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福建省福州一中2015届高考数学质检试卷(理科)(5月份)


福建省福州一中 2015 届高考数学质检试卷(理科) (5 月份)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集 U=R,M={x|x(x+3)<0},N={x|x<﹣1},则图中阴影部分表示的集合为 ()

A.{x|x≥﹣1} 2. (5 分)若 A.i =

B.{x|﹣3<x<0}

C.{x|x≤﹣3|

D.{x|﹣1≤x<0}

(i 为虚数单位) ,则 a 的值为() B . ﹣i C.﹣2i D.2i ,则双曲线的离心率 e=() D.

3. (5 分)设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 A.5 B. C.

4. (5 分)已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a4 成等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 A.2 的值为() B. 3 C . ﹣2 D.﹣3

5. (5 分)下列判断不正确的是() A.若 ξ﹣B(4,0.25) ,则 Eξ=1 2 2 B. 命题“?x∈R,x ≥0”的否定是“?x0∈R,x0 <0” C. 从匀速传递的产品生产线上,检查人员每隔 5 分钟从中抽出一件产品检查,这样的抽样是 系统抽样 D.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是 15,17,14,10,15,17,17,16,14, 12,这组数据的中位数与众数相等 6. (5 分)函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< )的最小正周期是 π,若其图象向右平移

个单位后得到的函数为奇函数,则函数 f(x)的图象() A.关于点( ,0)对称 B. 关于 x= 对称

C. 关于点(

,0)对称

D.关于 x=

对称

7. (5 分)设点(a,b)是区域

内的随机点,函数 f(x)=ax ﹣4bx+1 在区间[1,

2

+∞)上是增函数的概率为() A. B. C. D.

8. (5 分)在棱长均为 2 的正四棱锥 P﹣ABCD 中,点 E 为 PC 的中点,则下列命题正确的是 ()

A.BE∥平面 PAD,且 BE 到平面 PAD 的距离为 B. BE∥平面 PAD,且 BE 到平面 PAD 的距离为 C. BE 与平面 PAD 不平行,且 BE 与平面 PAD 所成的角大于 30° D.BE 与平面 PAD 不平行,且 BE 与平面 PAD 所成的角小于 30°

9. (5 分)称 d(

)=| ﹣ |为两个向量 、 间的“距离”.若向量 、 满足:①| |=1;

② ≠ ;③对任意的 t∈R,恒有 d( ,t )≥d( , ) ,则() A. B. ⊥(
2



C. ⊥(
2 2 2



D.(

)⊥(

10. (5 分)已知抛物线 M:y =4x,圆 N: (x﹣1) +y =r (其中 r 为常数,r>0) .过点(1, 0)的直线 l 交圆 N 于 C、D 两点,交抛物线 M 于 A、B 两点,且满足|AC|=|BD|的直线 l 只有 三条的必要条件是() A.r∈(0,1] B.r∈(1,2] C. D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置.

11. (4 分)若

=.

12. (4 分)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于.

13. (4 分)在 O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于 P 点,一分钟 后, 其位置在 Q 点, 且∠POQ=90°, 再过两分钟后, 该物体位于 R 点, 且∠QOR=30°, 则 tan∠OPQ 的值为. 14. (4 分)在(x﹣2) 于.
2015

的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S,则当 x=2 时,S 等

15. (4 分)已知 a 为[0,1]上的任意实数,函数 f1(x)=x﹣a,f2(x)=﹣x +1,f3(x)=﹣ 3 2 x +x ,则以下结论: ①对于任意 x0∈R,总存在 fi(x) ,fj(x) ({i,j}?{1,2,3}) ,使得 fi(x)fj(x)≥0; ②对于任意 x0∈R,总存在 fi(x) ,fj(x) ({i,j}?{1,2,3}) ,使得 fi(x)fj(x)≤0; ③对于任意的函数 fi(x) ,fj(x) ({i,j}?{1,2,3}) ,总存在 x0∈R,使得;fi(x)fj(x) >0; ④对于任意的函数 fi(x) ,fj(x) ({i,j}?{1,2,3}) ,总存在 x0∈R,使得;fi(x)fj(x) <0. 其中正确的为. (填写所有正确结论的序号)

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分)甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试,在相同测试条件下,两人 5 次测 试的成绩(单位:分)如下表: 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 58 55 76 92 88 乙 65 82 87 85 95 (Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算) ; (Ⅱ)若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中, 90 分以上的个数为 X,求随机变量 X 的分布列和期望 EX.

17. (13 分)如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形,设 AC 与 BD 相交于点 O,若 ∠DAB=∠DBF=60°,且 FA=FC. (1)求证:FC∥平面 EAD; (2)求二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值.

