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离散型随机变量及其分布列,高考历年真题


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【考点 34】离散型随机变量及其分布列
2009 年考题 1、 ( 2009 广东高考)已知离散型随机变量 X 的分布列如右表. 若 EX ? 0 , DX ? 1 ,则 a ? ,b ? . X P -1 a 0 b 1 c 2

11 1 【 解 析 】 由 题 知 a?b?c ? , ?a?c? ?0 , 12 6 1 1 5 12 ? a ? 12 ? c ? 2 2 ? ? 1 ,解得 a ? ,b ? . 4 12 12 1 5 答案: a ? ,b ? . 4 12

1 12

2、 ( 2009 上海高考)某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者,若用随机变量 ? 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E? _____(结果用最简分数表示).
1 1 C5 C 2 10 10 【解析】 ? 可取 0, 1, 2,因此 P( ? = 0)= 2 ? , P( ? = 1)= ? , 2 21 C 7 21 C7 2 C2 10 10 1 4 1 ? , E? = 0× ? 1 ? ? 2 ? = . 2 21 21 21 7 C 7 21

C 52

P( ? = 2)=

答案:

4 7

3、 ( 2009 山东高考)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球 得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三次,某同学在 A 处的命中率 q1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q 2 ,该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ? 表 示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为

?
w. w.p

0 0.03 P1

2

3 P2

4 P3

5 P4

( 1) 求 q 2 的值; w.w. w.k.s.5.u.c.o.m ( 2) 求随机变量 ? 的数学期望 E? ; ( 3) 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。

【解析】 ( 1 ) 设 该同 学 在 A 处 投 中 为 事件 A, 在 B 处 投 中 为事 件 B, 则 事 件 A,B 相 互 独 立 , 且 P(A)=0.25, P( A) ? 0.75 , P(B)= q 2 , P(B) ? 1 ? q2 . 根据分布列知 : ? =0 时 P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75(1? q2 )2 =0.03,所以 1 ? q2 ? 0.2 , q 2 =0.8. ( 2)当 ? =2 时, P1 = P( ABB ? ABB) ? P( ABB) ? P( ABB) w.w. w.k.s.5.u.c.o.m

? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) P( B) =0.75 q 2 ( 1 ? q2 )×2=1.5 q 2 ( 1 ? q2 )=0.24
当 ? =3 时, P2 = P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.25(1 ? q2 )2 =0.01, 当 ? =4 时, P3 = P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75q22 =0.48, 当 ? =5 时, P4 = P( ABB ? AB) ? P( ABB) ? P( AB)

? P( A)P(B)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 =0.24
所以随机变量 ? 的分布列为

?
p

0 0.03

2 0.24

3 0.01

4 0.48

5 0.24

随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 ( 3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P( BBB ? BBB ? BB)

? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q22 ? q22 ? 0.896 ;
该同学选择( 1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. 4、 ( 2009 天津高考)在 10 件产品中,有 3 件一等品, 4 件二等品,3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件,求: ( I) 取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; w.w. w.k.s.5.u.c.o.m ( II) 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。 w.w. w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 (Ⅰ )由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为

C

3 10

,从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件一等

k 3? k 品的结果数为 C 3 C 7 ,那么从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 k 件一等品的概率为 P(X=k)=

C3 C7 ,k=0,1,2,3. 3 C10

k

3?k

所以随机变量 X 的分布列是

X P

0
7 24

1
21 40

2
7 40

3

1 120

X 的数学期望 EX= 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 24 40 40 120 10

(Ⅱ )设 “取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数 ”为事件 A, “恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品 ” 为事件 A1 “恰好取出 2 件一等品 “为事件 A2, ”恰好取出 3 件一等品 ”为事件 A3 由于事件 A1, A2, A3 彼此互斥,且 A=A1 ∪ A2∪ A3 而 P ( A1 )
2 7 3 C1 1 3 C3 ? , P(A2 )=P(X=2)= 40 ,P(A3 )=P(X=3)= , 3 40 120 C10

所 以 取 出 的 3 件 产 品 中 一 等 品 件 数 多 于 二 等 品 件 数 的 概 率 为 P(A)=P(A1)+P(A2 )+P(A3 )=
3 7 1 31 + + = 40 40 120 120

5、 ( 2009 浙江高考)在 1, 2, 3,

, 9 这 9 个自然数中,任取 3 个数.

( I)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率; ( II)设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1, 2,3 ,则有两组相邻的数 .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? . 1, 2 和 2, 3 ,此时 ? 的值是 2 ) 【解析】 ( I)记 “这 3 个数恰有一个是偶数 ”为事件 A,则 P( A) ? ( II)随机变量 ? 的取值为 0,1,2, ? 的分布列为
1 C4 C52 10 ? ; w. w. w.k.s.5.u.c.o.m 3 C9 21

?
P 所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? 6、 ( 2009 辽宁高考)

0

1

2

5 12

1 2

1 12

5 1 1 2 ? 1? ? 2 ? ? w.w. w.k.s.5.u.c.o.m 12 2 12 3 1 。该目标分为 3 个不同的部分,第一、二、三部分面积 3

某人向一目射击 4 次,每次击中目标的概率为

之比为 1: 3: 6。击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比。 (Ⅰ)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列; (Ⅱ)若目标被击中 2 次, A 表示事件 “第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次 ”,求 P( A) 【解析】 (Ⅰ )依题意 X 的分列为

X

………………6 分

(Ⅱ )设 A1 表示事件 “第一次击中目标时,击中第 i 部分 ”, i=1, 2. B1 表示事件 “第二次击中目标时,击中第 i 部分 ”, i=1, 2. 依题意知 P( A1) =P(B1 )=0.1, P( A2) =P(B2 )=0.3, A ? A , 1B 1 ?A 1B 1 ?A 1B 1 ?A 2 B2 所求的概率为 P( A) ? P( A (A1 B1) ? P( A2 B2 ) 1B 1 ) ? P( A 1B 1) ? P

P( A ( A ( 1B ? )( P 1 A ) P ( 1? B ) 1 B 1 )? P 1 ) P
0.1 ? 0 .? 9

P (2 A) P ( ) 2 B
0 . 2 8 ………12 分

0? .9 0 ? . 1 ?0 . 1 ? 0 . 1 ? 0 .? 3 0.3

7、 ( 2009 福建高考)从集合 ?1,2,3,4,5? 的所有非空子集 中,等可能地取出一个。 .... ( 1) 记性质 r:集合中的所有元素之和为 10,求所取出的非空子集满足性质 r 的概率; ( 2) 记所取出的非空子集的元素个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E? 【解析】 ( 1)记 ”所取出的非空子集满足性质 r”为事件 A
1 2 3 4 5 基本事件总数 n= C5 =31 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5

事件 A 包含的基本事件是{1,4,5}、{2, 3, 5}、 {1, 2, 3, 4} 事件 A 包含的基本事件数 m=3 所以 p ( A) ?

m 3 ? n 31

( II)依题意, ? 的所有可能取值为 1, 2, 3, 4, 5 又 p(? ? 1) ?
1 C5 C 2 10 C 3 10 5 ? , p (? ? 2) ? 5 ? , p(? ? 3) ? 5 ? 31 31 31 31 31 31

p (? ? 4) ?

C54 5 ? , 31 31

p(? ? 5 )?

