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【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,文科)练透高考必会题型:专题5 第23练


第 23 练

基本量——破解等差、等比数列的法宝

[内容精要] 数列在中学教材中既具有独立性,又具有较强的综合性,是初等数学与高等数学 的一个重要衔接点.而作为数列中两个最基本的数列——等差数列和等比数列又有着很重要 的地位,本节从两个数列的基本量来研究这两个数列.

题型一 等差、等比数列的基本运算 例 1 已知等

差数列{an}的前 5 项和为 105,且 a10=2a5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中不大于 72m 的项的个数记为 bm.求数列{bm}的前 m 项和 Sm. 破题切入点 (1)由已知列出关于首项和公差的方程组,解得 a1 和 d,从而求出 an. (2)求出 bm,再根据其特征选用求和方法. 解 (1)设数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Tn, 由 T5=105,a10=2a5,

?5a +5×?5-1?d=105, 2 得? ?a +9d=2?a +4d?,
1 1 1

解得 a1=7,d=7. 因此 an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*). (2)对 m∈N*,若 an=7n≤72m,则 n≤72m-1. 因此 bm=72m-1. 所以数列{bm}是首项为 7,公比为 49 的等比数列,

-1-

b1?1-qm? 7×?1-49m? 7×?72m-1? 故 Sm= = = 48 1-q 1-49 72m+1-7 = . 48 题型二 等差、等比数列的性质及应用 例 2 (1)已知正数组成的等差数列{an},前 20 项和为 100,则 a7· a14 的最大值是( A.25 B.50 C.100 D.不存在 S12 S10 (2)在等差数列{an}中,a1=-2 013,其前 n 项和为 Sn,若 - =2,则 S2 013 的值为( 12 10 A.-2 011 B.-2 012 C.-2 010 D.-2 013 20?a1+a20? 破题切入点 (1)根据等差数列的性质,a7+a14=a1+a20,S20= 可求出 a7+a14,然 2 后利用基本不等式.
?Sn? (2)等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,则? n ?也成等差数列. ? ?

)

)

答案 (1)A (2)D a1+a20 解析 (1)∵S20= ×20=100,∴a1+a20=10. 2 ∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10. ∵an>0,∴a7· a14≤?

?a7+a14?2 ? =25. ? 2 ?

当且仅当 a7=a14 时取等号. 故 a7· a14 的最大值为 25.
?Sn? S1 (2)根据等差数列的性质,得数列? n ?也是等差数列,根据已知可得这个数列的首项 =a1=- 1 ? ?

S2 013 2 013,公差 d=1,故 =-2 013+(2 013-1)×1=-1,所以 S2 013=-2 013. 2 013 题型三 等差、等比数列的综合应用 例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足条件 2Sn=3(an-1),其中 n∈N*. (1)证明:数列{an}为等比数列; (2)设数列{bn}满足 bn=log3an,若 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和. 破题切入点 (1)利用 an=Sn-Sn-1 求出 an 与 an-1 之间的关系,进而用定义证明数列{an}为等 比数列.
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(2)由(1)的结论得出数列{bn}的通项公式,求出 cn 的表达式,再利用错位相减法求和. 3 (1)证明 由题意得 an=Sn-Sn-1= (an-an-1)(n≥2), 2 an ∴an=3an-1,∴ =3(n≥2), an-1 3 又 S1= (a1-1)=a1,解得 a1=3, 2 ∴数列{an}是首项为 3,公比为 3 的等比数列. (2)解 由(1)得 an=3n,则 bn=log3an=log33n=n, ∴cn=anbn=n· 3n, 设 Tn=1· 31+2· 32+3· 33+…+(n-1)· 3n-1+n· 3n, 3Tn=1· 32+2· 33+3· 34+…+(n-1)· 3n+n· 3n+1. ∴-2Tn=31+32+33+…+3n-n· 3n+1 3?1-3n? = -n· 3n+1, 1-3 ?2n-1?3n+1+3 ∴Tn= . 4 总结提高 (1)关于等差、等比数列的基本量的运算,一般是已知数列类型,根据条件,设出

a1,an,Sn,n,d(q)五个量的三个,知三求二,完全破解. (2)等差数列和等比数列有很多相似的性质,可以通过类比去发现、挖掘. (3)等差、等比数列的判断一般是利用定义,在证明等比数列时注意证明首项 a1≠0,利用等比 数列求和时注意公比 q 是否为 1.