18. (13 分)设 m∈R,函数 f(x)=cosx(msinx﹣cosx)+cos ( (Ⅰ)求 f(x)的单调递减区间;

2

﹣x) ,且 f(﹣

)=f(0) .

(Ⅱ)设锐角△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 求 f(A)的取值范围.

=



19. (13 分)已知 A(﹣2,0) ,B(2,0)为椭圆 C 的左、右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,且△ APB 面积的最大值为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程及离心率; (Ⅱ)直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D,当直线 AP 绕点 A 转动时,试判断以 BD 为 直径的圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明. 20. (14 分)已知函数 f(x)= ,g(x)=x﹣ln(x﹣p) .

(Ⅰ)求函数 f(x)的图象在点( ,f( ) )处的切线方程; (Ⅱ)判断函数 g(x)的零点个数,并说明理由; * (Ⅲ)已知数列{an}满足:0<an≤3,n∈N ,且 3(a1+a2+…+a2015)=2015.若不等式 f(a1) +f(a2)+..+f(a2015)≤g(x)在 x∈(p,+∞)时恒成立,求实数 p 的最小值.

四、选修 4-2:矩阵与变换 21. (7 分)已知矩阵 M= 的一个特征值 l 所对应的特征向量为 .

(Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵; 2 2 (Ⅱ)求曲线 C:x +2xy+2y =1 在矩阵 M 对应变换作用下得到的新的曲线方程.

五、选修 4-4:极坐标与参数方程

22. (7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .在极坐标

系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 sin(θ+ ) .

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 和曲线 C 相交于 A、B 两点,求 AB 的长.

六、选修 4-5:不等式选讲 2 2 2 23.已知正数 a,b,c 满足 a +b +c =6. (Ⅰ)求 a+2b+c 的最大值 M; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若不等式|x+1|+|x+m|≥M 恒成立,求实数 m 的取值范围.

福建省福州一中 2015 届高考数学质检试卷(理科) (5 月 份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集 U=R,M={x|x(x+3)<0},N={x|x<﹣1},则图中阴影部分表示的集合为 ()

A.{x|x≥﹣1}

B.{x|﹣3<x<0}

C.{x|x≤﹣3|

D.{x|﹣1≤x<0}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 计算题. 分析: 首先化简集合 M,然后由 Venn 图可知阴影部分表示 M∩(CUN) ,即可得出答案. 解答: 解:M={x|x(x+3)<0}={x|﹣3<x<0} 由图象知,图中阴影部分所表示的集合是 M∩(CUN) 又 N={x|x<﹣1}, ∴CUN={x|x≥﹣1} ∴M∩(CUN)=[﹣1,0) 故选:D. 点评: 本题考查 venn 表示的集合的运算, 一般采用数形结合的方法解决问题, 属于基础题.

2. (5 分)若 A.i

=

(i 为虚数单位) ,则 a 的值为() B . ﹣i C.﹣2i D.2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 首先化简复数,利用复数相等的条件得到 a. 解答: 解:由已知得到 ﹣y)+(x+y)i=2﹣2i, 所以 ,解得 , ,设 a=x+yi,则(x+yi) (1+i)=2﹣2i,所以(x

所以 a=﹣2i; 故选 C. 点评: 本题考查了复数的混合运算;关键是注意 a,它是复数,容易误认为是实数. 3. (5 分)设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线为 A.5 B. C. ,则双曲线的离心率 e=() D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据题意可求得 a 和 b 的关系式,进而利用 c= 得 a 和 c 的关系即双曲线的离心率. 解答: 解:依题意可知 = ,求得 a=2b ∴c= ∴e= = 故选 C. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.解题的时候注意看双曲线的焦点所在的坐标轴, 根据坐标轴的不同推断渐近线不同的形式. 4. (5 分)已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a4 成等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 A.2 的值为() B. 3 C . ﹣2 D.﹣3 = b 求得 c 和 b 的关系,最后求

考点: 等比数列的性质;等差数列的性质.

