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大学物理功和动能定律


同学们好!

四川 黄龙 五彩池

(2-2) 例、如图,物体A、B质量相同,B

在光滑水平桌面上。滑轮与绳的质量以及 空气阻力均不计,滑轮与轴之间的摩擦也 不计。系统无初速地释放。则物体A下落的 加速度是: (A)g
(C)g/2

(B)4g/5
(D)g/3

B

?牛顿第二定律

m A g ? TA ? m A a A ? m A ? m B TB ? mB a B ? TB ? 2TA d x 4 a A ? 2a B ? 2 ? aA ? g 2 dt 5
2

(2-16) 例、一块水平木板上放一砝码,

砝码质量m=0.2kg,手扶木板保持水平, 托着砝码使之在竖直平面内做半径R=0.5m 的匀速率圆周运动,数率v=1m/s,当砝码 与木板一起运动到图示位置时,砝码受到 木板的摩擦力为 0.28N 砝码受到木板的支 持力为 1.68N 。

切向t:N cos? ? mg cos? ? f s sin ? ? 0

v 法向n:mg sin ? ? f s cos? ? N sin ? ? m R 2 v ? f s ? m cos? ? 0.28 N R 2 ?圆周运动 v ? N ? mg ? m sin ? ? 1.68 N R

2

例题:一质量均匀分 布的柔软细绳铅直地 悬挂着,绳的下端刚 好触到水平桌面上,

o

如果把绳的上端放 开,绳将落在桌面上。
试证明:在绳下落的 过程中,任意时刻作 用于桌面的压力,等 于已落到桌面上的绳 重量的三倍。
x

证明:取如图坐标,设t时刻 已有x长的柔绳落至桌面,随 后的dt时间内将有质量为?dx (Mdx/L)的柔绳以dx/dt的速 率碰到桌面而停止,它的动 量变化率为:

o

dx ? ?dx ? dP dt ? dt dt

x

一维运动可用
标量

根据动量定理,桌面对柔绳的冲力为:
dx ? ?dx ? dP dt =-?v 2 F ?= ? dt dt

柔绳对桌面的冲力F=-F’ 即:
M 2 F ? ?v ? v 而v 2 ? 2 gx ? F ? 2Mgx / L L
2

而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg

动量守恒定律
一、动量守恒定律

? ? dp 由质点系动量定理: F外 ? dt ? 当质点系所受外力的矢量和 F外 ? 0 时,质点组 动量的时间变化率为零 。 即当质点系所受外力 矢量和为零时,质点系的总动量不随时间变化。
孤立系统的总动量不随时间变化。 不受外力作用且总质量不变的系统。

? 当 F外 ? 0 时

? ? p ? Mvc ? 恒矢量

孤立系统的质心作匀速直线运动

思考:系统动量守恒条件能否为: 注意:(1) 当

? F外 ? 0 时 ,系统总动量不守恒,但

F外x ? 0时 F外y ? 0时 F外z ? 0时

p x ? ? mi vix ? 恒量 p y ? ? mi viy ? 恒量 p z ? ? mi viz ? 恒量
i i i

(2) 若系统内力>>外力,以致外力可以忽略不计时, 可以应用动量守恒定律处理问题。 (3) 式中各速度应对同一参考系而言。

注意:
1、系统动量守恒,但每个质点的动量可 能变化。 2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间 极短的过程中,往往可忽略外力。

3、动量守恒可在某一方向上成立。
4、定律中的速度应是对同一惯性系的速 度,动量和应是同一时刻的动量之和。 5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 6、动量守恒定律只适用于惯性系。

§2-3



动能定律

掌握功的概念, 能计算变力的功; 掌握熟练使用动能定理解题,注意内 力的功可以改变质点组的总动能。

功和能是物理学中两个重要概念,贯穿了整个

物理学各章节中,功是力对空间的积累效应。质点
的任何运动问题从原则上讲都可以应用牛顿运动定 律来研究,然而当问题比较复杂、涉及到物体的相 互作用是多方面的,特别当某些物体相互作用不是 很明显时,牛顿定律遇到困难,而用功能关系很容 易解决。更重要的是在今后研究机械运动与非机械 运动之间的相互转化时,必须应用作为各种形态运 动普遍量度的能量概念。



空间积累:功 时间积累:冲量

研究力在空间的积累效应 ----功、动能、势能、动能

定理、机械能守恒定律。

一、功
1 恒力对沿直线运动质点所做的功 恒力作功等于恒力在位移上的投影(分量)与位

移的乘积。W ? Fdr cos?

F

F

W ? F ?dr
单位:焦耳,J

?

?

?r

2 变力对沿直曲运动质点所做的功 在实际问题中经常遇到的是变力作功问题。力的 大小和方向都随时间发生变化。即求质点M 在变力作

用下,沿曲线轨迹由a 运动到b,变力作的功。
解决方法: 1.无限分割路径; b

2.以直线段代替曲线段;
3.以恒力的功代替变力的功;

F1
?1
a

F2
?2

4.将各段元功代数求和;

?r

取极限, 令 ?r
n

?0
F cos?

W ? lim ? Fi ?r cos? i
?r ?0 i ?1

? ? Fdr cos ?
W ??
B A

b a

? ? B F ? dr ? ? F cos?dr
A

o rA

dr

rB

r

力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与

位移大小的乘积 .

