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3.2《二倍角的三角函数1》


两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? ? sin ?
cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin? ? sin ? tan? ? tan ? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? tan ?
cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin? sin?? ? ? ? ? sin? cos? ? cos? sin? tan? ? tan? tan?? ? ? ? ? 1 ? tan? ? tan?

当 ?=? 时

二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos?

S 2?
2

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2

C 2?

2 tan? tan 2? ? 2 1 ? tan ?
? k? ? ?k ? Z? ?? ? ,且? ? k? ? , 2 2 4

T2?

二倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ?
cos2? ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2sin ? ? 2cos ? ? 1
2 2
2 2

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?
公式特点 公式左端的角是右 端角的二倍

公式变形: 2

cos ? ? 1 ? sin ?
2
2 2

cos2? ? cos ? ? sin ?

? (1 ? sin ?) ? sin ?
2 2

? 1 ? 2 sin ?
2

? 1 ? 2sin ? 2。 注意:1、符号法则;2、灵活运用公式 ? 2cos ? ? 1

3 例1 已知 sin ? ? ? , ? 是第三象限角, 求 sin 2? , 5 sin 2? ? 2 sin ? cos ?    cos 2? , tan 2? . 3 解: ? sin ? ? ? , ? 是第三象限角 5 4 3 2 2 ?cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? (? ) ? ? 5 5 3 4 24 ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ( ? ) ? ( ? ) ? 5 5 25 3 2 7 2 cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 2 ? ( ? ) ? 5 25 2 tan? 24 2 2 tan2? ? ? cos2? ? cos ? ? sin ? 2 7 1 ? tan ? 2

例1

5 ? ? 已知 sin 2? ? , ? ? ( , ),求 sin 4?, 13 4 2 cos 4?, tan 4?的值。

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例1 求下列各式的值:

(1) sin 15 cos15 ; 2 tan 22.5 (3) ; 2 0 1 ? tan 22.5
0

0

0

(2) cos

2

?
8

? sin
2 0

2

?
8

;

(4)1 ? 2 sin 75 .

1 1 1 0 0 解: (1)原式 ? (2 sin 15 cos15 )? sin 300 ? 4 2 2 ? 2 (2)原式 ? cos ? 4 2 0 (3)原式 ? tan 45 ? 1
(4)原式 ? cos150 3 0 0 0 ? cos(180 ? 30 )? ? cos 30 ? ? 2
0
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二倍角的三角函数公式的各种变形形式

1 ? sin2? ? (sin ? ? cos? )
1 ? cos2? ? 2 cos ?
2

2

1 ? cos2? ? 2 sin ?
2

?

升幂降角公式

1 ? cos 2? cos ? ? 2
2

1 ? cos 2? sin ? ? 2
2

?
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降幂升角公式

化简下列各式
(1) 1 ? sin 40? ? cos 20 ? sin 20
? ?

(2) 1 ? sin 40? ? cos 20 ? sin 20
?

?

(3) 1 ? cos 20? ? (4) 1 ? cos 20??

2 cos10

?

2 sin10

?

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练习

1 2、已知 sin ? ? cos ? ? , 0 ? ? ? ? , 3 求 sin 2? 和 cos 2?

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例4

1 ? sin 2? ? cos 2? 求证: ? tan? 1 ? sin 2? ? cos 2?
2

1 ? 2 sin? cos? ? (1 ? 2 sin ? ) 证明:左边 ? 2 1 ? 2 sin? cos? ? ( 2 cos ? ? 1)
2 sin? (cos? ? sin? ) sin? ? 2 cos? (cos? ? sin? ) ? cos?
? tan? ? 右边

? 原式成立 .
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例5

化简sin50 (1 ? 3 tan10 )
o o
o o cos 10 ? 3 sin 10 o 解: 原式 ? sin 50 ? cos10o o 2 sin 40 o ? sin 50 ? o cos10 o o 2 sin 40 ? cos 40 ? o cos10 o sin 80 ? ?1 o cos10

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sin 2? ? 2 sin ? cos ?
cos2? ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2sin2 ? 2 ? 2cos ? ? 1
2 2

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

P108 习题3.2

1、2


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