5 C5 1 ? 31 31

故 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

4

5

10 10 5 31 31 31 5 10 10 5 1 80 ? 从而 E? ? 1? +2 ? +3 ? +4 ? +5 ? 31 31 31 31 31 31

5 31

1 31

8、 ( 2009 安徽高考)某地有 A、 B、 C、 D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区 . B 肯定是受 A 感染的 .对于 C,因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的,于是假定他受 A 和受 B 感

染的概率都是

1 1 . 同样也假定 D 受 A、 B 和 C 感染的概率都是 .在这种假定之下, B、 C、 D 中直接 .. 2 3

受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量 .写出 X 的分布列 (不要求写出计算过程 ),并求 X 的均值 (即数学期望) . 【解析】随机变量 X 的分布列是 X P X 的均值为 EX ? 1? 1 2 3

1 3

1 2

1 6

1 1 1 11 ? 2 ? ? 3? ? 3 2 6 6
1 : 6
⑤ A—C—D └B ⑥

附: X 的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是 ① A—B—C—D ② A—B—C └D ③ A—B—C └D ④ A—B—D └C

在情形 ① 和② 之下, A 直接感染了一个人;在情形 ③ 、④ 、⑤ 之下, A 直接感染了两个人;在情形 ⑥ 之下, A 直接感染了三个人。 9、 ( 2009 全国Ⅰ)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假 设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立,已知前 2 局中,甲、乙 各胜 1 局。 ( I)求甲获得这次比赛胜利的概率; ( II)设 ? 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ? 得分布列及数学期望。 【解析】 ( 1)记 Ai 表示事件:第 i 局甲获胜, i ? 3, 4,5 ; B j 表示事件:第 j 局乙获胜, j ? 3, 4

B 表示事件:甲获胜,因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,
甲获胜 2 局,从而 B ? A3 A4 ? B3 A4 A5 ? A3 B4 A5 ,由于各局比赛结果相互独立, 故 P( B) ? P( A3 A4 ) ? P( B3 A4 A5 ) ? P( A3 B4 A5 )

? P( A3 ) P( A4 ) ? P( B3 ) P( A4 ) P( A5 ) ? P( A3 ) P( B4 ) P( A5 )
? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.648
( 2) ? 的取值可以为 2, 3,由于各局比赛结果相互独立, 故 P(? ? 2) ? P( A3 A4 ? B3 B4 ) ? P( A3 A4 ) ? P(B3 B4 ) ? P( A3 ) P( A4 ) ? P( B3 ) P( B4 )

? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.52

P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 2) ? 1 ? 0.52 ? 0.48
所以随机变量 ? 的分布列为

?
P

2 0.52 0.48

3

随机变量 ? 的数学期望 E? ? 2P(? ? 2) ? 3P(? ? 3) ? 2 ? 0.52 ? 3 ? 0.48 ? 2.48 10、 ( 2009 北京高考)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇 到红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; w.w. w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望. 【解析】 (Ⅰ )设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于事件 “这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯 ”, 所以事件 A 的概率为 P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 . ? 3 ? 3 27

(Ⅱ )由题意,可得 ? 可能取的值为 0, 2, 4, 6, 8(单位:min). 事件 “? ? 2k ”等价于事件 “该学 生在路上遇到 k 次红灯 ”( k ? 0, 1, 2, 3, 4) ,
k ∴P ?? ? 2k ? ? C4 ? ? ? ?

?1? ? 2? ? 3? ? 3?

k

4? k

? k ? 0,1, 2,3, 4? , w.w. w.k.s.5.u.c.o.m

∴ 即 ? 的分布列是

?
P

0

2

4

6

8

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81

∴? 的期望是 E? ? 0 ? 16 ? 2 ? 32 ? 4 ? 8 ? 6 ? 8 ? 8 ? 1 ? 8 .

81

81

27

81

81

3

11、 ( 2009 湖北高考)一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 2, 3,4, 5;另一个盒 子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 3, 4, 5, 6。现从一个盒子中任取一张卡片,其上 面的数记为 x;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为 y,记随机变量?=x+y ,求? 的分布列 和数学期望。 w. w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】依题意,可分别取 ? ? 5 、 6、 ???? 11 取,则有

1 1 2 3 ? , p (? ? 6) ? , p (? ? 7) ? 4 ? 4 16 16 16 4 3 2 1 p (? ? 8) ? , p (? ? 9) ? , p (? ? 10) ? , p (? ? 11) ? 16 16 16 16 p (? ? 5) ?
? ? 的分布列为

?
p

5

6

7

8

9

10

11

2 3 4 3 16 16 16 16 1 2 3 4 3 2 1 E? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 8 ? ? 9 ? ? 10 ? ? 11? ? 8 . 16 16 16 16 16 16 16

1 16

2 16

1 16

12、 ( 2009 湖南高考)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和 产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的. 选一个项目参与建设。 w.w. w.k.s.5.u.c.o.m ( I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; ( II)记 ? 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数,求 ? 的分布列及数 学期望。 【解析】 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、 民生工程和产业建设工程分别为事件 Ai , Bi , Ci , i=1, 2, 3.由题意知 A 1 A2 A3 相互独立, B 1 B2 B3 相互独立, C1 C2C3 相互独立, A i , Bj , Ck ( i, j,k=1, 2, 3, 且 i, j,k 互不相同)相互独立,且 P( A 1 )=

1 1 1 、 、 ,现在 3 名工人独立地从中任 2 3 6

1 1 1 , P( B1 ) = , P( C1 ) = 2 3 6 1 1 1 1 ? ? = 2 3 6 6 1 ) ,且 ? =3-? 。 3

( 1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3! P( A 1 B2 C3 ) =6P( A 1 ) P( B2 ) P( C3 ) =6 ?

(2) 方法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为? ,由已知,? -B( 3,
3 所以 P ( ? =0) =P ( ? =3) = C3 ( ) =
3

1 3

1 2 2 2 1 3 ,P ( ? =1) =P (? =2) = C3 ( ) ( ) = w.w. w.k.s.5.u.c.o.m 27 3 3 9 4 9 2 3 8 27

1 P( ? =2) =P( ? =1) = C3 ( ) ( ) =
2

1 3

2 3

0 P( ? =3) =P(? =0) = C3 ( ) =
3

故 ? 的分布是

?
P

0

1

2

3

1 27

2 9

4 9

8 27

? 的数学期望 E? =0 ?

1 2 4 8 +1 ? +2 ? +3 ? =2 27 9 9 27

方法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 Di , i=1,2,3 ,由此已知, D1,D2,D3 相互独立,且 P( D1 ) =P( A 1 + C1 ) = P( A 1 ) +P( C1 ) =

1 1 2 + = 2 6 3

所以 ? -- B (3, ) , 既 P (? ? K ) ? C3K ( ) K ( )3? K , k ? 0,1, 2,3. w.w. w.k.s.5.u.c.o.m 故 ? 的分布列是

2 3

2 3

1 3

?
p

0
1 27

1

2

3

2 9

4 9

8 27

13、 ( 2009 江西高考)某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业 方案进行评审.假设评审结果为 “支持 ”或 “不支持 ”的概率都是

1 . 若某人获得两个 “支持 ”,则给予 10 万元 2

的创业资助;若只获得一个 “支持 ”,则给予 5 万元的资助;若未获得 “支持 ”,则不予资助,令 ? 表示该公 司的资助总额. (1) 写出 ? 的分布列; (2) 求数学期望 E? . w.w. w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 ( 1) ? 的所有取值为 0,5,10,15, 20, 25,30

1 3 15 5 P (? ? 5 )? P(? ? 10) ? P(? ? 1 5 ? ) 64 32 64 16 3 1 15 P (? ? 25) ? P (? ? 3 0 ? ) P (? ? 20) ? 32 64 64 3 15 5 15 3 1 ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 15 . ( 2) E? ? 5 ? 32 64 16 64 32 64 P (? ? 0 )?
14、 ( 2009 陕西高考)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ? 表示,椐统计,随机变量 ? 的概率分 布如下:

?
p (Ⅰ)求 a 的值和 ? 的数学期望;

0 0.1

1 0.3

2 2a

3 a

(Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响 ,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次

的概率。 w.w. w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 ( 1)由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+a=1,解答 a=0.2

? ? 的概率分布为

?
P

0 0.1

1 0.3

2 0.4

3 0.2

? E? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 1.7
( 2)设事件 A 表示 “两个月内共被投诉 2 次 ”事件 A 1 表示 “两个月内有一个月被投诉 2 次,另外一个月被 投诉 0 次 ”;事件 A2 表示 “两个月内每月均被投诉 1 次 ” 则由事件的独立性得
1 P( A1 ) ? C2 P(? ? 0) ? 2 ? 0.4 ? 0.1 ? 0.08

P( A2 ) ? [ P(? ? 1)]2 ? 0.32 ? 0.09 ? P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? 0.08 ? 0.09 ? 0.17
故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17 15、 ( 2009 四川高考)为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向省 外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) 。某旅游公司组织了一 个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中 卡,在省内游客中有

3 1 是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有 持金 4 3

2 持银卡。 3

( I)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; ( II)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列及数学期 望 E? 。 【解析】 (Ⅰ )由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡。设事 件 B 为 “采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人 ”, 事件 A 1 为 “采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡 ”, 事件 A2 为 “采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡 ”。 w. w. w.k.s.5.u.c.o.m

P(B) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?