专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得:a3=a1+2d,a4=a1+3d.结合 a1、a3、a4 成等比数列,得到 a1=﹣4d,进 而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案. 解答: 解:设等差数列的公差为 d,首项为 a1, 所以 a3=a1+2d,a4=a1+3d. 因为 a1、a3、a4 成等比数列, 2 所以(a1+2d) =a1(a1+3d) ,解得:a1=﹣4d. 所以 = =2,

故选:A. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质,利用性质解决问题. 5. (5 分)下列判断不正确的是() A.若 ξ﹣B(4,0.25) ,则 Eξ=1 2 2 B. 命题“?x∈R,x ≥0”的否定是“?x0∈R,x0 <0” C. 从匀速传递的产品生产线上,检查人员每隔 5 分钟从中抽出一件产品检查,这样的抽样是 系统抽样 D.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是 15,17,14,10,15,17,17,16,14, 12,这组数据的中位数与众数相等 考点: 专题: 分析: 解答: 命题的真假判断与应用. 推理和证明. 根据统计和命题的相关知识,逐一分析给定四个答案的真假,可得答案. 解:A 中,若 ξ﹣B(4,0.25) ,则 Eξ=4×0.25=1”,故正确;
2 2

B 中,命题“?x∈R,x ≥0”的否定是“?x0∈R,x0 <0”,故正确; 从匀速传递的产品生产线上,检查人员每隔 5 分钟从中抽出一件产品检查,这样的抽样是系 统抽样,故正确; 10 名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 这组数据的中位数为 15,众数为 17,两者不等,故错误, 故选:D 点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了二项分布,全称(特称)命题的判定,抽样 方法,中位数与众数等知识点,难度不大,属于基础题.

6. (5 分)函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<

)的最小正周期是 π,若其图象向右平移

个单位后得到的函数为奇函数,则函数 f(x)的图象() A.关于点( C. 关于点( ,0)对称 ,0)对称 B. 关于 x= D.关于 x= 对称 对称

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由已知求出满足条件的 ω,φ 值,求出函数的解析式,进而分析出函数 f(x)的对称 性,可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< ∴ω=2, 则 f(x)=sin(2x+φ) , 将其图象向右平移 个单位后得到的函数 g(x)=sin[2(x﹣ )+φ]的图象, )的最小正周期是 π,

若得到的函数为奇函数, 则 g(0)=sin[2?(﹣ 即 φ﹣ ∵|φ|< =kπ,k∈Z ,故 φ= , ) , + ,k∈Z 时,函数取最值, + , k∈ Z )+φ]=0,

故 f(x)=sin(2x+ ∵当 2x+ =

+kπ,即 x=

故函数 f(x)的图象的对称轴方程为:x= 当 k=0 时,x=

为函数 f(x)的图象的一条对称轴,

故选:D 点评: 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,熟练掌握正弦型函数的图象和性质 是解答的关键.

7. (5 分)设点(a,b)是区域

内的随机点,函数 f(x)=ax ﹣4bx+1 在区间[1,

2

+∞)上是增函数的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型;简单线性规划. 专题: 概率与统计. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到 结论.

解答: 解:作出不等式组

对应的平面区域如图:对应的图形为△ OAB,其中

对应面积为 S=
2



若 f(x)=ax ﹣4bx+1 在区间[1,+∞)上是增函数, 则满足 a>0 且对称轴 x= 即 由 ,对应的平面区域为△ OBC, , ,

解得



∴对应的面积为 S



∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为 故选:C



点评: 本题主要考查几何概型的概率公式的计算,作出不等式组对应的平面区域是解决本 题的关键. 8. (5 分)在棱长均为 2 的正四棱锥 P﹣ABCD 中,点 E 为 PC 的中点,则下列命题正确的是 ()

A.BE∥平面 PAD,且 BE 到平面 PAD 的距离为 B. BE∥平面 PAD,且 BE 到平面 PAD 的距离为 C. BE 与平面 PAD 不平行,且 BE 与平面 PAD 所成的角大于 30° D.BE 与平面 PAD 不平行,且 BE 与平面 PAD 所成的角小于 30° 考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 连接 AC,BD,交点为 O,以 O 为坐标原点,OC,OD,OP 方向分别 x,y,z 轴正 方向建立空间坐标系,分别求出直线 BE 的方向向量与平面 PAD 的法向量,代入向量夹角公 式,求出 BE 与平面 PAD 夹角的正弦值,再由正弦函数的单调性,即可得到答案. 解答: 解:连接 AC,BD,交点为 O,以 O 为坐标原点,OC,OD,OP 方向分别 x,y,z 轴正方向建立空间坐标系 由正四棱锥 P﹣ABCD 的棱长均为 2,点 E 为 PC 的中点, 则 O(0,0,0) ,A(﹣ ,0,0) ,B(0,﹣ ,0) ,C( ,0,0) ,D(0, ,0) , P(0,0, 则 =( ) ,E( , , ,0, ) , ) ,0,﹣ ) , =(0, ,且 ⊥ ,﹣ ) ,

=(﹣

设 =(x,y,z)是平面 PAD 的一个法向量,则 ⊥ 即 ,令 x=1

则 =(1,﹣1,﹣1)是平面 PAD 的一个法向量, 设 BE 与平面 PAD 所成的角为 θ 则 sinθ= = <

故 BE 与平面 PAD 不平行,且 BE 与平面 PAD 所成的角小于 30° 故选 D 点评: 本题考查的知识点是直线与平面所成的角,其中建立适当的空间坐标系,将直线与 平面的夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键.

