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数列求和的常用方法(三课时)


数列求和的常用方法(三课时) 数列求和的常用方法(三课时)
数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象.数列求和的基本思路是,抓通项, 数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象.数列求和的基本思路是,抓通项, 找规律,套方法.下面介绍数列求和的几种常用方法: 找规律,套方法.下面介绍数列求和的几种常用方法:

一,直接(或转化)由等差,等比数列的求和公式求和 直接(或转化)由等差,
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1, 等差数列求和公式: S n = 等差数列求和公式:

n(a1 + an ) n(n 1) = na1 + d 2 2 (q = 1) na1 n 等比数列求和公式: 2,等比数列求和公式: S n = a1 (1 q ) a1 a n q = (q ≠ 1) 1 q 1 q
n

3, S n =

n 1 1 4, S n = ∑ k 2 = n( n + 1)( 2n + 1) ∑ k = 2n(n + 1) 6 k =1 k =1 n 1 3 2 5, S n = ∑ k = [ n( n + 1)] 2 k =1 例 1(07 高考山东文 18)设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, S n 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 = 7 ,且 18) 的等比数列, 项和. a1 + 3, 2,a3 + 4 构成等差数列. 3a 构成等差数列.

(1)求数列 {an } 的等差数列. 的等差数列.

2, 求数列 {bn } 的前 n 项和 T . (2)令 bn = ln a3 n +1,n = 1, ,
a1 + a2 + a3 = 7, (1 解: 1)由已知得 : ( a1 + 3) + ( a3 + 4) ( 解得 a2 = 2 . = 3a2 . 2 2 设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 = 2 ,可得 a1 = ,a3 = 2q . q 2 2 又 S3 = 7 ,可知 + 2 + 2q = 7 ,即 2q 5q + 2 = 0 , q 1 ∴ 解得 q1 = 2,q2 = .由题意得 q > 1, q = 2 . 2 ∴ a1 = 1 .故数列 {an } 的通项为 an = 2n 1 .
(2)由于 bn = ln a3 n +1,n = 1, , (1)得 a3n +1 = 23n 2, 由

∴ bn = ln 23n = 3n ln 2 ,

又 bn +1 bn = 3ln 2n

∴{bn } 是等差数列. 是等差数列. ∴ Tn = b1 + b2 + + bn n(b1 + bn ) = 2 n(3ln 2 + 3ln 2) = 2 3n(n + 1) = ln 2. 2 3n( n + 1) ln 2 . 故 Tn = 2
1

* 练习: 1+2+3+…+n …+n, 练习:设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N ,求 f ( n) = *

Sn 的最大值. 的最大值. (n + 32) S n +1 1 1 解:由等差数列求和公式得 S n = n( n + 1) , S n = ( n + 1)( n + 2) 2 2 Sn n ∴ f ( n) = = 2 (n + 32) S n +1 n + 34n + 64 1 1 1 ≤ = = 64 8 2 50 n + 34 + ( n ) + 50 n n 8 1 ∴ 当 n ,即 n=8 时, f ( n) max = 50 8

(利用常用公式) 利用常用公式)

二,错位相减法 的等比数列, 是等差数列, 求解, 设数列 {a n } 的等比数列,数列 {bn } 是等差数列,则数列 {a n bn }的前 n 项和 S n 求解,均可用错位相减
n +1 n 21) 例 2(07 高考天津理 21)在数列 {an } 中, a1 = 2,an +1 = λ an + λ + (2 λ )2 ( n ∈ N ) ,其中 λ > 0 .

法.

(Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 S n ;
n +1 n (Ⅰ)解:由 an +1 = λ an + λ + (2 λ )2 (n ∈ N ) , λ > 0 ,

的通项公式; (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

可得

λ n +1

an +1

2 λ

n +1

2 = n +1, λ λ an

n

n an 2 n an 2 为等差数列, 所以 n 为等差数列,其公差为 1,首项为 0,故 = n 1 ,所以数列 {an } 的通项公 λn λ λ λ n n 式为 an = ( n 1)λ + 2 .
2 3 4 n 1 n (Ⅱ)解:设 Tn = λ + 2λ + 3λ + + ( n 2)λ + ( n 1)λ , 3 4 5 n n +1



λTn = λ + 2λ + 3λ + + ( n 2)λ + ( n 1)λ ② 式减去② 当 λ ≠ 1 时,①式减去②式, λ 2 λ n +1 2 3 n n +1 (n 1)λ n +1 , 得 (1 λ )Tn = λ + λ + + λ ( n 1)λ = 1 λ λ 2 λ n +1 (n 1)λ n+1 (n 1)λ n+ 2 nλ n+1 + λ 2 Tn = = . (1 λ ) 2 1 λ (1 λ ) 2 (n 1)λ n+ 2 nλ n +1 + λ 2 + 2n+1 2 . 这时数列 {an } 的前 n 项和 Sn = (1 λ ) 2 n( n 1) n( n 1) + 2n +1 2 . 当 λ = 1 时, Tn = .这时数列 {an } 的前 n 项和 S n = 2 2 高考全国Ⅱ 21) 是等差数列, 是各项都为正数的等比数列, 例 3 ( 07 高考全国 Ⅱ 文 21 ) 设 {an } 是等差数列 , {bn } 是各项都为正数的等比数列 , 且 a1 = b1 = 1 , a3 + b5 = 21 , a5 + b3 = 13 的通项公式; (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式;
(Ⅱ)求数列

an 的前 n 项和 S n . bn

2

(Ⅰ 解: Ⅰ)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则依题意有 q > 0 且 ( 解得 d = 2 , q = 2 . 所以 an = 1 + ( n 1) d = 2n 1 ,

