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江苏省泰州市姜堰区2016届高三上学期期中考试 数学(文)


姜堰区 2015-2016 学年度第一学期期中调研测试 高三年级数学试题(文)
(考试时间:120 分钟
命题人:史记祥(省姜堰二中)
2015.11

总分 160 分)
审核人:王如进 孟太

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 请把答案填写在答题卡相应位置 ...

.... 上 . 1.若复数 z ? i(3 ? 2i) ( i 是虚数单位) ,则 z 的实部为 ▲ . ▲ .

2.已知 A ? [1, 4], B ? (??, a] ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围为

3 .若样本数 据 x1 , x2 ,..., x10 的平均数为 8 , 则数据 2 x1 ?1, 2 x2 ?1,..., 2 x10 ?1 的平均 数为 ▲ .

?x ? y ? 0 ? 4.若 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? 0 ?
5.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为 ▲







S←1 I←1 While I ? 10 S←S+2 I←I+3 End While Print S
(第 5 题图)

6.设 x ? R ,则“ x ? 2 ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的
2



条件(从“充分不必

要” 、 “必 要不充分” 、 “既不充分也不必要” 、 “充要”中选择) . 7.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机 摸出 2 只球,则这 2 只球中有黄球的概率为 ▲ . 8.将函数 f ( x) ? cos x 图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得到 的图像向右平移

? 个单位长度得到函数 g ( x) ,则 g ( x) ? 3





9.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 3,sin B ? ▲ .

3 ? , C ? ,则 b ? 2 6

10.在 ?ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2MC, BN ? NC ,若 MN ? xAB ? yAC ,则 x ? y ? ▲ . 11.与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行且与圆 x2 ? y 2 ? 5 相切的直线方程为 ▲ .

???? ?

???? ? ??? ?

????

???? ?

??? ?

??? ?

12.过点 P(?1,0) 作曲线 C : y ? ex 的切线,切点为 T1 ,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 ,过点 H1 再作曲线 C 的切线,切点为 T2 , 设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 , 依次下去, 得到第 n ? 1 (n ? N ) 个切点 Tn ?1 ,则点 T2015 的坐标为 13. 如果函数 f ( x) ? 最大值为
3





1 1 (m ? 2) x 2 ? (n ? 8) x ? 1(m ? 0, n ? 0) 在区间 [ , 2] 单调递减, 则 mn 的 2 2




14.设 x ? ax ? b ? 0 ,其中 a , b 均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的有 ▲ (写出所有正确条件的编号) ① a ? 0, b ? 2 ;② a ? 3, b ? 2 ;③ a ? ?3, b ? ?3 ;④ a ? ?3, b ? 2 ;⑤ a ? ?3, b ? 2 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必要的 ........ 文字说明、证明过程或演算步骤 15. (本小题满分 14 分)
x x x 已知函数 f ( x) ? sin cos ? sin 2 2 2 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 [?? ,0] 上的最小值

16. (本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m ? ( (1)若 m ? n ,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为

??

2 2 ? ? ,? ), n ? (sin x, cos x), x ? (0, ) . 2 2 2

??

?

??

?

? ,求 x 的值. 3

17. (本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 的顶点是 A(?1,0), B(2, 3), C(1, ?2) , O 为坐标原点. (1)求 ?ABC 外接圆方程; (2)设 P 为 ?ABC 外接圆上任意一点,求 OP 的最大值和最小值.

18. (本小题满分 16 分) 强度分别为 a , b 的两个光源 A, B 间的距离为 d .已知照度与光的强度成正比,与光

P ? x , 源距离的平方成反比, 比例系数为 k (k ? 0, k为常数) . 线段 AB 上有一点 P , 设A
P 点处总照度为 y .试就 a ? 8, b ? 1, d ? 3 时回答下列问题. (注: P 点处的总照度为 P
受 A, B 光源的照度之和) (1)试将 y 表示成关于 x 的函数,并写出其定义域; (2)问: x 为何值时, P 点处的总照度最小?

