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湖北省宜昌市一中2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题新人教A版


宜昌一中沙市中学 2013 年秋季高一年级期末考试数学试卷公安一中
命题学校:宜昌一中 审题学校:沙市中学、公安一中 试卷满分 150 分

考试时间:2014 年 1 月 19 日上午 8:00—10:00 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. sin(?

19 ? ) 的值等于( 6
B. ?



A.

1 2

1 2

C.

3 2


D. ?

3 2

2.函数

f ( x) ?
2)

2 1 ? x2

? x ? R ? 的值域是
B. (0,

( C. [0,

A. (0,

2]

2)

D. [0,

2]
?
2 ) 的一

3.函数 y ? 2sin ? x cos ? x (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则函数 f ( x) ? 2sin(? x ? 个单调增区间是( A. [ ? , ] 4.函数 y ? A. ? ) B. [ ,??

? ? 2 2

? 2

C. [?, ]

?? 2

D. [0, ]

? 2

5 ? sin 2 x ? 3cos x 的最小值是( 4
B. ?2



7 4

C.

1 4

D. ?

5 4


→ → → 5.已知 O、A、M、B 为平面上四点,且OM=λ OB+(1-λ )OA,λ ∈(1,2),则( A.点 M 在线段 AB 上 C.点 A 在线段 BM 上 6.若 ? , ? ? ( B.点 B 在线段 AM 上 D.O、A、M、B 四点共线

3? 3 ? 12 ? , ? ) ,sin(? ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值等于( 4 5 4 13 4 56 56 5 16 A. ? B. C. ? D. 65 65 13 65



7.设 ? ﹑ ? 为钝角,且 sin ? ?

5 3 10 , cos ? ? ? ,则 ? ? ? 的值为 ( 10 5

)

-1-

A.

?? 4

B.

?? 4

C.

8.若函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |?

?

?? 4

D.

?? ?? 或 4 4

2

)在一个周期内

的图象如图所示, M 、 N 分别是这段图象的最高点和最低点,且 ???? ? ???? ) OM ? ON ? 0 ,则 A ? ? ? ( A. C.

? 6
7 ? 6

B. D.

7 ? 12 7 ? 3

9.已知函数 f ( x) ? 1 ? sin

?
2

,且 x ,若有四个不同的正数 x i 满足 f ( xi ) ? M ( M 为常数) ) D. 12 或 20

xi ? 8 , (i ? 1,2,3,4) ,则 x1 ? x2 ? x 3 ? x4 的值为(
A. 10 B.12 C.20

1 ? ?? x ? 3 , x ? 3 2 10.定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ? ,若关于 x 的方程 f ( x) ? af ( x) ? b ? 0 有 3 ? 2, x ? 3 ?
个不同实数解 x1 , x2 , x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 ,则下列说法错误 的是( .. A. 5 ? b ? 2a ? 1 C. x1 ? x2 ? x3 ? 3 B. b ? 0 D. x1 ? x2 ? x3 ? 9
2 2 2



第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知 3 ? 5 ? 15 ,则
x y

1 1 ? ? ______________. x y

12.函数 y ?

1 的定义域为______________. lg( x ? 1)

13.函数 y ? sin( x ? ) , x ? ? ?? , ? 的单调递增区间为______________. 2 2 3

1

?

? ?

?? ?

14.在等腰 ?ABC 中, AB

? AC ? 2, ?ABC ?

?
6

? ??? ? ??? , D 是 BC 的中点,则 BA 在 CD
-2-

方向上的投影是 15. 已知函数 f ( x ) ? ?



?log 2 ( x ? 1)( x ? 0) 2 ? ? x ? 2 x( x ? 0)

若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点, 则实数 m

的取值范围是_______________.

三、解答题:本大题有6个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,若角 α 的始边为 x 轴的非负半轴,终边为射 线 l: y ? 2x ( x ? 0) . (I)求 tan 2? 的值;
2 cos 2

?
2

? 2sin(? ? ? ) ? 1 7? ) 4

(II)求

的值.

2 cos(? ?

17. (本小题满分 12 分)已知 sin(

? 3 17? 7? 1 ? tan x ,求 的值. ? x) ? , ?x? 4 5 12 4 2sin 2 x ? sin 2 x

18. (本题满分 12 分)某商店经销一种商品,每件进价 7 元,市场预计以每件 20 元的价格销 售时该店一年可销售 2000 件,经过市场调研发现每件销售价格在每件 20 元的基础上每 减少一元则增加销售 400 件, 而每增加一元则减少销售 100 件, 现设每件的销售价格为 x 元, x 为整数. (I)写出该商店一年内销售这种商品所获利润 y (元)与每件的销售价格 x (元)的函数关系 式(并写出这个函数的定义域 ); ... (II)当每件销售价格 x 为多少元时,该商店一年内利润 y (元)最大,并求出最大值.