9. (5 分)称 d(

)=| ﹣ |为两个向量 、 间的“距离”.若向量 、 满足:①| |=1;

② ≠ ;③对任意的 t∈R,恒有 d( ,t )≥d( , ) ,则() A. B. ⊥( ) C. ⊥( ) D.( )⊥(

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 先作向量 并设 而得到 解答: 解:如图,作 ,连接 AC,则有 .

,从而

,容易判断向量 t 的终点在直线 OB 上, .从而根据向量距离的定义,可说明 AB⊥OB,从

,则

,t ∥ ,

∴向量 t 的终点在直线 OB 上,设其终点为 C,则: 根据向量距离的定义,对任意 t 都有 d( ∴AB⊥OB; ∴ 故选:C. . )= ;

点评: 考查有向线段可表示向量,以及对向量距离的理解,向量减法的几何意义,共线向 量基本定理. 10. (5 分)已知抛物线 M:y =4x,圆 N: (x﹣1) +y =r (其中 r 为常数,r>0) .过点(1, 0)的直线 l 交圆 N 于 C、D 两点,交抛物线 M 于 A、B 两点,且满足|AC|=|BD|的直线 l 只有 三条的必要条件是() A.r∈(0,1] B.r∈(1,2] C. D.
2 2 2 2

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 综合题;压轴题;数形结合;转化思想;综合法. 分析: 本题中应用采用设出直线,将直线与圆,与抛物线联立起来,利用同一直线上的线 段的长度比与两线段端点的纵坐标差的比成比例建立方程, 再由根系关系将此方程转化为关于 参数 m 的不等式,解出满足|AC|=|BD|的直线 l 只有三条的充要条件,再依据必要条件的定义 比对四个选项找出必要条件 解答: 解:x=1 与抛物线交于(1,土 2) ,与圆交于(1,土 r) ,满足题设. 设直线 l:x=my+1, (1) 2 2 代入 y =4x,得 y ﹣4my﹣4=0, 2 △ =16(m +1) , 把(1)代入(x﹣1) +y =r 得 y =
2 2 2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) , |AC|=|BD| 即 y1﹣y3=y2﹣y4, 即 y1﹣y2=y3﹣y4, 即4
2

=

即 r=2(m +1)>2, 即 r>2 时,l 仅有三条. 考查四个选项,只有 D 中的区间包含了(2,+∞) 即 是直线 l 只有三条的必要条件

故选 D. 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的关系,解题的关键是根据题设条件解出满足|AC|=|BD|的 直线 l 只有三条的充要条件,再由必要条件的定义比对四个选项找出它的必要条件来. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置.

11. (4 分)若

=



考点: 专题: 分析: 解答:

微积分基本定理;函数的值. 计算题. 利用 x>0 时,函数的周期是 4,推出 f=f(0) ,然后求解表达式的值. 解:∵x>0,f(x)=f(x﹣4) ,所以 f=f=…=f(0) , costdt=sint =sin ﹣sin0= .

所以 f(0)=∫ 故答案为:

点评: 本题考查函数值的求法,定积分的应用,考查计算能力.

12. (4 分)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于



考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据程序可知本程序的功能是计算 S=2 +2 +2 +2 +2 可得到结论.
﹣1 ﹣2 ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣4 ﹣5

的和,根据等比数列即
﹣4 ﹣5

解答: 解:由程序框图可知,该程序的功能是计算 S=2 +2 +2 +2 +2
﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣4 ﹣5

﹣3

的和,

则根据等比数列的求和公式可知 S=2 +2 +2 +2 +2 =



故答案为: 点评: 本题主要考查程序框图的识别和应用,根据程序得到程序的功能是解决本题的关键. 13. (4 分)在 O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于 P 点,一分钟 后, 其位置在 Q 点, 且∠POQ=90°, 再过两分钟后, 该物体位于 R 点, 且∠QOR=30°, 则 tan∠OPQ 的值为 .

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理分别在△ RQO 和△ RPO 中分别表示出 OQ 和 OP,进而根据 tan∠OPQ= 求得答案.

解答:

解:依题意可知 RQ=2QP, 在△ RQO 中, OQ= = ,

?sinR, ?sinR,

同理在△ RPO 中,OP=

tan∠OPQ=

=

=

?