19. (本小题满分 16 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 +b3 = 2a3 ,

a5 - 3b2 = 7 .
(1)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 cn = anbn , n ? N* ,其前 n 项和为 Tn . ①求 Tn ; ②若 ? ? n(Tn ? 3) 对任意 n ? N 恒成立,求 ? 的最大值.
?

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

( x ? 1) 2 . 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)证明:当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ; (3) 确定实数 k 的所有可能取值, 使得存在 x0 ? 1 , 当 x ?, 恒有 f ( x) ? k ( x ? 1) . 1 ( ) x0 时,

姜堰区 2015-2016 学年度第一学期期中调研测试 高三年级数学试题(文)参考答案
1.2 9. 2. a ? 4 10. 3.15 4.2 5.7 6.充分不必要 12. (2014, e2014 ) 7.

5 6

8. cos( x ?

1 2

?
6

)

3 或3 2

1 3

11. 2 x ? y ? 5 ? 0

13.18

14. ①②③⑤

15. 解: (1) f ( x) ?

sin x 1 ? cos x 1 1 ? ? (sin x ? cos x) ? 2 2 2 2

?
-----------4 分 所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? -----------7 分 (2)因为 x ? [?? , 0] ,所以 x ? -----------9 分 所以当 x ?

2 ? 1 sin( x ? ) ? 2 4 2

2? ? 2? 1

?
4

? [?

3? ? , ] 4 4

?
4

??

?
2

,即 x ? ?

3? 时 4

-----------11 分

f ( x) 取最小值为 ?
-----------14 分

2 1 ? 2 2

16.解: (1)因为 m ? n ,所以 m ? n ? (

??

?

?? ?

2 2 ,? ) ? (sin x, cos x) 2 2

?
-----------4 分 所以 sin x ? cos x 因为 x ? (0, -----------7 分

2 2 sin x ? cos x ? 0 2 2

?
2

) ,所以 tan x ? 1

?? ? ? m?n (2)由 cos ? ?? ? ? 3 | m || n |

2 2 sin x ? cos x 2 2 2 2 2 ( ) 2 ? (? ) ? sin 2 x ? cos2 x 2 2

? sin( x ? ) 4
-----------10 分 因为 x ? (0,

?

?
2

) ,所以 x ?

?
4

? (?

? ?

, ) 4 4

-----------12 分 所以 x ?

?
4

?

?
6

,即 x ?

5? 12

-----------14 分 17.解: (1)设外接圆方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,代入 A, B, C 坐标,
2 2

?1 ? D ? F ? 0 ? 得 ? 4 ? 3 ? 2 D ? 3E ? F ? 0 ?1 ? 4 ? D ? 2 E ? F ? 0 ?
-----------2 分

? D ? ?2 ? 解得 ? E ? 0 ? F ? ?3 ?
-----------5 分 所以外接圆的方程为 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0
2 2

-----------7 分 (2)设圆上任意一点 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? y0 ? 2x0 ? 3 ? 0
2 2

所以 OP2 ? x02 ? y02 ? 2x0 ? 3 -----------9 分 又外接圆的标准方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ,所以 x0 ?[?1,3] 所以 OP 最小值为 1,最大值为 9 即 OP 最小值为 1, 最大值为 3 分 18.解: (1)由题意可知: -----------14
2

P 点处受 A 光源的照度为 y1 ?
-----------2 分

ka 8k ? x2 x2

P 点处受 B 光源的照度为 y1 ?
-----------4 分 从而,P 点的总照度为 y ? 分 其定义域为 {x | 0 ? x ? 3} -----------7 分 (2)对函数求导,可得 y ? ?
'

kb k ? 2 (3 ? x) (3 ? x) 2

8k k ? , 2 x (3 ? x) 2

-----------6

16k 2k ? , 3 x (3 ? x)3

-----------9

分 令 y' ? 0 ,得 ?