1 2 1 1 1 C9 C2 2 7 36 1 C C 9 C 6 219 ? ? ? ? 3 3 3 4 1 7 0 85 C36 C36

所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是

36 。 85

…………………………………………………………6 分 (Ⅱ ) ? 的可能取值为 0, 1, 2, 3
3 C3 1 P(? ? 0 ) ? 3? , C9 84 1 2 C6 C3 3 P(? ? 1) ? ? 3 C9 14

P(? ? 2) ?

2 1 3 C6 C3 15 C6 15 , ? P ( ? ? 3) ? ? , 3 3 C9 28 C9 21

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 84 1 3 ?1 ? ? 2 所以 E? ? 0 ? 84 14

3 15 5 14 28 21 15 5 ? ? 3 ? , 2 ? ……………………12 分 28 21

16、 ( 2009 重庆高考)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活 率分别为

2 1 和 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: 3 2

(Ⅰ)两种大树各成活 1 株的概率; (Ⅱ)成活的株数 ? 的分布列与期望. w.w. w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】设 Ak 表示甲种大树成活 k 株,k=0, 1, 2

Bl 表示乙种大树成活 l 株, l= 0, 1, 2
则 Ak , Bl 独立 . 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

2 1 1 l 1 2 ?l 1 P( Ak ) ? Ckk? 2 ( ) k ( ) 2?k , P ( Bl ) ? Ck . ?2 ( ) ( ) 3 3 2 2
据此算得

1 , 9 1 P ( B0 ) ? , 4 P ( A0 ) ?

4 , P ( A2 ) ? 9 1 P ( B1 ) ? , P ( B2 ) ? 2 P ( A1 ) ?

4 . 9 1 . 4
.

(Ⅰ ) 所求概率为 (Ⅱ ) 方法一:

4 1 2 P( A1 ? B1 ) ? P (A1) ? P (B1) ? ? ? 9 2 9

? 的所有可能值为 0, 1, 2, 3, 4,且
1 1 ? ? , 4 36 4 1 1 ? ? ? , 9 4 6

1 P(? ? 0 )? P (A A ) ? P( ) 0 ? B 0 )? P (0 0B ? 9 1 1 P(? ? 1 )? P (A A? 0 B )? ? 0 ? B 1 )? P (1 9 2

1 P(? ? 2 )? P (A B )? P(2 A? 0B )? 0 ? B 2 )? P (1A ? 1 9 13 = , 36 4 1 4 1 P(? ? 3 )? P (A A ? 1B )? ? ? ? 1 ? B 2 )? P (2 9 4 9 2 4 1 1 . P(? ? 4) ? P( A2 ? B2 ) ? ? ? 9 4 9
综上知 ? 有分布列

1 4 1 4 1 ? ? ? ? ? 4 9 2 9 4

1 . ? 3

?
P 从而, ? 的期望为

0 1/36

1 1/6

2 13/36

3 1/3

4 1/9

E? ? 0 ?

1 1 13 1 1 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 36 6 36 3 9 3

方法二:分布列的求法同上 令 ?1,?2 分别表示甲乙两种树成活的株数,则

2 1 3 2 2 4 1 故有 E?1 =2 ? = ,E? 2 ? 2 ? ? 1 3 3 2 7 从而知 E? ? E?1 ? E? 2 ? 3

?1 : B(2, ),? 2 : B(2, )

2008 年考题 1、 ( 2008 山东高考)甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一 分,答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为 与否相互之间没有影响.用 ? 表示甲队的总得分. (Ⅰ)求随机变量 ? 分布列和数学期望; (Ⅱ)用 A 表示 “甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示 “甲队总得分大于乙队总得分 ”这一 事件,求 P (AB). 【解析】 (Ⅰ )解法一:由题意知, ? 的可能取值为 0, 1, 2, 3,且

2 2 2 1 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , 且各人正确 3 3 3 2

2 1 2 2 2 0 1 P (? ? 0) ? C3 ? (1 ? )3 ? , P(? ? 1) ? C3 ? ? (1 ? ) 2 ? , 3 27 3 3 9 2 2 4 2 8 3 P (? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? (1 ? )3 ? , P(? ? 3) ? C3 ? ( )3 ? . 3 3 9 3 27

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 2 27 9 1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2. ? 的数学期望为 E? = 0 ? 27 9 9 27 2 解法二:根据题设可知 ? ~B (3, ) 3

4 9

8 27

2k 2 k 2 2? k k P(? ? k ) ? C3 ? ( ) ? (1 ? ) ? C3 ? 3 , k ? 0,1, 2,3. 3 3 3 2 2 因为? ~B(3, ), 所以E? ? 3 ? ? 2 3 3
k

(Ⅱ )方法一:用 C 表示 “甲得 2 分乙得 1 分 ”这一事件,用 D 表示 “甲得 3 分乙得 0 分 ”这一事件,所以 AB=C∪ D, 且 C、D 互斥,又

2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 10 P (C ) ? C32 ? ( ) 2 ? (1- ) ? [ ? ? ? ? ? ? ? ? ]= 4 , 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 1 1 1 4 P ( D) ? Ck3?3 ? ( )3 ? ( ? ? ) ? 5 , 3 3 3 2 3
由互斥事件的概率公式得

P( AB) ? P(C ) ? P( D) ?

10 4 34 34 ? ? ? 34 35 35 243

方法二: 用 Ak 表示 “甲队得 k 分 ”这一事件, 用 Bk 表示 “已队得 k 分 ”这一事件, k=0,1,2,3 由于事件 A3 B0 ,A2 B1 为互斥事件,故事件 P (AB)=P (A3 B0 ∪ A2 B1)=P (A3 B0)+P(A2 B1 ).

2 1 1 22 1 1 1 2 1 ( )3 ? ( 2 ? ) ? Ck2?3 3 ? ( ? 2 ? ? Ck ?2 ? 2 ) 3 3 2 3 2 3 2 3 = 34 ? . 243
2、 ( 2008 广东高考)随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三 等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件 次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? . ( 1)求 ? 的分布列; ( 2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ;

( 3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提高为 70% .如果此时要求 1 件 产品的平均利润不小于 4. 73 万元,则三等品率最多是多少? 【解析】 ? 的所有可能取值有 6, 2, 1, -2; P (? ? 6) ?

126 50 ? 0.63 , P(? ? 2) ? ? 0.25 200 200

P(? ? 1) ?

4 20 ? 0.02 ? 0.1 , P(? ? ?2) ? 200 200

故 ? 的分布列为:

?
P

6 0. 63

2 0. 25

1 0. 1

-2 0. 02

( 2) E? ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34 ( 3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为

E( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x) ? x ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29)
依题意, E ( x) ? 4.73 ,即 4.76 ? x ? 4.73 ,解得 x ? 0.03 所以三等品率最多为 3% 3、 ( 2008 海南宁夏高考) A,B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2.根据市场分析, X1 和 X2 的分布列分别为

X1

5% 0. 8

10% 0. 2 X2 2% 0. 2 8% 0. 5 12% 0. 3

?