= ×

=



点评: 本题主要考查了正弦定理的运用.解决问题的关键是运用 sinR 作为中间量来解决. 14. (4 分)在(x﹣2) 4029 于2 .
2015

的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S,则当 x=2 时,S 等

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 利用二项式定理将二项式展开,令 x 分别取 2,﹣2 得到两个等式,两式相加,化简 即得. 解答: 解:设(x﹣2) =a0x +a1x +…+a2014x+a2015 2015 2014 则当 x=2 时,有 a0?2 +a1?2 +…+2a2014+a2015=0(1) 2015 2014 4030 当 x=﹣2 时,有 a0?2 ﹣a1?2 +…﹣2a2014+a2015=2 (2) 2015 4029 (1)+(2)有 a0?2 +…+a20154=2 ? 4029 即 S=2 , 4029 故答案为:2 . 点评: 本题考查二项式定理的展开式形式及赋值法求系数和. 15. (4 分)已知 a 为[0,1]上的任意实数,函数 f1(x)=x﹣a,f2(x)=﹣x +1,f3(x)=﹣ 3 2 x +x ,则以下结论: ①对于任意 x0∈R,总存在 fi(x) ,fj(x) ({i,j}?{1,2,3}) ,使得 fi(x)fj(x)≥0; ②对于任意 x0∈R,总存在 fi(x) ,fj(x) ({i,j}?{1,2,3}) ,使得 fi(x)fj(x)≤0; ③对于任意的函数 fi(x) ,fj(x) ({i,j}?{1,2,3}) ,总存在 x0∈R,使得;fi(x)fj(x) >0; ④对于任意的函数 fi(x) ,fj(x) ({i,j}?{1,2,3}) ,总存在 x0∈R,使得;fi(x)fj(x) <0. 其中正确的为①④. (填写所有正确结论的序号) 考点: 特称命题;全称命题;函数恒成立问题. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 2 3 2 分析: 根据 f1(x)=x﹣a,f2(x)=﹣x +1,f3(x)=﹣x +x 的符号变化规律,逐项检验即 可得到答案,注意四个命题间的关系. 2 解答: 解:①当 x≤﹣1 时,f2(x)=﹣x +1≤0,f1(x)=x﹣a≤﹣1﹣a<0,此时 f1(x)f2 (x)≥0;
2 2015 2015 2014

当﹣1<x≤1 时,f2(x)≥0,f3(x)=﹣x +x =x (1﹣x)≥0,此时 f2(x)f3(x)≥0; 2 3 2 2 当 x>1 时,f2(x)=﹣x +1<0,f3(x)=﹣x +x =x (1﹣x)<0,此时 f2(x)f3(x)>0; 综上,对于任意 x0∈R,总存在 fi(x) ,fj(x) ({i,j}?{1,2,3}) ,使得 fi(x)fj(x)≥0, 故①正确; ②若 a=0,当 0<x<1 时,f1(x)>0,f2(x)>0,f3(x)>0,此时不存在 fi(x) ,fj(x) ({i,j}?{1,2,3}) ,使得 fi(x)fj(x)≤0; 故②错误; ③当 a=1 时,f1(x)=x﹣1,当 x≤1 时,f1(x)≤0,f3(x)≥0,当 x>1 时,f1(x)>0,f3 (x)<0,即对任意 x 总有 f1(x)f3(x)≤0, 故③错误; 2 ④对 f1(x)=x﹣a,f2(x)=﹣x +1, 当 x>1 时,f1(x)>0,f2(x)<0,∴f1(x)f2(x)<0; 3 2 对 f1(x)=x﹣a,f3(x)=﹣x +x , 当 x>1 时,f1(x)>0,f3(x)<0,∴f1(x)f3(x)<0; 2 3 2 对 f2(x)=﹣x +1,f3(x)=﹣x +x , 当 x<﹣1 时,f2(x)<0,f3(x)>0,∴f2(x)f3(x)<0; ∴对于任意的函数 fi(x) ,fj(x) ({i,j}?{1,2,3}) ,总存在 x0∈R,使得 fi(x)fj(x)<0. 故④正确; 故答案为:①④. 点评: 本题考查函数恒成立、全称命题和特称命题,考查学生综合运用知识分析解决问题 的能力. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分)甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试,在相同测试条件下,两人 5 次测 试的成绩(单位:分)如下表: 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 58 55 76 92 88 乙 65 82 87 85 95 (Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算) ; (Ⅱ)若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中, 90 分以上的个数为 X,求随机变量 X 的分布列和期望 EX. 考点: 离散型随机变量及其分布列;茎叶图;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据表格,十位数作为茎,个位数作为叶,可得茎叶图,通过平均数和方差 可得结论; (Ⅱ) 随机变量 X 的所有可能取值为 0, 1, 2, 然后根据变量对应的事件和等可能事件的概率, 写出分布列,算出期望即可. 解答: 解: (Ⅰ)茎叶图如图所示,由图可知,乙的平均成绩大于甲的平均成绩,且乙的方 差小于甲的方差,因此应选派乙参赛更好. (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2. , , ,

3

2

2

随机变量 X 的分布列是: X 0 1 P .

