条渐近线的距离是 12 4
____________.
2 2 15. 已知一个动圆与圆 C: ( x ? 4) ? y ? 100 相内切,且过点 A(4,0) ,则这个动圆圆心

的轨迹方程是_______________. 16. 过点 M (1,1) 作一直线与椭圆 则 AB 所在直线的方程为 三、解答题 17. (本小题满分 10 分) 已知两定点 A? ?2,0? , B ?1,0? ,动点 P 满足 PA ? 2 PB 。 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设点 P 的轨迹为曲线 C ,试求出双曲线 x ?
2

x2 y 2 B 两点, 若 M 点恰好为弦 AB 的中点, ? ? 1 相交于 A、 9 4


y2 ? 1 的渐近线与曲线 C 的交点坐标。 9

2

18.(本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 , 命题 p : ?x ? 0, x ?

a ? 2 恒 成立;命题 q : “ 直线 x ? y ? a ? 0 与圆 x

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1有公共点”, 若命题 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知命题 p:x(6﹣x)≥﹣16,命题 q:x +2x+1﹣m ≤0(m<0) ,若 p 是 q 的充分条件, 求实数 m 的取值范围.
2 2

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长等于 12,离心率为 (1)求椭圆的标准方程; (2)过椭圆左顶点作直线 l,若动点 M 到椭圆右焦点的距离比它到直线 l 的距离小 4, 求点 M 的轨迹方程.

1 . 3

3

21. (本小题满分 12 分) 已知动圆过定点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切. (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程; (2) 是 否 存 在 直 线 l , 使 l 过 点 ( 0 , 1 ) , 并 与 轨 迹 C 交 于 P, Q 两 点 , 且 满 足

OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

22. (本题满分 12 分 已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为( 2 ,0). 2 3 a b

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若过原点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 交于 A , B 两点,求证:点 O 到直 线 AB 的距离为定值.

4

高二月考数学试卷参考答案
题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 C 6 A 7 B 8 A 9 B 10 A 11 D 12 C

13. [1,2)

14.

3

x2 y 2 15. 25 ? 9 ? 1 16.4x+9y-13=0;

17.解: (1)设点 P ( x, y ) ,由题意: PA ? 2 PB 得:

( x ? 2)2 ? y 2 ( x ? 1)2 ? y 2

?2

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分

整理得到点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 (1) 双曲线 x ?
2

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分

y2 ? 1 的渐近线为 y ? ?3x , 9
,得交点坐标为

解方程组 ?

? x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ? y ? ?3x

2 6 2 6 (0, 0), ( , ), ( , ? ) 5 5 5 5

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分

18.解:当 p 为真命题时:对 ?x ? 0 ,

x?

a a ?2 a, (a ? 0) ,所以要使 x ? ? 2 恒 x x

成立,应有 2 a ? 2,?a ? 1. …………………………5 分 当 q 为真命题时 由?

?x ? y ? a ? 0 ?( x ? 1) ? y ? 1
2 2

则 2 x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 0

?


? ? 4(a ? 1) 2 ? 8a 2 ? 0
1? 2 ? a ? 1? 2
………………… 10 分

因 p ? q 为真命题,则 p 与 q 都为真命题, 则 1 ? a ? 1 ? 2 , a ? [1,1 ? 2 ]
2 2

………………… 12 分

19. 解由 x(6﹣x)≥﹣16 可得﹣2≤x≤8,即命题 p:﹣2≤x≤8 …..…(3 分) 由 x +2x+1﹣m ≤0,可得: (x+1﹣m) (x+1+m)≤0, 又 m<0, ∴ m﹣1<﹣m﹣1, ∴ m﹣1≤x≤﹣m﹣1 即命题 q:m﹣1≤x≤﹣m﹣1 …(6 分) ∵ p 是 q 的充分条件 ….…(8 分)

5



….…(10 分)



∴ m≤﹣9

…(12 分)

20.(1)设椭圆的半长轴长为 a,半短轴长为 b,半焦距为 c. 由已知,2a=12,所以 a=6. 又 (2 分) (4 分)

c 1 = ,即 a=3c,所以 3c=6,即 c=2. a 3

于是 b2=a2-c2=36-4=32. 因为椭圆的焦点在 x 轴上,故椭圆的标准方程是

x2 y2 + = 1. 36 32

(6 分)

(2)法一:因为 a=6,所以直线 l 的方程为 x=-6,又 c=2,所以右焦点为 F2(2,0) 过点 M 作直线 l 的垂线,垂足为 H,由题设,|MF2|=|MH|-4. 设点 M(x,y),则 (x - 2)2 + y 2 = (x + 6) - 4 = x + 2 . 分) 两边平方, 得 (x - 2)2 + y 2 = (x + 2)2 , 即 y2=8x. 故点 M 的轨迹方程是 y2=8x. (10 分) (12 分) (8

法二:因为 a=6,c=2,所以 a-c=4,从而椭圆左焦点 F1 到直线 l 的距离为 4. (8 分) 由题设, 动点 M 到椭圆右焦点的距离与它到直线 x=-2 的距离相等, 所以点 M 的轨迹 是以右焦点为 F2(2,0)为焦点,直线 x=-2 为准线的抛物线. (10 分)

显然抛物线的顶点在坐标原点, 且 p=|F1F2|=4, 故点 M 的轨迹方程是 y2=8x. (12 分) 21 . 解: (1)设 M 为动圆圆心,

F ?1,0 ? ,过点 M 作直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N ,

由题意知: MF ? MN , 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ?1, 0 ? 为焦点, x ? ?1 为准线, ∴ 动点 R 的轨迹方程为 y ? 4 x
2

(2)由题可设直线 l 的方程为 x ? k ( y ? 1)(k ? 0) ,

? y ? 4x k 2 ? 1 6? , 0 k ? ?1或k ? 1 △ ?1 6 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? 4k
2

由?

? x ? k ( y ?1)

得 y ? 4ky ? 4k ? 0
2

由 OP ? OQ ? 0 ,即 OP ? ? x1, y1 ? , OQ ? ? x2 , y2 ? ,于是 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
6

即 k 2 ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 y2 ? 0 , (k ? 1) y1 y2 ? k ( y1 ? y2 ) ? k ? 0 ,
2 2 2

4k (k2 ? 1 ) ? k2
又 k ? ?4 ? ?1 ,

2 k ? ?4 或 k ? 0 (舍去) , 4 k? k ? ,解得 0

∴ 直线 l 存在,其方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0

x2 ? y2 ? 1 22. 解: (1) 3

…………4 分

(2) 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,若 k 存在,则设直线 AB:y=kx+m. …………5 分 由?

? y ? kx ? m ?x ? 3y ? 3
2 2

2 ,得 ( 1? 3 k2 x )2 ? 6 kmx ? 3m ? 3 ? 0

6km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 3k 2 △ >0, ? 2 ? x x ? 3m ? 3 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?

…………6 分

由 OA⊥OB 知 x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)
=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得 4 m2=3 k2+3 原点到直线 AB 的距离 d= ……8 分

m k ?1
2

?

3 . 2

……10 分

当 AB 的斜率不存在时, x1 ? y1 ,可得 x1 ? 所以点 O 到直线 AB 的距离为定值

3 ? d ,依然成立. 2

……11 分

3 2

…… 12 分

7


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