P

(Ⅰ) 在 A,B 两个项目上各投资 100 万元, Y 1 和 Y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润, 求方差 DY 1, DY 2; (Ⅱ)将 x(0 ? x ? 100) 万元投资 A 项目, 100 ? x 万元投资 B 项目, f ( x ) 表示投资 A 项目所得利润的 方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f ( x ) 的最小值,并指出 x 为何值时, f ( x ) 取到最小值. (注:

D(aX ? b) ? a2 DX )
【解析】 (Ⅰ )由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 P 5 0. 8 10 0. 2

Y2

2 0. 2

8 0. 5

12 0. 3

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ,
DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 ,

P

EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 ,
DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8)2 ? 0.5 ? (12 ? 8)2 ? 0.3 ? 12 .
(Ⅱ ) f ( x) ? D ?

? x ? ? 100 ? x ? ? x ? ? 100 ? x ? Y1 ? ? D ? Y2 ? ? ? DY1 ? ? ? ? DY2 ? 100 ? ? 100 ? ? 100 ? ? 100 ?

2

2

?
当x?

4 4 ? x 2 ? 3(100 ? x) 2 ? ? (4 x 2 ? 600 x ? 3 ? 100 2 ) , 2 ? ? 100 1002

600 ? 75 时, f ( x) ? 3 为最小值. 2? 4

4、 ( 2008 全国Ⅱ)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买保险的一 年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险,且各投保人 是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 1 ? 0.999 (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p ; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不小于 0,求每位 投保人应交纳的最低保费(单位:元) . 【解析】各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 p ,记投保的 10 000 人中出险的人数为 ? ,则
104



? ~ B(104,p) .
(Ⅰ )记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金,则 A 发生当且仅当 ? ? 0 ,

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? p)10 ,又 P( A) ? 1 ? 0.99910 ,故 p ? 0.001 .
(Ⅱ )该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 盈利 盈利的期望为
4

4

4

10 00 ?0?

, 50 0 00

? ? 1 0 0 0a0?
E? ? 1 0 0 0 a 0?
?3

(1 0? 0? 00 1 0 0E ? 0? 0
?3

,0 0 0 ) 50 ,0 0 0 50

由 ? ~ B(10 , 10 ) 知, E? ? 10 000 ?10 ,

E? ? 104 a ?104 E? ? 5 ?104 ? 104 a ? 104 ?104 ?10?3 ? 5 ?104 . E? ≥ 0 ? 104 a ? 104 ?10 ? 5 ?104 ≥ 0

. ? a ? 10 ? 5 ≥ 0 ? a ≥15 (元) 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. 5、 ( 2008 北京高考)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗 位至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ? 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ? 的分布列.
3 A3 1 【解析】 (Ⅰ )记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA ,那么 P( EA ) ? 2 4 ? , C5 A4 40

即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是

1 . 40
4 A4 1 ? , 2 4 C5 A4 10

(Ⅱ )记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P( E ) ? 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P ( E ) ? 1 ? P ( E ) ?

9 . 10

(Ⅲ )随机变量 ? 可能取的值为 1, 2.事件 “ ? ? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务,
3 C52 A3 1 则 P(? ? 2) ? 3 4 ? . C5 A4 4

所以 P (? ? 1) ? 1 ? P (? ? 2) ?

3 , ? 的分布列是 4

?
P

1

2

3 4

1 4

6、 ( 2008 四川高考) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 , 购买乙种商品的概率为 0.6 , 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。 (Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅲ)记 ? 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求 ? 的分布列及期望。 【解析】记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品, 记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品, 记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种, 记 D 表示事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种,

(Ⅰ ) C ? A? B ? A? B

P ? C? ? P A ? B ? A ? B ? P A ? B ? P A? B ? P ? A? ? P B ? ? P ? A? P B
? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5
(Ⅱ ) D ? A? B

?

?

?

? ?

?

? ?

? ?

? ? ? ? ? P ? D? ? 1 ? P ? D ? ?0 . 8
(Ⅲ )?

P D ? P A ? B ? P A ? P B ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2

? ?

?

B ?3,0.8? ,
1 P ?? ? 1? ? C3 ? 0.8? 0.22 ? 0.096

P ?? ? 0? ? 0.23 ? 0.008
2 P ?? ? 2? ? C3 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.384

P ?? ? 3? ? 0 . 38 ? 0 . 5 1 2

故 ? 的分布列

?
P
所以

0 0.008

1 0.096

2 0.384

3 0.512

=0× 0.008+1× 0.096+2× 0.384+3× 0.512=2.4

7、 ( 2008 天津高考)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 球 2 次均未命中的概率为

1 与 p ,且乙投 2

1 . 16

(Ⅰ)求乙投球的命中率 p ; (Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (Ⅲ)若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 2 次的概率. 【解析】 (Ⅰ )方法一:设 “甲投球一次命中 ”为事件 A, “乙投球一次命中 ”为事件 B. 由题意得 ?1 ? P ?B ?? ? ?1 ? p ? ?
2 2

1 16

解得 p ?

3 5 3 或 (舍去) ,所以乙投球的命中率为 . 4 4 4

方法二:设设 “甲投球一次命中 ”为事件 A, “乙投球一次命中 ”为事件 B.

1 1 1 3 ,于是 P ( B ) ? 或 P( B) ? ? (舍去) ,故 p ? 1 ? P( B) ? . 16 4 4 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4
由题意得 P ( B ) P ( B ) ?

1 1 ,P A ? . 2 2 3 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1 ? P A ? A ? 4 1 1 方法二:由题设和(Ⅰ )知 P ? A? ? , P A ? 2 2
(Ⅱ )方法一:由题设和(Ⅰ )知 P ? A? ?

?? ?

?

??

3 4 1 1 3 1 (Ⅲ )由题设和( Ⅰ )知, P? A? ? , P A ? , P?B ? ? , P B ? 2 2 4 4
1 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 C 2 P? A?P A ? P? A?P? A? ?

??

??

??

甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两次均不中;甲两 次均不中,乙中 2 次。概率分别为

3 1 9 , P ? A ? A?P B ? B ? , P A ? A P ?B ? B ? ? 16 64 64 3 1 9 11 ? ? ? 所以甲、乙两人各投两次,共命中 2 次的概率为 . 16 64 64 32
1 1 C2 P? A?P A ? C 2 P?B ?P B ?

??

??

?

?

?

?

8、 ( 2008 安徽高考 )为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植 了 n 株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳的株数,数学期望 E? ? 3 , 标准差 ?? 为

6 。 2

(Ⅰ)求 n,p 的值并写出 ? 的分布列; (Ⅱ)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率 【解析】 (1)由 E? ? np ? 3, (?? ) ? np (1 ? p ) ?
2

3 1 , 得1 ? p ? , 2 2

从而 n ? 6, p ?

1 2

? 的分布列为 ?
P
0 1 2 3 4 5 6

1 64

6 64

15 64

20 64


15 64

6 64

1 64

(2)记 ”需要补种沙柳 ”为事件 A,

则 P( A) ? P(? ? 3),

P ( A )?

1 ? 6? 1 ? 5 64

20 ?

15 ? 6 ? 1 21 21 ? , 或 P( A) ? 1 ? P(? ? 3) ? 1 ? 64 32 32

9、 ( 2008 江西高考)某柑桔基地因冰雪灾害,使得果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果林的方 案,每种方案都需分两年实施;若实施方案一,预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、 0.9 倍、 0.8 倍的概率分别是 0.3、 0.3、 0.4;第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.25 倍、 1.0 倍的概率分别是

0.5、 0.5. 若实施方案二,预计当年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、 1.0 倍、 0.8 倍的概率分别是 0.2、 0.3、 0.5; 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.2 倍、 1.0 倍的概率分别是 0.4、 0.6. 实施每种方案, 第二年与第一年相互独立。令 ?i (i ? 1, 2) 表示方案 i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数. ( 1) .写出 ?1、?2 的分布列; ( 2) .实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大? ( 3) .不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量,预计可带来效益 10 万元;两年后柑桔 产量恰好达到灾前产量,预计可带来效益 15 万元;柑桔产量超过灾前产量,预计可带来效益 20 万元;问 实施哪种方案所带来的平均效益更大?