1 + 2d + q 4 = 21, 2 1 + 4d + q = 13,

bn = q n 1 = 2n 1 . a 2n 1 (Ⅱ) n = n 1 . bn 2 3 5 2n 3 2n 1 S n = 1 + 1 + 2 + + n 2 + n 1 ,① 2 2 2 2 5 2n 3 2 n 1 2 S n = 2 + 3 + + + n 3 + n 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n 1 ②-①得 S n = 2 + 2 + + 2 + + n 2 n 1 , 2 2 2 2 1 1 1 2n 1 = 2 + 2 × 1 + + 2 + + n 2 n 1 2 2 2 2 1 1 n 1 2n 1 = 2 + 2 × 2 n 1 1 2 1 2 2n + 3 = 6 n 1 . 2

三,逆序相加法
把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广) 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广) 22.) 例 4(07 豫南五市二联理 22.)设函数 f ( x) =

2x 的图象上有两点 P1(x1, y1),P2(x2, y2),若 2x + 2 1 1 OP = (OP1 + OP2 ) ,且点 P 的横坐标为 . 2 2
2 n 3 n n n

(I)求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值; 求证: 点的纵坐标为定值,并求出这个定值;
* (II)若 S n = f ( ) + f ( ) + f ( ) + … + f ( ), n ∈ N , 求S n ; II)

1 n

(III)略 III) (I)∵ OP =

1 1 (OP1 + OP2 ) ,且点 P 的横坐标为 . 2 2 的中点, ∴P 是 P 1 P 2 的中点,且 x1 + x 2 = 1

y +y
1

2

=

2x

1

2 x1 + 2

+

2x 2x
2 2

2

+ 2
1

2x (2x =
1

2

+ 2 + 2x2

(2x +
2

)

(2x + 2 ) 2)
1

=

4+ 2 4 + 2 2 x 2 + 2 x1

(

)

(2x + 2x ) = 1
( x ) + f ( x ) = 1, 且f (1) = 2
1 2

∴ y =1
p

由 ( I) 知 ,

x +x
1

2

=1 f

2

3

1 2 n 1 n 又S n = f + f + + f + f (1) n n n n (1 , 1) +( 2) 得 : ( n n 1 2 1 S n = f n + f n + + f n + f n ( 2) 1 n n 1 2 n 2 2 S n = f (1) + f + f + f + f + + f + n n n n n
= 2 f (1) + 1 + 1 + + 1 = n + 3 2 2 ∴S n = n +3 2 2 2

1 f + f (1) n

四,裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解, 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 裂项) 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: ( 1) a n = ( 2) a n = ( 3) a n =

1 1 1 = n ( n + 1) n n + 1
( 2n ) 2 1 1 1 = 1+ ( ) (2n 1)(2n + 1) 2 2n 1 2n + 1

1 1 1 1 = [ ] 等. n(n 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 1 1 , , , , 的前 n 项和. 项和. 例 5 求数列 1+ 2 2 + 3 n + n +1 1 = n +1 n 裂项) 解:设 a n = (裂项) n + n +1 1 1 1 裂项求和) + + + 则 Sn = (裂项求和) 1+ 2 2+ 3 n + n +1 = ( 2 1) + ( 3 2 ) + + ( n + 1 n )
= n + 1 1
' 17) 的图像经过坐标原点, 例 6(06 高考湖北卷理 17)已知二次函数 y = f ( x ) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x ) = 6 x 2 ,数
的图像上. 列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 ( n, S n )( n ∈ N ) 均在函数 y = f ( x ) 的图像上.

的通项公式; (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn =

m 1 项和, , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn < 对所有 n ∈ N 都成立的最小正整数 m; 20 an an +1
2 2

(Ⅰ f(x)= 2 (a≠ ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 解: Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 ( a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. b=- (x)=
2 的图像上, 又因为点 ( n, S n )( n ∈ N ) 均在函数 y = f ( x ) 的图像上,所以 S n =3n -2n. 2

2 =(3n2 2n)- 3 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n -2n)- (n 1) 2( n 1) =6n-5. 6n-
2 2 6×1- 所以, 6n- 当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ∈ N ) 2

[

]