1. 已知{an}为等差数列, 其公差为-2, 且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为{an}的前 n 项和, n∈N*, 则 S10 的值为( A.-110 C.90 答案 D 解析 ∵a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,
-3-

) B.-90 D.110

又∵a7 是 a3 与 a9 的等比中项, ∴(a1-12)2=(a1-4)· (a1-16), 解得 a1=20. 1 ∴S10=10×20+ ×10×9×(-2)=110. 2 2.(2014· 课标全国Ⅱ)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn 等于( A.n(n+1) n?n+1? C. 2 答案 A
2 解析 由 a2,a4,a8 成等比数列,得 a4 =a2a8,

) B.n(n-1) n?n-1? D. 2

即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14), ∴a1=2. n?n-1? ∴Sn=2n+ ×2 2 =2n+n2-n=n(n+1). 3.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2S4=S5+S6,则数列{an}的公比 q 的值为( A.-2 或 1 C.-2 答案 C 解析 方法一 若 q=1, 则 S4=4a1,S5=5a1,S6=6a1, 显然不满足 2S4=S5+S6, 故 A、D 错. 若 q=-1,则 S4=S6=0,S5=a5≠0, 不满足条件,故 B 错,因此选 C. 方法二 经检验 q=1 不适合, 则由 2S4=S5+S6,
-4-

)

B.-1 或 2 D.1

得 2(1-q4)=1-q5+1-q6,化简得 q2+q-2=0,解得 q=1(舍去),q=-2. 4.(2014· 大纲全国)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.4 D.3 答案 C 解析 数列{lg an}的前 8 项和 S8=lg a1+lg a2+…+lg a8 =lg(a1· a2· …· a8)=lg(a1· a8)4 =lg(a4· a5)4=lg(2×5)4=4. 5.(2014· 大纲全国)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=3,S4=15,则 S6 等于( A.31 B.32 C.63 D.64 答案 C 解析 在等比数列{an}中,S2、S4-S2、S6-S4 也成等比数列, 故(S4-S2)2=S2(S6-S4), 则(15-3)2=3(S6-15), 解得 S6=63. An 7n+45 an 6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = ,则使得 为整数 Bn n+3 bn 的正整数 n 的个数是( ) ) )

A.2 B.3 C.4 D.5 答案 D 解析 由等差数列的前 n 项和及等差中项, 1 ?a +a2n-1? an 2 1 可得 = bn 1 ?b +b2n-1? 2 1 1 ?2n-1??a1+a2n-1? A2n-1 2 = = 1 ?2n-1??b1+b2n-1? B2n-1 2 = 7?2n-1?+45 14n+38 = ?2n-1?+3 2n+2

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7n+19 12 =7+ (n∈N*), n+1 n+1

an 故 n=1,2,3,5,11 时, 为整数. bn 即正整数 n 的个数是 5. 2 1 7.(2013· 课标全国Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an=________. 3 3 答案 (-2)n
-1

解析 当 n=1 时,a1=1; 当 n≥2 时, 2 2 an=Sn-Sn-1= an- an-1, 3 3 故 =-2,故 an=(-2)n-1. an-1 an

8. (2014· 江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中, 若 a2=1, a8=a6+2a4, 则 a6 的值是________. 答案 4 解析 因为 a8=a2q6, a6=a2q4, a4=a2q2, 所以由 a8=a6+2a4 得 a2q6=a2q4+2a2q2, 消去 a2q2, 得到关于 q2 的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得 q2=2,a6=a2q4=1×22=4. 9.(2014· 安徽)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q =________. 答案 1 解析 设等差数列的公差为 d, 则 a3=a1+2d,a5=a1+4d, ∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得 d=-1, a3+3 a1-2+3 ∴q= = =1. a1+1 a1+1 10.在数列{an}中,如果对任意 n∈N*都有 列,k 称为公差比.现给出下列问题: ①等差比数列的公差比一定不为零; ②等差数列一定是等差比数列; ③若 an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列;
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an+2-an+1 =k(k 为常数),则称数列{an}为等差比数 an+1-an

④若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比. 其中正确命题的序号为________. 答案 ①③④ 解析 若 k=0,{an}为常数列,分母无意义,①正确;公差为零的等差数列不是等差比数列, an+2-an+1 an+2-an+1 a1qn+1-a1qn ②错误; =3, 满足定义, ③正确; 设 an=a1qn-1(q≠0), 则 = n an+1-an an+1-an a1q -a1qn-1 =q,④正确. 11.(2014· 课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; an (2)求数列{ n}的前 n 项和. 2 解 (1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3, 由题意得 a2=2,a4=3. 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d, 1 3 故 d= ,从而 a1= . 2 2 1 所以{an}的通项公式为 an= n+1. 2 an (2)设{ n}的前 n 项和为 Sn. 2 an n+2 由(1)知 n= n 1 ,则 2 2+ n+1 n+2 3 4 Sn= 2+ 3+…+ n + n 1 , 2 2 2 2+ n+1 n+2 1 3 4 Sn= 3+ 4+…+ n 1 + n 2 . 2 2 2 2+ 2+ 两式相减得 n+2 1 3 1 1 Sn= +( 3+…+ n 1)- n 2 2 4 2 2+ 2+ n+2 3 1 1 = + (1- n 1)- n 2 . 4 4 2- 2+

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n+4 所以 Sn=2- n 1 . 2+ 12.(2014· 北京)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且 {bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 a4-a1 12-3 d= = =3, 3 3 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 b4-a4 20-12 q3= = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3 所以 bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 从而 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). 3 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1), 2 数列{2n-1}的前 1-2n n n 项和为 =2 -1. 1-2

3 所以,数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2n-1. 2

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