0.9、 1.0、 1.125、 1.25 【解析】 ( 1) ?1 的所有取值为 0.8、 0.96、 1.0、 1.2、 1.44 , ?2 的所有取值为 0.8、

?1 、 ?2 的分布列分别为: ?1
P 0.8 0.2 0.9 0.15 1.0 0.35 1.125 0.15 1.25 0.15

?2
P

0.8 0.3

0.96 0.2

1.0 0.18

1.2 0.24

1.44 0.08

( 2)令 A、 B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件,

P( A) ? 0.15 ? 0.15 ? 0.3 , P( B) ? 0.24 ? 0.08 ? 0.32
可见,方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 ( 3)令 ? i 表示方案 i 所带来的效益,则

?1
P

10 0.35

15 0.35

20 0.3

?2
P 所以 E?1 ? 14.75, E?2 ? 14.1

10 0.5

15 0.18

20 0.32

可见,方案一所带来的平均效益更大。

10、 ( 2008 湖北高考) 袋中有 20 个大小相同的球, 其中记上 0 号的有 10 个, 记上 n 号的有 n 个 ( n =1,2,3,4) . 现从袋中任取一球 . ? 表示所取球的标号 . (Ⅰ)求 ? 的分布列,期望和方差; (Ⅱ)若 ? ? a? ? b , E? ? 1, D? ? 11 , 试求 a,b 的值 . 【解析】 (Ⅰ ) ? 的分布列为:

?
P ∴E ? ? 0 ?

0

1

2

3

4

1 2

1 20

1 10

3 20

1 5

1 1 1 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1.5. 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 2 2 ? (2 ? 1.5) 2 ? ? (3 ? 1.5) 2 ? ? (4 ? 1.5) 2 ? ? 2.75. ( Ⅱ D ? ? (0 ? 1.5) ? ? (1 ? 1.5) ? )由 2 20 10 20 5

D? ? a2 D? ,得 a2 ×2.75= 11,即 a ? ?2. 又 E? ? aE?? b , 所以
当 a=2 时,由 1= 2× 1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2× 1.5+b,得 b=4. ∴?

? a ? 2, ?a ? ?2, 或? 即为所求 . ?b ? ?2 ? b ? 4

11、 ( 2008 湖南高考)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要 面试合格就签约 .乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率 都是

1 ,且面试是否合格互不影响.求: 2

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率 ; (Ⅱ)签约人数 ? 的分布列和数学期望. 【解析】 用 A, B, C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格 .由题意知 A, B,C 相互独立, 且 P( A)=P( B)=P( C)= (Ⅰ )至少有 1 人面试合格的概率是

1 . 2

1 7 1 ? P( ABC ) ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? ( ) 3 ? . 2 8
(Ⅱ ) ? 的可能取值为 0, 1, 2, 3.

P(? ? 0 ) ?P (A B C)? P( A BC ) ?

P ( A B) C

= P( A) P( B) P( C ?)

P( A) P( B) P ? ( C) P ( A B) C

1 3 1 3 1 3 3 )C ? P( A) P( = B)(P( )( ) ? ( ) ? . 2 2 2 8

P(? ? 1) ?P (A B C)? P( A B C ) ?

= P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) ? P( A) P( B) P(C) = ( )3 ? ( )3 ? ( )3 ?

1 2

1 2

1 2

3 . 8

1 P(? ? 2 ) ? P (A B C )? P( A) P( B) P( ? C) 8 1 P(? ? 3 ) ? P (A B C )? P( A) P( B) P( ? C) 8
所以, ? 的分布列是

. .

?

0

1

2

3

3 8
P

3 8

1 8

1 8

3 3 1 1 ? 的期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 8 8 8 8
12、 ( 2008 陕西高考)某射击测试规则为:每人最多射击 3 次,击中目标即终止射击,第 i 次击中目标得

4 ~ i (i ? 1, 2, 3) 分,3 次均未击中目标得 0 分.已知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其各次射击结果互
不影响. (Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率; (Ⅱ)该射手的得分记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望. 【解析】 (Ⅰ )设该射手第 i 次击中目标的事件为 Ai (i ? 1 , 2, 3) ,则 P( Ai ) ? 0.8,P( Ai ) ? 0.2 , ∴该射手恰好设计两次的概率:

P( Ai Ai ) ? P( Ai )P( Ai ) ? 0.2 ? 0.8 ? 0.16 .
(Ⅱ ) ? 可能取的值为 0, 1, 2, 3.

? 的分布列为 ?
P
0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8

E? ? 0 ? 0.008 ?1? 0.032 ? 2 ? 0.16 ? 3? 0.8 ? 2.752 .
13、 ( 2008 重庆高考)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以 后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中

一人连胜两局或打满 6 局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为 (Ⅰ) 打满 3 局比赛还未停止的概率; (Ⅱ)比赛停止时已打局数 ? 的分别列与期望 E? . 【解析】令 Ak , Bk , Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜 .

1 ,且各局胜负相互独立.求: 2

(Ⅰ )由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满 3 局比 赛还未停止的概率为

P( A1C2 B3 ) ? P( B1C2 A3 ) ?

1 1 1 ? ? . 23 2 3 4

(Ⅱ ) ? 的所有可能值为 2, 3, 4, 5, 6,且

1 1 1 ? ? , 22 22 2 1 1 1 P(? ? 3) ? P( A1C2C3 ) ? P( B1C2C3 ) ? 3 ? 3 ? . 2 2 4 1 1 1 P(? ? 4) ? P( A1C2 B3 B4 ) ? P( B1C2 A3 A4 ) ? 4 ? 4 ? . 2 2 8 1 1 1 P(? ? 5) ? P( A1C2 B3 A4 A5 ) ? P( B1C2 A3 B4 B5 ) ? 5 ? 5 ? , 2 2 16 1 1 1 P(? ? 6) ? P( A1C2 B3 A4C5 ) ? P ( B1C2 A3 B4C5 ) ? 5 ? 5 ? , 2 2 16 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1 B2 ) ?
故有分布列

?
P

2

3

4

5

6

1 2

1 4

1 8

1 16

1 16

从而 E ? ? 2 ?

1 1 1 1 1 47 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? (局). 2 4 8 16 16 16

14、 ( 2008 福建高考)某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科 目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书 .现某人参加这项考 试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 合格与否均互不影响. (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的数学期

2 1 ,科目 B 每次考试成绩合格的概率均为 .假设各次考试成绩 3 2

望 E? . 【解析】设 “科目 A 第一次考试合格 ”为事件 A, “科目 A 补考合格 ”为事件 A2; “科目 B 第一次考试合格 ” 为事件 B, “科目 B 补考合格 ”为事件 B2. (Ⅰ )不需要补考就获得证书的事件为 A1 · B1 ,注意到 A1 与 B1 相互独立, 则 P ( A1 B1 ) ? P ( A1 ) ? P ( B1 ) ?

2 1 1 ? ? . 3 2 3 1 . 3

答:该考生不需要补考就获得证书的概率为

(Ⅱ )由已知得, ? = 2, 3, 4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得

P(? ? 2) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 A2 )
? 2 1 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? . 3 2 3 3 3 9 9

P(? ? 3) ? P( A1 B1 B2 ) ? P( A1 B1 B2 ) ? P( A1 A2 B2 )
? 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ? 3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 9

P(? ? 4) ? P( A1 A2 B2 B2 ) ? P( A1 A2 B1 B2 )
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9 4 4 1 8 故 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 9 9 3 8 答:该考生参加考试次数的数学期望为 . 3 ?
15、 ( 2008 浙江高考)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球,得 到黑球的概率是

2 7 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 。 5 9

(Ⅰ)若袋中共有 10 个球, ( i)求白球的个数; ( ii)从袋中任意摸出 3 个球 ,记得到白球的个数为 ? ,求随机变量 ? 的数学期望 E? 。 (Ⅱ)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 球个数最少。 【解析】 ( i)记 “从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球 ”为事件 A,设袋中白球的个数为 x ,则
2 C10 7 P( A) ? 1 ? 2? x ? ,得到 x ? 5 .故白球有 5 个. C10 9