说明
1 功是标量,只有大小正负之分。

? dri
? dr ?
*

?i

B
*

? dW ? F cos? dr ? F cos?ds

? ? dW ? F ? dr
0? ? ? ? 90? , dW ? 0

? ? ?1 ? F dr1
A

? Fi

F1

力对物体做正功;

90? ? ? ? 180 ? , dW ? 0 力对物体做负功; ? ? ? ? 90? F ? dr dW ? 0 力对物体不作功。

2 合力的功 多个力对物体作功,等于各力对物体作功的代数和。

W ??

b

a?L ?

? ? ? ? ? b ? F ? dr ? ? ( F1 ?F2 ? ? ? Fn ) ? dr
a?L ?

??

b a?L ?

? ? F1 ? dr ? ?

b a?L ?

? ? F2 ? dr ? ? ? ?

b a?L ?

? ? Fn ? dr

? W1 ? W2 ? ? ? Wn
注意:1、功是过程量,与路径有关。2、功 是标量,但有正负。3、合力的功为各分力的 功的代数和。

3 功率 描写作功快慢的物理量,即单位时间内外力做的功。 功率 由 有

dr dW ? Fdr cos ? 和 v ? dt dW Fdr cos? P? ? ? Fv cos? dt dt
千瓦,KW

?W dW P ? lim ? ?t ?0 ?t dt

单位:瓦特,W

1KW=103W

例1、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地 面,忽略空气阻力,求陨石下落过程中,万有引 力的功是多少? a 解:取地心为原点,引力与矢 h b 径方向相反 R R A ? ? F ? dr R ?h o R Mm ?? ? G 2 dr R ?h r

dr 1 ? ? 1 ? ?GM m ?R ?h r 2 ? GM m? R ? R ? h ? ? ?
R

GM m h ? R(R ? h)

?变力做功

例2、质量为2kg的质点在力

F 12t i =

(SI)

的作用下,从静止出发,沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。

解:(一维运动可以用标量) ?变力做功

A=? F ? d r ? ? 12tvdt
t 12t F 2 v ? v0 ? ? adt ? 0 ? ? dt ? ? dt ? 3t 0 0 m 0 2 t t

? A ? ? 12t ? 3t dt ? ? 36t dt ? 9t
2 3 0 0

3

3

4 3 0

? 729 J

例3、【4-8】

如图 M=2kg , k =200Nm , S=0.2m , g ≈ 10m· s

-1

-2

不计轮、绳质量和摩擦,弹簧最初为自然长度, 缓慢下拉, 则 AF = ? 解: 用 F 将绳端下拉0. 2 m , 物体 M将上升多高?

?变力做功

? kx0 ? Mg ? x0 ? 0.1m S ? 0.2m

弹簧伸长 0.1 m 物体上升 0.1 m
k
M

S

F

缓慢下拉:每时刻物体处于平衡态 k x (0<x≤0.1m) 前0.1m为变力 F= k x0 =Mg
0.1

(0.1<x≤0.2m) 后0.1m为恒力
0.2

A ? ? k xdx ? ? Mgdx
0 1 2 2 0.1 0.1 0.2

? k x |0 ? Mgx |0.1 ? 3?J ?
k
M

S

F

二、动能和动能定理
当外力移动物体从a到b过程中, 力对物体作功,将外力分解为 切向分力和法向分力

Fn

F

b

由 W? 而

?

b

a

F ? d r ? ? Fdr cos ?

b a

?

v dv W ? ? F? dr ? ? m dr ? ?v mvdv dt 1 1 2 2 ?W ? mv ? mv0 2 2

dv F? ? ma? ? m dt
b a

F cos? ? F?

F?

a

b a

0

动能(状态函数)

1 p 2 Ek ? mv ? 2 2m

2

W ? Ek2 ? E k1
动能定理:

作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的
功,等于质点在同一路程的始、末两个状态动能的

增量。
动能定理表明力的空间积累作用的效果。其也

称为功能定理。

三、质点系的动能定理
如果研究的对象为质点系, 动能定理又如何表示?以最简 单的两个质点组成的质点系为 研究对象。 两个质点质量为 m1、 m2 ,受外力F1、 F2,内力为f12、f21,初 速度为v10、v20,末速度 为v1、v2,位移为

v10 ? v1

F1

m1 f12 f21

?1
?1 ' ?r1

m2 v20 ? v2

? 2 ' ?r 2 ?2
F2

?r1 , ?r2

对 m1 、m2 应用质点动能定理,

W1外 ? W1内 ? Ek1 ? Ek10 W2外 ? W2内 ? Ek 2 ? Ek 20
由于 m1 、m2 为一个系统,将上两式相加:
i ?1

? Wi外 ? ? Wi内 ? ? Eki ? ? Eki 0
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

n

令 Ek
n i ?1

? ? Eki 为质点系的动能,
i ?1 n i ?1

n

? Wi外 ? ? Wi内 ? Ek ? Ek 0 ? ?Ek

推广到有 i 个质点的质点系
对第 i 个质点,有

Wi ? Wi ? Eki ? Eki 0
ex in

m1

? ex Fi

? in m i m2 Fi

外力功

内力功

对质点系,有

?W
i

ex

i

? ?Wi ? ? Eki ? ? Eki 0 ? Ek ? Ek 0
in i i i

质点系动能定理

W

ex

? W ? Ek ? E k 0
in

合外力与合内力作功代数和,等于质点系动能的增量。

作业
P18 7, 15, 21 (选择、填空要写原因过程)
(写明班级、学号或序号、姓名)


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