16k 2k 2k 16k ? ? 0, ? 3 , 3 3 3 x (3 ? x) (3 ? x) x 1 8 ? 3 ,所以 x3 ? 8(3 ? x)3 ,解得 x ? 2 3 (3 ? x) x
-----------11

因为 k ? 0 ,所以 分

当 0 ? x ? 2, y ? 0;2 ? x ? 3, y ? 0
' '

-----------13 分

因此, x ? 2 时, y 取得极小值,且是最小值 分 答:x ? 2 时,P 点处的总照度最小 分 19.解: (1)设 {an } 的公比为 q , {bn } 的公差为 d ,由题意 q ? 0 , 由 -----------1 分 解 -----------3 分 所 以 {an } 的 通 项 公 式 为 an ? 2n?1 , n ? N? , 得 已 知 , 有

-----------15

-----------16

?2q 2 ? 3d ? 2 ? 4 ? q ? 3d ? 10
q?2 d ?

{bn } 的 通 项 公 式 为

bn ? 2n ?1, n ? N? ----------5 分
(2)由(1)有 cn ? ? 2n ?1? 2
n?1

,则

Tn ? 1? 20 ? 3? 21 ? 5? 22 ? ?? ? 2n ?1? ? 2n?1, 2Tn ?
----------7 分 两式相减得 ?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2n ?1? ? 2 ? ? ? 2n ? 3? ? 2 ? 3,
2 3 n n n

1? 21 ? 3? 22 ? 5? 23 ? ?? ? 2n ?1? ? 2n ,

所 -----------10 分



Tn ? ? 2n ?

?

n

?

(3)令 en ? n(Tn ? 3) ? n(2n ? 3)2 n 由 en ? en?1 ,得 n(2n ? 3)2 ? (n ? 1)(2n ?1)2
n
?

n?1

,即 n(2n ? 3) ? 2(n ? 1)(2n ? 1)

解得对任意 n ? N 成立,即数列 {en } 为单调递增数列, 所 以

{en }











e1 ? ?2

-----------13 分
? 因为 ? ? en 对任意 n ? N 恒成立,所以 ? ? ?2 ,

所 以 -----------16 分

?











?2

20.解: (1)函数的定义域为 (0, ??) 分 对函数求导,得 f ( x) ?
'

-----------1

1 ? x2 ? x ? 1 ? x ?1 ? x x

-----------2



?x ? 0 1? 5 ? 由 f ( x) ? 0 ,得 ? ? x 2 ? x ? 1 ,解得 0 ? x ? 2 ?0 ? x ?
'

故 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, 分

1? 5 ) 2

-----------4

证明: (2)令 F ( x) ? f ( x) ? ( x ?1), x ? (1, ??) ,

则 -----------5 分



F ' ( x) ?

1 ? x2 x

当 x ? (1, ??) 时, F ( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 (1, ??) 上单调递减,
'

-----------7

分 故当 x ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 ,即 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 分 解: (3)由(2)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意; 分 当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ( x) ? x ? 1 ? k ( x ? 1) , 则 f ( x) ? k ( x ? 1) ,从而不存在 x0 ? 1 满足题意; 分 当 k ? 1 时,令 G( x) ? f ( x) ? k ( x ? 1), x ? (1, ??) -----------12 -----------10 -----------9

则有 G ( x) ?
'

1 ? x 2 ? (1 ? k ) x ? 1 ? x ?1? k ? x x

由 G' ( x) ? 0 得, ? x2 ? (1 ? k ) x ? 1 ? 0 . 解得 x1 ?

1 ? k ? (1 ? k )2 ? 4 1 ? k ? (1 ? k )2 ? 4 ? 0, x2 ? ?1 2 2

-----------14 分

所以当 x ? (1, x2 ) 时, G' ( x) ? 0 ,故 G ( x) 在 (1, x2 ) 内单调递增, 从而当 x ? (1, x2 ) 时, G( x) ? G(1) ? 0 ,即 f ( x) ? k ( x ? 1) 综上,k 的取值范围是 k ? 1 -----------16 分


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