7 。并指出袋中哪种颜色的 10

( ii)随机变量 ? 的取值为 0, 1, 2, 3,分布列是

?
P

0

1

2

3

5 5 12 12 1 5 5 1 3 ? 的数学期望 E? ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? . 12 12 12 12 2
(Ⅱ )证明:设袋中有 n 个球,其中 y 个黑球,由题意得 y ? 所以 2 y ? n , 2 y ≤ n ? 1 ,故

1 12

1 12

2 n, 5

y 1 ≤ . n ?1 2
2 3 y 2 3 1 7 ? ? ≤ ? ? ? . 5 5 n ?1 5 5 2 10

记 “从袋中任意摸出两个球,至少有 1 个黑球 ”为事件 B,则 P( B) ? 所以白球的个数比黑球多,白球个数多于

2 n n ,红球的个数少于 .故袋中红球个数最少. 5 5

16、 ( 2008 辽宁高考)某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结果 如下表所示: 周销售量 频数 2 20 3 50 4 30

(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨, 3 吨和 4 吨的频率; (Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ? 表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元) .若以上 述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 ? 的分布列和数学期望. 【解析】 (Ⅰ )周销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2, 0.5 和 0.3. (Ⅱ ) ? 的可能值为 8, 10, 12, 14, 16,且 P ( ? =8) =0.22 =0.04, P( ? =10) =2× 0.2× 0.5=0.2,P( ? =12) =0.52 +2× 0.2× 0.3=0.37, P ( ? =14) =2× 0.5× 0.3=0.3, P( ? =16) =0.32 =0.09.

? 的分布列为 ?
P 8 0.04 10 0.2 12 0.37 14 0.3 16 0.09

E? =8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元)

2007 年考题 1、 ( 2007 浙江高考) 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,? ) ,P(? ≤ 4) ? 0.84 , 则 P(? ≤ 0) ? (
2



A. 0.16

B. 0.32

C. 0.68

D, 0.84

【解析】选 A. 由 P(? ≤ 4) ? P(? ? 2 ≤ 2) ? P(

? ?2 2 ≤ ) ? 0.84. 又 ? ? ? ? 2 ?2 ? ?2 2 P(? ≤ 0) ? P(? ? 2 ≤ ?2) ? P( ≤ ) ? 1 ? P( ≤ ) ? 0.16. 故选 A. ? ? ? ?

2、 ( 2007 湖南高考) 设随机变量 ? 服从标准正态分布 N (0, 1) ,已知 ? (?1.96) ? 0.025 ,则 P(| ? |? 1.96) = ( ) B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975

A. 0.025

【解析】选 C. ? 服从标准正态分布 N (0, 1) , ? P(| ? |? 1.96) ? P(?1.96 ? ? ? 1.96) ?

?(1 . 9 6 ?)? ? ( 1 . 9 ?6 ) ?? 1 ? 2 ( 1 ?. 9? 6 ) ? 1 2 ?0 . 0 2 5

0.950.

3、 ( 2007 安徽高考)以 ? ( x) 表示标准正态总体在区间( ? ?, x )内取值的概率,若随机变量 ? 服从正态 分布 N (? , ? 2 ) ,则概率 P ( ? ? ? ? ? ) 等于 ( A) ? ( ? ? ? ) - ? ( ? ? ? ) ( C) ? ( ( B) ? (1) ? ? (?1) ( D) 2? ( ? ? ? )

1? ?

?

)

【解析】选 B. 以 ? ( x) 表示标准正态总体在区间( ? ?, x )内取值的概率,若随机变量 ? 服从正态分布

N (? , ? 2 )









P( ? ? ? ? ? )

=

P(? ? ? ) ? P(? ? ? )

=

?(

?(

? ?? ? ? ) = ? (1) ? ? (?1) ,选 B。 ?
2

? ?? ? ? ) ?



4、 ( 2007 全国Ⅱ)在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N( 1,? ) (? >0) ,若 ? 在( 0, 1)内取值 的概率为 0.4,则 ? 在( 0, 2)内取值的概率为 。

【解析】在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N( 1,? 2) (? >0) ,正态分布图象的对称轴为 x=1,? 在( 0,1)内取值的概率为 0.4,可知,随机变量 ξ 在(1,2)内取值的概率于 ? 在 (0,1)内取值的概率相同, 也为 0.4,这样随机变量 ξ 在 (0, 2)内取值的概率为 0.8。 5、 ( 2007 福建高考)两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数错误!未找到引用源。的 数学期望错误!未找到引用源。= _______; 【 解 析 】 ξ 的 取 值 有 0 , 1 , 2 , p(? ? 0) ? Eξ= 0 ?

C 1C 1 4 2? 2 4 1 ? , p(? ? 1) ? 2 2 ? , p(? ? 2) ? , 所 以 9 9 9 9 9

4 4 1 2 ? 1? ? 2 ? ? . 9 9 9 3

6、 ( 2007 浙江高考)随机变量 ? 的分布列如下:

?
P
其中 a,b,c 成等差数列,若 E? ?

?1

0 b

1

a

c


1 . 则 D? 的值是 3

【解析】 a,b,c 成等差数列, ? 2b ? a ? c, 有 a ? b ? c ? 1, E? ? ?1? a ? 1? c ? c ? a ? 联立三式得 a ? 答案:

1 . 3

1 1 1 1 1 1 1 2 1 5 , b ? , c ? , ? D? ? (?1 ? ) 2 ? ? ( ) 2 ? ? ( ) 2 ? ? . 6 3 2 3 6 3 3 3 2 9

5 9

7、 ( 2007 广东高考)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨 )与相应的生 产能耗 y (吨标准煤 )的几组对照数据

x
y

3 2.5

4

5
4

6
4.5

3

(1)请画出上表数据的散点图;

? ?a ?; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx
(3)已知该厂技改前 100吨甲产品的生产能耗为 90吨标准煤.试根据 (2)求出的线性 回归方程,预测生产 100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 ? (参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 ) 【解析】 (1)如下图

7 6 5 产 量 4 3 2 1 0 0 1 2 能耗 3 4 5

(2)

i ?1

? x i y i =3 ? 2.5+4 ? 3+5 ? 4+6 ? 4.5=66.5
3? 4?5?6 =4.5 4

n

x=

y=

2.5 ? 3 ? 4 ? 4.5 =3.5 4

i ?1

? xi

n

2

= 3 + 42 + 5 + 6 =86

2

2

2

? ? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 b 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81

? ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ? ? Y ? bX a
故线性回归方程为 y=0.7x+0.35 (3)根据回归方程的预测,现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7? 100+0.35=70.35 故耗能减少了 90-70.35=19.65(吨 ) 8、 ( 2007 宁夏高考)如图,面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M , 可按下面方法估计 M 的面积:在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,若 n 个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的估计值为

D

C

M

m S ,假设正方形 ABCD 的边长为 2, M n
A B

的面积为 1, 并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点, 以 X 表示落入 M 中的点的 数目. ( I)求 X 的均值 EX ;

( II)求用以上方法估计 M 的面积时, M 的面积的估计值与实际值之差在区间 (?0.03, ????) 内的概率. 附表: P(k ) ?

?C
t ?0

k

t 10000

? 0.25t ? 0.7510000?t
2424

k
P(k )

2425
0.0423

2574
0.9570

2575
0.9590

0.0403

【解析】每个点落入 M 中的概率均为 p ? (Ⅰ ) EX ? 10000 ?

1 1? ? .依题意知 X ~ B ?10000, ? . 4 4? ?

1 ? 2500 . 4

(Ⅱ )依题意所求概率为 P ? ?0.03 ?

? ?

X ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? , 10000 ?