2

点评: 本题主要考查茎叶图,等可能事件的概率,离散型随机变量的分布列及期望,是一 个统计的综合题,但题目运算比较简单,没有易错点,是一个送分题目. 17. (13 分)如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形,设 AC 与 BD 相交于点 O,若 ∠DAB=∠DBF=60°,且 FA=FC. (1)求证:FC∥平面 EAD; (2)求二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1) 因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD∥BC, DE∥BF, 可得平面 FBC∥ 平面 EAD,由此能够证明 FC∥平面 EAD; (2)证明 FO⊥平面 ABCD.由 OA,OB,OF 两两垂直,建立空间直角坐标系 O﹣xyz.设 AB=2.因为四边形 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,则 BD=2,求得平面 BFC、平面 AFC 的法 向量,由此能求出二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值. 解答: (1)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD∥BC,DE∥BF. 因为 AD?平面 FBC,DE?平面 FBC, 所以 AD∥平面 FBC,DE∥平面 FBC…(2 分) 又 AD∩DE=D,AD?平面 EAD,DE?平面 EAD, 所以平面 FBC∥平面 EAD

又 FC?平面 FBC, 所以 FC∥平面 EAD…(4 分) (2)解:连接 FO、FD,则 因为四边形 BDEF 为菱形,且∠DBF=60°, 所以△ DBF 为等边三角形, 因为 O 为 BD 中点.所以 FO⊥BD, 又因为 O 为 AC 中点,且 FA=FC, 所以 AC⊥FO 又 AC∩BD=O,所以 FO⊥平面 ABCD…. (6 分) 由 OA,OB,OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz 设 AB=2,因为四边形 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,则 BD=2,OB=1, 所以 …..(8 分) 所以 =( ,0, ) , =( ,1,0) ,



设平面 BFC 的一个法向量为 =(x,y,z) , 则有 ,令 x=1,则 =(1,﹣ ,1)

因为 BD⊥平面 AFC,所以平面 AFC 的一个法向量为

=(0,1,0)…. (10 分)

因为二面角 A﹣FC﹣B 为锐二面角,设二面角的平面角为 θ 则 cosθ=| |= ,

所以二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值为

…(12 分)

点评: 本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法, 考查学生分析解决问题的能力,注意向量法的合理运用. 18. (13 分)设 m∈R,函数 f(x)=cosx(msinx﹣cosx)+cos ( (Ⅰ)求 f(x)的单调递减区间;
2

﹣x) ,且 f(﹣

)=f(0) .

(Ⅱ)设锐角△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 求 f(A)的取值范围.

=



考点: 余弦定理的应用;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)现根据题意求得 m,进而化简函数解析式,利用正弦函数的图象与性质确定 单调减区间. (Ⅱ)利用余弦定理和正弦定理对已知等式化简整理求得 cosB,进而求得 B,确定 A 的范围, 则 f(A)的取值范围可得. 解答: 解: (I)f(x)=cosx(msinx﹣cosx)+cos ( 由 f(﹣ ∴f(x)= 由 2kπ+ )=f(0)得:﹣ m+ =﹣1,求得 m=2 ) , ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
2

﹣x)= sin2x﹣cos2x, ,

sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ 得:kπ+

∴f9x)的单调递减区间为:[kπ+

,kπ+

],k∈Z.

(II)∵

=

,由余弦定理得:

=



即整理得 2acosB﹣ccosB=bcosC,由正弦定理得: 2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC, 2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,cosB= , ∴B= .

∵△ABC 锐角三角形, ∴ <A< , <2A﹣ < ,

∴f(A)=2sin(2A﹣

)的取值范围为(1,2].

点评: 本题主要考查了三角函数图象与性质,正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生综 合推理能力和一定的运算能力. 19. (13 分)已知 A(﹣2,0) ,B(2,0)为椭圆 C 的左、右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,且△ APB 面积的最大值为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程及离心率; (Ⅱ)直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D,当直线 AP 绕点 A 转动时,试判断以 BD 为 直径的圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: (I)根据椭圆的特征可得当点 P 在点(0,b)时,△ APB 面积的最大,结合题中的 条件可得 a、b 与 c 的关系进而得到答案. (II)设点 P 的坐标为(x0,y0) ,由题意可设直线 AP 的方程为 y=k(x+2) ,可得点 D 与 BD 2 2 2 2 中点 E 的坐标,联立直线与椭圆的方程得(3+4k )x +16k x+16k ﹣12=0,进而表示出点 P 的坐标,结合点 F 坐标为(1,0) ,再写出直线 PF 的方程,根据点 E 到直线 PF 的距离等于直 径 BD 的一半,进而得到答案. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可设椭圆 C 的方程为 ,F(c,0) .