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn =

3 1 1 1 3 ), = = ( a n a n +1 (6n 5)[6( n 1) 5] 2 6n 5 6n + 1

4

故 T n=

∑ b = 2 (1 7 ) + ( 7 13 ) + ... + ( 6n 5 6n + 1) = 2 (1- 6n + 1 ).
i =1 i

n

1

1

1

1

1

1



1

1

因此, 因此,要使

1 1 m 1 m 10, ,即 m≥10,所以满足要 ( 1- )< ( n ∈ N )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ 2 6n + 1 20 2 20

求的最小正整数 m 为 10. 评析:一般地, 为等差数列, 则求和: 评析:一般地,若数列 {a n } 为等差数列,且公差不为 0,首项也不为 0,则求和:
n

∑aa
i =1 i

n

1
i +1

首先考虑 也可

n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n =∑ ( ) 则∑ 下列求和: )= = ( .下列求和: ∑ ∑ a a i =1 d a a d a1 a n +1 a1 a n +1 a i + a i +1 i =1 i i +1 i =1 a i a i +1 i =1 i i +1

用裂项求和法. 用裂项求和法.

五,分组求和法
所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开, 所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可 分为几个等差,等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并. 分为几个等差,等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并. 数列{ 数列{ 例 7 数列{an}的前 n 项和 S n = 2a n 1 ,数列{bn}满 b1 = 3, bn +1 = a n + bn ( n ∈ N ) . ;(Ⅱ 求数列{ (Ⅰ)证明数列{an}为等比数列;(Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 证明数列{ 为等比数列;( 解析: (Ⅰ 解析: Ⅰ)由 S n = 2a n 1, n ∈ N ,∴ S n +1 = 2 a n +1 1 , ( 两式相减得: 两式相减得: a n +1 = 2a n +1 2a n , ∴ a n +1 = 2a n , n ∈ N .同a1 = 1知a n ≠ 0 ,



a n +1 的等比数列. = 2, 同定义知 {a n } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. an b n +1 b n = 2 n 1 , b 2 b1 = 2 0 , b 3 b 2 = 2 1 , b 4 b 3 = 2 2 ,
等式左,右两边分别相加得: bn bn 1 = 2 n 2 , 等式左,右两边分别相加得:

(Ⅱ) a n = 2 n 1 , b n +1 = 2 n 1 + b n

1 2 n 1 = 2 n 1 + 2, 1 2 ∴ Tn = ( 2 0 + 2) + ( 21 + 2) + ( 2 2 + 2) + + ( 2 n 1 + 2) = ( 2 0 + 21 + 2 2 + + 2 n 1 ) + 2 n bn = b1 + 2 0 + 21 + + 2 n 2 = 3 +

1 2n + 2n = 2 n + 2n 1. 1 2 例 8 求 S = 12 22 + 32 42 + + (1)n 1 n2 ( n ∈ N + ) 为偶数时, 解:⑴ 当 n 为偶数时,
=

S = (12 22 ) + (32 42 ) + + [(n 1)2 n2 ] = (1 + 2 + + n) =
为奇数时, ⑵ 当 n 为奇数时,

n(1 + n) ; 2
n(n 1) 1 + n 2 = ( n 2 + n) 综 上 所 2 2

S = (12 22 ) + (32 42 ) + + [(n 2)2 (n 1)2 ] + n 2 = [1 + 2 + + (n 1)] + n 2 =

述, S = (1)n +1 n( n + 1) .

1 2 点评:分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和. 点评:分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.

六,利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征, 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. 项和,是一个重要的方法.

5

之和. 例 9 求 1 + 11 + 111 + + 111 1 之和.
n个1

解:由于 111 1 =
k个1

1 1 × 999 9 = (10 k 1) 9 9 k个1
n个1

(找通项及特征) 找通项及特征)

∴ 1 + 11 + 111 + + 111 1

1 1 1 1 3 1 2 n = (10 1) + (10 1) + (10 1) + + (10 1) 9 9 9 9 1 1 1 2 3 n = (10 + 10 + 10 + + 10 ) (1 + 1 + 1 + + 1) 9 9 n个1

(分组求和) 分组求和)

1 10(10 n 1) n 9 10 1 9 1 n +1 = (10 10 9n) 81
=
∞ 8 的值. , 求∑ (n + 1)(a n a n +1 ) 的值. (n + 1)(n + 3) n =1 1 1 ] 找通项及特征) 解:∵ ( n + 1)(a n a n +1 ) = 8( n + 1)[ (找通项及特征) (n + 1)(n + 3) (n + 2)(n + 4) 1 1 + ] 设制分组) = 8 [ (设制分组) (n + 2)(n + 4) (n + 3)(n + 4) 1 1 1 1 裂项) ) + 8( ) (裂项) =4 ( n + 2 n + 4 n +3 n + 4 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 分组,裂项求和) ) + 8∑ ( ) ∴ ∑ ( n + 1)( a n a n +1 ) = 4∑ ( (分组,裂项求和) n+4 n+4 n =1 n =1 n + 2 n =1 n + 3 1 1 1 =4( + ) +8 3 4 4 13 = 3

已知数列{ 例 10 已知数列{an}: a n =

6

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