X ? ? P ? ?0.03 ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? ? P(2425 ? X ? 2575) 10000 ? ? ?
2574

t ? 2426 2574 t ?0

?C

t 10000

? 0.25t ? 0.7510000?t
2425 t ?0

t t ? ? C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?t ? ? C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?1

? 0.9570 ? 0.0423 ? 0.9147 .
9、 ( 2007 山东高考) 设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数, 用随机变量 ? 表示方程 x 2 ? bx ? c ? 0 实根的个数(重根按一个计) . (Ⅰ)求方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有实根的概率; (Ⅱ)求 ? 的分布列和数学期望; (Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 有实根的概率. 【解析】 ( I)基本事件总数为 6 ? 6 ? 36 ,若使方程有实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,即 b ? 2 c 。 当 c ? 1 时, b ? 2,3, 4,5,6 ;当 c ? 2 时, b ? 3, 4,5,6 ;当 c ? 3 时, b ? 4,5,6 ;当 c ? 4 时, b ? 4,5,6 ; 当 c ? 5 时, b ? 5, 6 ;当 c ? 6 时, b ? 5, 6 , 目标事件个数为 5 ? 4 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 19, 因此方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有实根的概率为 (II)由题意知, ? ? 0,1, 2 ,则 P (? ? 0) ? 故 ? 的分布列为

19 . 36

17 2 1 17 ? , P (? ? 2) ? , P (? ? 1) ? , 36 36 18 36

?
P

0

1

2

17 36

1 18

17 36

? 的数学期望 E? ? 0 ?

17 1 17 ? 1? ? 2 ? ? 1. 36 18 36
2

(III)记 “先后两次出现的点数中有 5”为事件 M, “方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根 ” 为事件 N, 则 P( M ) ?

7 11 P( MN ) 7 , P ( MN ) ? , P( N M ) ? ? . 36 36 P( M ) 11

10、 ( 2007 全国 I)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分布列为

?
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元. ? 表示经销一件该商品的利润. (Ⅰ)求事件 A : “购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款 ”的概率 P ( A) ;

(Ⅱ)求 ? 的分布列及期望 E? . 【解析】 (Ⅰ )由 A 表示事件 “购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款 ”. 知 A 表示事件 “购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款 ”

P( A) ? (1 ? 0.4)3 ? 0.216 , P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.216 ? 0.784 .
(Ⅱ ) ? 的可能取值为 200 元, 250 元, 300 元.

P(? ? 200) ? P(? ? 1) ? 0.4 , P(? ? 250) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 , P(? ? 300) ? 1 ? P(? ? 200) ? P(? ? 250) ? 1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 .

? 的分布列为 ?
P

200 0.4

250 0.4

300
0.2

E? ? 200 ? 0.4 ? 250 ? 0.4 ? 300 ? 0.2

? 240 (元) .
11、 ( 2007 全国 II)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A :“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 ”的概率 P( A) ? 0.96 . ( 1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; ( 2)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件, ? 表示取出的 2 件产品中二等品的件数,求 ? 的分布列. 【解析】 ( 1)记 A0 表示事件 “取出的 2 件产品中无二等品 ”,

A1 表示事件 “取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品 ”.
则 A0,A1 互斥,且 A ? A0 ? A 1 ,故

P( A) ? P( A0 ? A1 )
? P ( A0 ) ? P ( A1 ) ? (1 ? p ) 2 ? C1 2 p (1 ? p ) ? 1 ? p2
于是 0.96 ? 1 ? p .
2

解得 p1 ? 0.2,p2 ? ?0.2 (舍去) .

1, 2. ( 2) ? 的可能取值为 0,

若该批产品共 100 件,由( 1)知其二等品有 100 ? 0.2 ? 20 件,故
2 1 C80 C1 316 160 80 C20 . P(? ? 1) ? . P(? ? 0) ? 2 ? ? 2 C100 495 C100 495

C2 19 . P(? ? 2) ? 220 ? C100 495

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

316 495

160 495

19 495

12、 ( 2007北京高考)某中学号召学生在今年春节期间至少 参加一次社会公益活动 (以下简称活动) . 该校合唱团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. ( I)求合唱团学生参加活动的人均次数; ( II)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好 相等的概率. ( III)从合唱团中任选两名学生,用 ? 表示这两人参加活动 次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 50 40 30 20 10

参加人数

活动次数 1 2 3

【解析】由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、 50 和 40. ( I)该合唱团学生参加活动的人均次数为

1?10 ? 2 ? 50 ? 3 ? 40 230 ? ? 2.3 . 100 100
2 2 2 C10 ? C50 ? C40 41 ? . 2 C100 99

( II)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为 P 0 ?

( III)从合唱团中任选两名学生,记 “这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 2 次活动 ”为事件 A , “这 两人中一人参加 2 次活动,另一人参加 3 次活动 ”为事件 B ,“这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 3 次活动 ”为事件 C .易知

P(? ? 1) ? P( A) ? P( B)

?

1 1 1 1 C10 C50 C50 C40 50 ? ? ; 2 2 C100 C100 99

P(? ? 2) ? P(C )

?

1 1 C10 C40 8 ? ; 2 C100 99

? 的分布列: ?
0 1 2

P

41 99
41 50 8 2 ? 1? ? 2 ? ? . 99 99 99 3

50 99

8 99

? 的数学期望: E? ? 0 ?

13、 ( 2007 陕西高考)某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试, 否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 正确回答互不影响 . (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率; (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列与数数期望.(注:本小题结果可用 分数表示) 【解析】解法一: (Ⅰ )记 “该选手能正确回答第 i 轮的问题 ”的事件为 Ai (i ? 1 , 2, 3) ,则 P ( A1 ) ?

4 3 2 、 、 ,且各轮问题能否 5 5 5

4 , 5

P ( A2 ) ?

3 2 , P ( A3 ) ? , 5 5

?该选手被淘汰的概率

P ? P( A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )
? 1 4 2 4 3 3 101 ? ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 5 5 125

2, 3 , P(? ? 1) ? P( A1 ) ? (Ⅱ ) ? 的可能值为 1,

1 , 5 4 2 8 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? , 5 5 25 4 3 12 P(? ? 3) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? . 5 5 25

? ? 的分布列为

?
P

1

2

3

1 5

8 25

12 25

1 8 12 57 ? E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 5 25 25 25

解法二: (Ⅰ )记 “该选手能正确回答第 i 轮的问题 ”的事件为 Ai (i ? 1 , 2, 3) ,则 P ( A1 ) ?

4 3 , P ( A2 ) ? , 5 5

P ( A3 ) ?

2 . 5

4 3 2 101 . ?该选手被淘汰的概率 P ? 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? ? ? ? 5 5 5 125
(Ⅱ )同解法一. 14、 ( 2007 天津高考)已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望. 【解析】 (Ⅰ )解:设 “从甲盒内取出的 2 个球均为黑球 ”为事件 A , “从乙盒内取出的 2 个球均为黑球 ”为 事件 B .由于事件 A, B 相互独立,且 P( A) ?
2 C32 1 C4 2 , ? P ( B ) ? ? . 2 2 C4 2 C6 5

· B ) ? P ( A· ) P( B) ? 故取出的 4 个球均为黑球的概率为 P ( A

1 2 1 ? ? . 2 5 5

(Ⅱ )解:设 “从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中, 1 个是红球, 1 个是黑球 ”为 事件 C , “从甲盒内取出的 2 个球中, 1 个是红球, 1 个是黑球; 从乙盒内取出的 2 个球均为黑球 ”为事件 D . 由 于事件 C,D 互斥, 且 P(C ) ?
1 1 1 2 C32 C2 C3 · C4 C4 4 1 , · ? P ( D ) ? · ? . 2 2 2 2 C4 C6 15 C4 C6 5

4 1 7 ? ? . 15 5 15 1 7 1 , 2, 3 .由( Ⅰ (Ⅲ )解: ? 可能的取值为 0, ) , (Ⅱ )得 P(? ? 0) ? , P (? ? 1) ? , 5 15
故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 P (C ? D ) ? P (C ) ? P ( D ) ?
1 C3 3 1 1 P(? ? 3) ? 2· 2 ? .从而 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? . 10 C4 C6 30

? 的分布列为 ?
P
0 1 2 3

1 5

7 15

3 10

1 30

1 7 3 1 7 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 5 15 10 30 6
15、 ( 2007 四川高考)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规

定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 件进行检验.求至少有 1 件是合格品的 概率 ; (Ⅱ)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件,都进行检验, 只有 2 件都合格时才接收这批产品,否则拒收 .求该商家可能检验出不合格产品数 ? 的分布列及期望 E? , 并求该商家拒收这批产品的概率. 本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知 识与方法解决实际问题的能力。 【解析】 (Ⅰ )记 “厂家任取 4 件产品检验,其中至少有 1 件是合格品 ”为事件 A 用对立事件 A 来算,有 P ? A ? ? 1 ? P A ?1 ?0 . 2 ? 0 . 9 9 8 4
4

? ?