19.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos ( x ?
2

?

?π π? ) ? 3 cos 2 x ? 1 , x ? ? , ? 4 ?4 2?

(I)求 f ( x) 的最大值和最小值;
-3-

(II)若对任意实数 x ,不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范 4 2 围.

?π π? ? ?

? ? ? 3 3 1 1 20. (本题满分 13 分)已知向量 a ? (cos x,sin x) , b ? (cos x, ? sin x) ,且 x ? [0, ] 2 2 2 2 2

(I)求 a ? b 及 a ? b ; (II)若函数 f ( x) ? a ? b ? 4m a ? b ? 1 的最小值为 ?
? ? ? ?

? ?

?

?

1 ,求 m 的值. 2

1 21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? |1 ? | (x > 0) x

(I)求 f ( x) 的单调减区间并证明; (II)是否存在正实数 m , n ( m < n ) ,使函数 f ( x) 的定义域为[ m , n ]时值域 为[
m n , ]?若存在,求 m,n 的值;若不存在,请说明理由. 6 6

1 (Ⅲ)若存在两个不相等的实数 r 和 s ,且 r ? ?1, ?? ? , s ? ?1, ?? ? ,使得 f (r ) ? r ? t 2 1 和 f (s) ? s ? t 同时成立,求实数 t 的取值范围. 2

宜昌一中 沙市中学 2013 年秋季高一年级期末考试数学试卷 公安一中 评分标准及参考答案

-4-

一、选择题: ABCAB 二、填空题: 11.1 15. (0,1) 三、解答题: 12.

ACCDD

?1,2 ? ? (2 , ??)

13.

?? ? ? ? , ? 3? ? ?

14.

? 3

16.解: (Ⅰ)在终边 l 上取一点 P(?1, ?2) ,则 tan ? ? ∴ tan 2? ?
2 cos 2

?2 ? 2 ·········· 3 分 ?1

? ? 2sin(? ? ? ) ? 1 cos ? ? 2sin ? cos ? ? 2sin ? 2 ? (Ⅱ) . ····· 9 分 ? ? 7? cos ? ? sin ? 2 cos(? ? ) 2 cos(? ? ) 4 4 1 ? 2 tan ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ?5 ·················· 12 分 1 ? tan ? 1? 2
17. 解:由 sin(

2? 2 4 ? ? . ··················· 6 分 2 1? 2 3

? 3 3 2 ? x) ? ? cos x ? sin x ? 2分 4 5 5 7 将上式两边平方得 2sin x cos x ? ················ 4 分 25 7 32 2 所以 (cos x ? sin x) ? 1 ? 2sin x cos x ? 1 ? ········· 5 分 ? 25 25 17? 7? 又由 ?x? ? sin x ? cos x ? 0 ··············· 6 分 12 4 4 2 所以 sin x ? cos x ? ? ···················· 7 分 5 sin x 1? cos x ? sin x cos x 原式 ? ······ 10 分 ? 2sin x(sin x ? cos x) 2sin x cos x(sin x ? cos x)

3 2 4 2 7 , 2sin x cos x ? , sin x ? cos x ? ? 的值代入上式 5 5 25 75 得原式的值为 ? ························ 12 分 28 ?[2000 ? 400 (20 ? x)]( x ? 7), 7 ? x ? 20, x ? N ? 18. (Ⅰ)依题意 y ? ? ··· 2 分 ?[2000 ? 100 ( x ? 20 )]( x ? 7), 20 ? x ? 40, x ? N ?
将 cos x ? sin x ?

?? 400[( x ? 16 ) 2 ? 81], 7 ? x ? 20, x ? N ? ? ∴y?? , 47 2 1089 ], 20 ? x ? 40, x ? N ? ?? 100[( x ? ) ? 2 4 ?

……………5 分

-5-

定义域为 x ? N ? 7 ? x ? 40

?

?

………………6 分

?? 400[( x ? 16 ) 2 ? 81], 7 ? x ? 20, x ? N ? ? (Ⅱ)∵ y ? ? , 47 2 1089 ], 20 ? x ? 40, x ? N ? ?? 100[( x ? ) ? 2 4 ?
∴ 当 7 ? x ? 20 时,则 x ? 16 , ymax ? 32400 (元) ……………… 8分

当 20 ? x ? 40 时,则 x ? 23 或 24, ymax ? 27200 (元) ………………10 分 综上:当 x ? 16 时,该商店获得的利润最大为 32400 元. ………………12 分

f ( x) ? 2 cos 2 ( x ? ) ? 3 cos 2 x ? 1 4 19.解:(I) ………………1 分 ? ? cos(2 x ? ) ? 3 cos 2 x ? 2 2

?

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 3

?

………………3 分

? ? ? 2? ? ?? ? ? x ? ? , ? ? (2 x ? ) ? ? , ? 3 ?6 3 ? ?4 2?
所以当 2 x ?