由题意知

解得

,c=1. ,离心率为 .

故椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 y=k(x+2) (k≠0) . 则点 D 坐标为(2,4k) ,BD 中点 E 的坐标为(2,2k) .
2 2 2 2



得(3+4k )x +16k x+16k ﹣12=0.

设点 P 的坐标为(x0,y0) ,则



所以





因为点 F 坐标为(1,0) , 当 时,点 P 的坐标为 ,点 D 的坐标为(2,±2) .
2 2

直线 PF⊥x 轴,此时以 BD 为直径的圆(x﹣2) +(y±1) =1 与直线 PF 相切. 当 时,则直线 PF 的斜率 .

所以直线 PF 的方程为



点 E 到直线 PF 的距离

=



又因为|BD|=4|k|,所以



故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.

点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆中有关数值的关系,以及椭圆与直线的位置关 系、圆与直线的位置关系. 20. (14 分)已知函数 f(x)= ,g(x)=x﹣ln(x﹣p) .

(Ⅰ)求函数 f(x)的图象在点( ,f( ) )处的切线方程; (Ⅱ)判断函数 g(x)的零点个数,并说明理由; (Ⅲ)已知数列{an}满足:0<an≤3,n∈N ,且 3(a1+a2+…+a2015)=2015.若不等式 f(a1) +f(a2)+..+f(a2015)≤g(x)在 x∈(p,+∞)时恒成立,求实数 p 的最小值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导数,可得切线斜率,即可求函数 f(x)的图象在点( ,f( ) )处的切 线方程; (Ⅱ)求导数,确定函数 g(x)的单调性,再分类讨论,即可求出零点个数; (Ⅲ)证明 f(a1)+f(a2)+…+f(a2015)≤6045,由(II)知,gmin(x)=g(p+1)=p+1,即 可求实数 p 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)= ,
*

∴f′(x)=

,…(1 分)

∴f′( )=﹣

,又 f( )=3, (x﹣ ) ,

∴函数 f(x)的图象在点( ,f( ) )的切线方程为 y﹣3=﹣

即 y=﹣

x+

.…(4 分) (x>p)

(Ⅱ)g′(x)=

当 x∈(p,p+1)时,g′(x)<0,∴g(x)在(p,p+1)单调递减; 当 x∈(p+1,+∞)时,g′(x)>0,∴g(x)在(p+1,+∞)单调递增; ∴x=p+1 时,gmin(x)=g(p+1)=p+1.…(5 分) ①当 p+1>0,即 p>﹣1 时,g(x)的零点个数为 0; ②当 p+1=0,即 p=﹣1 时,g(x)的零点个数为 1; ③当 p+1<0,即 p<﹣1 时,此时 g(p+1)<0,g(0)=﹣ln(﹣p)>0,x→p,g(x)→+∞ ∵g(x)在定义域上连续,由零点存在定理及 g(x)的单调性, 知 g(x)在(p,p+1)有且只有一个零点,g(x)在(p+1,+∞)有且只有一个零点, ∴p<﹣1 时,g(x)的零点个数为 2. 综上所述,当 p<﹣1 时,g(x)的零点个数为 2;p=﹣1 时,g(x)的零点个数为 1;p>﹣1 时,g(x)的零点个数为 0.…(9 分) (Ⅲ)∵3(a1+a2+…+a2015)=2015,当 a1=a2=…=a2015= 时,有 f( )=3. ∴f(a1)+f(a2)+…+f(a2015)=2015×f( )=6045.…(10 分) 接下来证明:f(a1)+f(a2)+…+f(a2015)≤6045. 由(I)知,函数 f(x)= 而当 0<x≤3 时,f(x)=
*

,在点( ,f( ) )的切线方程为 y=﹣ ≤﹣ x+ ?(x﹣3) (x﹣ ) ≤0 成立. an+ =
2

x+



∴当 0<an≤3,n∈N 时,有 f(an)≤﹣ ∴f(a1)+f(a2)+…+f(a2015)≤

(11﹣3an) .…(12 分)

[11×2015﹣3(a1+a2+…+a2015)]=6045

∴当 a1=a2=…=a2015= 时,f(a1)+f(a2)+…+f(a2015)的最大值为 6045. 再由(II)知,gmin(x)=g(p+1)=p+1,∴6045≤p+1 得 p≥6044. ∴p 的最小值为 6044.…(14 分) 点评: 本题考查导数知识的综合运用,考查导数的几何意义,考查函数的零点、单调性, 考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,难度大. 四、选修 4-2:矩阵与变换 21. (7 分)已知矩阵 M= 的一个特征值 l 所对应的特征向量为 .

(Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵; 2 2 (Ⅱ)求曲线 C:x +2xy+2y =1 在矩阵 M 对应变换作用下得到的新的曲线方程. 考点: 逆变换与逆矩阵;特征值与特征向量的计算. 专题: 矩阵和变换.

分析: (Ⅰ)通过

=1?

可得 a=1,b﹣0,进而可得结论;

(Ⅱ)通过设曲线 C 上任意一点(x,y)在矩阵 M 对应变换作用下得到(x′,y′) ,利用 = ,用 x′、y′表示出 x、y,并代入曲线 C 方程即得结论. =1? ,

解答: 解: (Ⅰ)依题意, ∴ ∴M= = ,解得 a=1,b﹣0, ,
﹣1

∵detM=1≠0,所以 M =
2 2



(Ⅱ)曲线 C:x +2xy+2y =1 上任意一点(x,y) 在矩阵 M 对应变换作用下得到(x′,y′) , 则 =
2

,∴
2 2

,即
2



代入方程 x +2xy+2y =1,得(x′) +(y′) =1, 2 2 ∴曲线 C 在矩阵 M 对应变换作用下得到的新的曲线方程为:x +y =1. 点评: 本题考查矩阵与变换,注意解题方法的积累,属于中档题. 五、选修 4-4:极坐标与参数方程 22. (7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .在极坐标

系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2 sin(θ+ ) .

(Ⅰ)将直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 和曲线 C 相交于 A、B 两点,求 AB 的长. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)消去参数 t,把直线 l 的参数方程化为直角坐标方程, 利用极坐标公式,把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求出圆心 C 到直线 l 的距离 d,利用勾股定理求出直线被圆截得的弦长. 解答: 解: (Ⅰ)由 ,消去参数 t,

得直线 l 的直角坐标方程为:2x﹣y+1=0;…(2 分) 由 ρ=2 得 ρ=2
2

sin(θ+ (sinθcos

) , +cosθsin )=2sinθ+2cosθ,

∴ρ =2ρsinθ+2ρcosθ,

化为普通方程得, 曲线 C 的直角坐标方程为:x +y =2y+2x, 2 2 即(x﹣1) +(y﹣1) =2;…(4 分) (Ⅱ)圆心 C(1,1)到直线 l 的距离为 d= = ,
2 2

且圆的半径为 R= , 直线被圆 C 截得的弦长 |AB|=2 =2 = .…(7 分)

点评: 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题,也考查了直线与圆的方程的应用问题, 是基础题目. 六、选修 4-5:不等式选讲 23.已知正数 a,b,c 满足 a +b +c =6. (Ⅰ)求 a+2b+c 的最大值 M; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若不等式|x+1|+|x+m|≥M 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 柯西不等式的几何意义. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: (Ⅰ) 分析题目已知 a +b +c =6, 求 a+2b+c 的最大值, 考虑到柯西不等式 (a +b +c ) 2 2 2 2 (1 +2 +1 )≥(a+2b+c) ,即可得到答案. (Ⅱ) 利用绝对值不等式的几何意义可求得|x+1|+|x+m|≥|x+1﹣ (x+m) |=|m﹣1|, 由题意及 (Ⅰ) 得,|m﹣1|≥6,从而可求得实数 m 的取值范围. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)因为已知 a、b、c 是实数,且 a +b +c =6, 2 2 2 2 2 2 2 根据柯西不等式有(a +b +c ) (1 +2 +1 )≥(a+2b+c) 2 故(a+2b+c) ≤36,即 a+2b+c≤6 即 a+2b+c 的最大值为 6, 当且仅当 ,即当 a=c=1,b=2 时取得最大值.…(4 分)
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(Ⅱ)因为|x+1|+|x+m|≥|x+1﹣(x+m)|=|m﹣1|, 由题意及(Ⅰ)得,|m﹣1|≥6,得 m≥7 或 m≤﹣5. 综上,实数 m 的取值范围为 m≥7 或 m≤﹣5.…(7 分) 点评: 本题考查柯西不等式,考查绝对值不等式的解法,掌握绝对值不等式的几何意义是 解决问题的关键,属于中档题.


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