(Ⅱ ) ? 可能的取值为 0,1, 2

P ?? ? 0 ? ?

2 1 1 C17 C3 C17 51 C32 136 3 , , ? P ? ? 1 ? ? P ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 C20 190 C20 190 C20 190

?
P

0
136 190

1

2

51 190

3 190

E? ? 0 ?

136 51 3 3 ? 1? ? 2? ? 190 190 190 10

记 “商家任取 2 件产品检验,都合格 ”为事件 B,则商家拒收这批产品的概率

P ? 1? P ? B? ? 1?

136 27 ? 190 95
27 95

所以商家拒收这批产品的概率为

16、 ( 2007 重庆高考)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险 金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获 9000 元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次) ,设这 三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 位在此保险中: (Ⅰ)获赔的概率; (Ⅱ)获赔金额 ? 的分布列与期望.

1 1 1 , , ,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单 9 10 11

2, 3 .由题意知 A1 , A2 , A3 独立, 【解析】设 Ak 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, k ? 1,

且 P ( A1 ) ?

1 1 1 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 9 10 11

(Ⅰ )该单位一年内获赔的概率为

8 9 10 3 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? ? ? ? . 9 10 11 11
(Ⅱ ) ? 的所有可能值为 0 , 9000 , 18000 , 27000 .

8 9 10 8 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? , 9 10 11 11

P(? ? 9000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 )
1 9 10 8 1 10 8 9 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 10 11 9 10 11 9 10 11 242 11 ? ? , 990 45

P(? ? 18000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 )
1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 110 1 1 1 1 . P(? ? 27000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? ? ? ? 9 10 11 990
综上知, ? 的分布列为

?
P
求 ? 的期望有两种解法: 解法一:由 ? 的分布列得

0
8 11

9000
11 45

18000
3 110

27000
1 990

E? ? 0 ? ?

8 11 3 1 ? 9000 ? ? 18000 ? ? 27000 ? 11 45 110 990

29900 ≈ 2718.18 (元) . 11

2, 3, 解法二:设 ?k 表示第 k 辆车一年内的获赔金额, k ? 1,
则 ?1 有分布列

?1

0

9000

P
故 E?1 ? 9000 ?

8 9

1 9

1 ? 1000 . 9 1 1 同理得 E? 2 ? 9000 ? ? 900 , E?3 ? 9000 ? ? 818.18 . 11 10
综上有 E? ? E?1 ? E?2 ? E?3 ? 1000 ? 900 ? 818.18 ? 2718.18 (元) . 17、 ( 2007 江西高考)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制, 当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一 次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5 , 0.6 , 0.4 ,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三 件产品合格的概率依次为 0.6 , 0.5 , 0.75 . ( 1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; ( 2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 ? ,求随机变量 ? 的期望. 【解析】分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A 1 , A2 , A 3, ( 1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则

P(E) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )
? 0.5 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.38 .
( 2)解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p ? 0.3 , 所以 ? ~ B(3, 0.3) ,故 E? ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9 . 解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A,B,C ,则

P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.3 ,
所以 P(? ? 0) ? (1 ? 0.3)3 ? 0.343 , P(? ? 1) ? 3 ? (1 ? 0.3)2 ? 0.3 ? 0.441,

P(? ? 2) ? 3? 0.32 ? 0.7 ? 0.189 , P(? ? 3) ? 0.33 ? 0.027 .
于是, E (? ) ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 . 18、 ( 2007 湖南高考)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每 名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有 60%,参加 过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. ( I)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; ( II)任选 3 名下岗人员,记 ? 为 3 人中参加过培训的人数,求 ? 的分布列和期望.

【解析】任选 1 名下岗人员,记 “该人参加过财会培训 ”为事件 A , “该人参加过计算机培训 ”为事件 B , 由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.75 . ( I)解法一:任选 1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是

P 1 ? P( A B) ? P( A) P( B) ? 0.4 ? 0.25 ? 0.1
所以该人参加过培训的概率是 P 2 ? 1? P 1 ? 1 ? 0.1 ? 0.9 . 解法二:任选 1 名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是

P 3 ? P( A B) ? P( A B) ? 0.6 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.45
该人参加过两项培训的概率是 P 4 ? P( A B) ? 0.6 ? 0.75 ? 0.45 . 所以该人参加过培训的概率是 P 5 ?P 3?P 4 ? 0.45 ? 0.45 ? 0.9 . ( II )因为每个人的选择是相互独立的,所以 3 人中参加过培训的人数 ? 服从二项分布 B(3, 0.9) ,
k 1, 2, 3 ,即 ? 的分布列是 P(? ? k ) ? C3 ? 0.9k ? 0.13?k , k ? 0,

?
P

0 0.001

1 0.027

2 0. 243

3 0.729

? 的期望是 E? ? 1? 0.027 ? 2 ? 0.243 ? 3? 0.729 ? 2.7 .
(或 ? 的期望是 E? ? 3 ? 0.9 ? 2.7 ) 19、 ( 2007 湖北高考)在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有 100 个数据, 将数据分组如右表: ( I)在答题卡上完成频率分布表,并在给定的坐标系中画出频率分布直方图; ( II)估计纤度落在 [1.381.50) , 中的概率及纤度小于 1.40 的概率是多少? ( III)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间 [1.30, 1.34) 的中点值是1.32 )作为代 表.据此,估计纤度的期望. 本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法,考查运 用概率统计知识解决实际问题的能力. 【解析】 (Ⅰ )

频率/组距 分组 频数

[1.30, 1.34) [1.34, 1.38) [1.38, 1.42) [1.42, 1.46)
1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54

4

25 30 29

[1.46, 1.50)
样本数据

10
2

[1.50, 1.54)
合计

100

, ? 中 的 概 率 约 为 0.30 ? 0.29 ? 0.10 ? 0.69 , 纤 度 小 于 1.40 的 概 率 约 为 ( Ⅱ) 纤 度 落 在 1.381.50
1 0.04 ? 0.25 ? ? 0.30 ? 0.44 . 2
(Ⅲ ) ξ 的分布列为: ξ P 1.32 0.04 1.36 1.40 0.25 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02

?

总体数据的期望约为

1.32 ? 0.04 ? 1.36 ? 0.25 ? 1.40 ? 0.30 ? 1.44 ? 0.29 ? 1.48 ? 0.10 ? 1.52 ? 0.02 ? 1.4088 .
20、 ( 2007安徽高考 ) 在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有 6只果蝇的笼子里,不 慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有 8只蝇子:6只果蝇和 2只苍蝇) ,只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只 一只地往外飞,直到 两只苍蝇都飞出,再关闭小孔 .以 ξ表示笼内还剩下的果蝇 的只数 . .. ..... (Ⅰ)写出 ξ 的分布列(不要求写出计算过程) ; (Ⅱ)求数学期望 Eξ; (Ⅲ)求概率 P ( ξ≥Eξ) .

本小题主要考查可能场合下的事件概率的计算、 离散型随机变量的分布列、 数学期望的概念及其计算, 考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分 13 分. 【解析】 (Ⅰ ) ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

5

6

7 28

6 28

5 28

4 28

3 28

2 28

1 28

2 (1? 6 ? 2 ? 5 ? 3 ? 4) ? 2 . 28 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 15 (Ⅲ )所求的概率为 P(? ≥ E? ) ? P(? ≥ 2) ? . ? 28 28
(Ⅱ )数学期望为 E? ?


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