………………4 分

?
3

?

?
6

,即 x ?

?
4

时, f min ( x) ? 3

………………5 分

所以当 2 x ? (II)

?
3

?

?
2

,即 x ?

5? 时, f max ( x) ? 4 12

………………6 分 ………………8 分

f ( x ) ? m ? 2 ? m ? 2 ? f ( x) ? m ? 2

因为对任意实数 x ,不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立 4 2 所以 ?

?π π? ? ?

?m ? 2 ? f min ( x) ?m ? 2 ? f max ( x)

………………10 分

故 m 的取值范围为 ? 2,5 ? 20.(I) 解: a ? b ? cos
? ?

………………12 分 2分

3x x 3x x cos ? sin sin ? cos 2 x 2 2 2 2

? ? ? ?? 因为 x ? ?0, ? ,所以 a ? b ? 2 ? 2cos 2 x ? 2cos x ············ 5 分 ? 2?

(II) f ( x) ? a ? b ? 4m a ? b ? 1 ? cos 2x ? 8m cos x ? 1 ? 2cos2 x ? 8m cos x ······ 7 分
? ?? 令 cos x ? t ,因为 x ? ?0, ? ,所以 t ? ?0,1? , f ( x) ? 2t 2 ? 8mt ·········· 8 分 ? 2?

? ?

?

?

-6-

⑴当 2m ? 0 ,即 m ? 0 时, f min ( x) ? 0 不符合题意 ·············· 9 分 1 1 1 1 ⑵当 0 ? 2m ? 1 ,即 0 ? m ? 时, f min ( x) ? ?8m2 ,由 ?8m2 ? ? ? m ? ? ,又 0 ? m ? , 2 2 4 2 1 所以 m ? ····························· 11 分 4 1 1 5 1 5 ⑶当 2m ? 1 , 即 m ? 时, f min ( x) ? 2 ? 8m , 由 2 ? 8m ? ? ? m ? , 又m ? , 所以 m ? 2 2 16 2 16 不符合题意 ····························· 12 分 1 故 m 的值为 . 13 分 4 21.(I)解: f ( x) 的单调减区间为 ( 0 , 1 ] ·················· 1 分 任取 x1 , x2 ? ( 0 , 1 ] 且 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? |1 ?
x ?x 1 1 1 1 | ? |1 ? | ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? 2 1 ? 0 ····· 2 分 x1 x2 x1 x2 x1 x2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故 f ( x) 在 ( 0 , 1 ] 上为减函数 ·············· 3 分 (II)①若 m, n ? ( 0 , 1] ,则 f (m) ? f (n)
n ? ? f (m) ? |1? ? ? ? ? 6 ∴? 即? ? f ( n) ? m ?| 1 ? ? ? 6 ? ? 1 n n ?1 |? ?1 ? ? ?m m 6 6 即? 1 m 1 m ? ?1 ? |? ? n 6 6 ?n

两式相减,得

n?m n?m 不可能成立 ················ 5 分 ? mn 6 ②若 m ? ( 0 , 1] , n ?[ 1, ? ? ) ,则 f ( x) 的最小值为 0,不合题意 ··· 6 分 ③若 m, n ?[ 1, ? ? ) ,则 f (m) ? f (n)

m ? 1 m ? ? 1 m f (m) ? |1 ? | ? 1? ? ? ? ? ? ? ? m 6 6 m 6 ∴ ? ∴ ? 即? ? f ( n) ? n ?|1 ? 1 | ? n ?1 ? 1 ? n ? ? ? 6 n 6 ? ? ? n 6

∴ m,n 为 1 ?

1 x ? 的不等实根 .∴ m ? 3 ? 3 , n ? 3 ? 3 x 6

综上,存在 m ? 3 ? 3 , n ? 3 ? 3 符合题意

·············· 9 分

1 (Ⅲ)若存在两个不相等的实数 r 和 s ,且 r ? ?1, ?? ? , s ? ?1, ?? ? ,使得 f (r ) ? r ? t ,和 2 f (s) ? 1 1 s ? t 同 时 成 立 , 则 当 x ? 1 时 , f ( x) ? x ? t 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 即 2 2

x2 ? ( 2t ? 2 )x ? 2? 在 0 ?1, ?? ? 上有两个不相等的实数根 ··········· 10 分

令 h( x) ? x 2 ? (2t ? 2) x ? 2 ,则有:

-7-

?? ? (2t ? 2) 2 ? 8 ? 0 ? 1 ? 1 ? ?h(1) ? 1 ? 2t ? 2 ? 2 ? 0 ? ? ? t ? 1 ? 2 ,故实数 t 的取值范围为 ? ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?1 ? t ? 1 ?

14 分

(若有其它解法,参考本标准给分)

-8-


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