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选修4-4高考题及答案


(2009 年辽宁卷(23) ) (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, x 正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ? cos (? ? =1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点。 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。 (23)解:

?
3



w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

? (Ⅰ)由 ? cos( ? ? ) ? 1得 3

? ( cos? ?

1 2

3 sin? ) ? 1 2

从而 C 的直角坐标方程为
1 3 x? y ?1 2 2 即 x ? 3y ? 2

? ? 0时,? ? 2,所以M (2,0) ?? ?
2 时,? ? 2 3 2 3 ? ,所以N ( , ) 3 3 2

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0) N 点的直角坐标为 (0,
2 3 ) 3
(1. 3 2 3 ? ), 则P点的极坐标为( , ), 3 3 6

所以 P 点的直角坐标为

所以直线 OP 的极坐标方程为 ? ? ? , ? ? (??,??) ? (2010 年辽宁卷(23)) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知 P 为半圆 C: ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0) ,

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

的长度均为

? 。 3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。

所以直线 OP 的极坐标方程为 ? ? ? , ? ? (??,??) ?

(2011 年辽宁(23) ) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程

? x ? cos ? 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 的 ? y ? sin ? ? x ? a cos ? 参数方程为 ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数) ,在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极 ? y ? b sin ?
坐标系中,射线 l:θ= ? 与 C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个交点间的距离为 2, 当? =

?
2

时,这两个交点重合.

(I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =

?
4

时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? = ?

? 时,l 与 C1,C2 的 4

交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 23.解: (I)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0) , (a,0) ,因为这两点间 的距离为 2,所以 a=3. 当? ?

?
2

时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1) , (0,b) ,因为这两点重

合,所以 b=1.

x2 ? y 2 ? 1. (II)C1,C2 的普通方程分别为 x ? y ? 1和 9
2 2

当? ?

?
4

时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x ?

2 ,与 C2 交点 B1 的横坐标为 2

x? ?

3 10 . 10

当? ? ?

?
4

时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因

此, 四边形 A1A2B2B1 为梯形. 故四边形 A1A2B2B1 的面积为

(2 x ? ? 2 x)( x ? ? x) 2 ? . 2 5
2

…………10 分

(2012 辽宁 23). (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2 +y 2 =4 ,圆 C2 : ? x-2 ? +y =4

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 ,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1 ,C2 的交点坐标(用极坐标表示) (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程 【命题意图】本题主要考查圆的极坐标方程、直线的参数方程,是简单题. 【解析】圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 ,圆 C2 的极坐标方程为 ? =4cos ? , 解?

? ? =2 ? ? ?? ? ?? 得 ? =2,? = ? ,故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 ? 2, ? , ? 2,- ? 3 ? 3? ? 3? ? ? =4cos ?

……5

分 注:极坐标系下点的表示不唯一

? x=? cos ? ,得圆 C1 与圆 C2 交点的直角坐标为 1, 3 , 1,- 3 ? y =? sin ? ? x=1 故圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为 ? - 3?t 3 ? y =t ? x=1 (或参数方程写成 ? … 10 分 - 3 ? y ? 3) ? y =y
(2) (解法一)由 ?

?

??

?

(解法二)

? x=? cos ? 1 ,得 ? cos ? =1 ,从而 ? = cos ? ? y =? sin ? ? x=1 ? ? 于是圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为 ? - ?? ? 3 ? y = tan ? 3
将 x =1 代入 ? (2013 辽宁,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sin θ, ? cos ? ? ?

? ?

π? ? =2 2 . 4?

(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为

? x ? t 3 ? a, ? ? b 3 (t∈R 为参数),求 a,b 的值. y ? t ?1 ? ? 2
解:(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4,

直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.

? x2 ? 2, ? ? y2 ? 2. π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为 ? 4, ? , ? 2 2, ? . 4? ? 2? ?
解? 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0. 由参数方程可得 y ?

? x2 ? ? y ? 2?2 ? 4, ? x1 ? 0, 得? x ? y ? 4 ? 0 ? y1 ? 4, ?

b ab x? ? 1. 2 2

?b ? 1, ? ?2 所以 ? ? ? ab ? 1 ? 2, ? ? 2
解得 a=-1,b=2.

(2009 全国新课标 23) 已知曲线 C 1 : ? ( ? 为参数) 。

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C 2 :? ? y ? 3sin ? , ? y ? 3 ? sin t ,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t
2

(t 为参数)距离的最小值。

(Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 :
2

x2 y 2 ? ? 1. 64 9

C1 为圆心是( ?4, 3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
3 ? 时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ), 故M ( ?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ). 2 2

(Ⅱ)当 t ?

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0, M 到C3的距离d ?
从而当 cos ? ?

5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | . 5

4 3 8 5 ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 . 5 5 5

(2010 全国二 23)已知直线 C1 ? (Ⅰ)当 ? =

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数) ,C2 ? ( ? 为参数) , ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 ,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线。

??
(Ⅰ)当 方程组 ?

?
3 时, C 的普通方程为 y ? 3( x ?1) , C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1。联立 1 2

? ? y ? 3( x ? 1) ? ?x ? y ? 1
2 2

? ,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ? ,

?1 ?2 ?

3? ?。 2 ? ?

(Ⅱ) C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 。
2 A 点坐标为 sin ? ? cos ? sin ? ,

?

?

故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为:

1 ? x ? sin 2 ? ? ? 2 ??为参数 ? ? ? y ? ? 1 sin ? cos ? ? ? 2

1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 4? 16 。 P 点轨迹的普通方程为 ?
0 ? ,半径为 故 P 点轨迹是圆心为 ? , ?1 ?4 ? ?
1 的圆。 4

2

(2010 全国一 23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

uu u v

uuuv

? 与 C1 的异于极点 3

解析:(I)设 P(x,y),则由条件知 M(

x y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? ? 2cos ? , ? ? ?2 ? ? ? ? y ? 2 ? 2sin ? ? ?2 ? ? ?
从而 C 2 的参数方程为



? x ? 4cos ? ? ? ? ? y ? 4 ? 4sin ? ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?
(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ?

? ? 与 C 1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin , 3 3 ? ? 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin 。 3 3

射线 ? ?

所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . (2012 全国一 23) 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? 以坐标原点为极点, (?为参数) , ?y ? 3sin?

x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都
在 C 2 上,且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

)

【解析】 (1)点 A, B, C , D 的极坐标为 (2,

?
3

), (2,

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ) 6 3 6

点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1) (2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ?
2 2

? x0 ? 2cos? (?为参数) ? y0 ? 3sin?
2 2

t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40

? 56 ? 20sin 2 ? ?[56,76]
(2013 课标全国Ⅰ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ? y ? 5 ? 5sin t

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ). 解:(1)将 ?
2

? x ? 4 ? 5cos t , 2 2 消去参数 t,化为普通方程(x-4) +(y-5) =25, ? y ? 5 ? 5sin t
2

即 C1:x +y -8x-10y+16=0. 将?
2

? x ? ? cos ? , 2 2 代入 x +y -8x-10y+16=0 得 ? y ? ? sin ?

ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 2 ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. 2 2 (2)C2 的普通方程为 x +y -2y=0. 由?

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0,
2 2

?x ? y ? 2 y ? 0 ? x ? 1, ? x ? 0, 解得 ? 或? ? y ? 1 ? y ? 2.
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2,

? ?

π? ? π? ? , ? 2, ? . 4? ? 2?

(2013 课标全国Ⅱ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2cos t , (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t=2α (0 ? y ? 2sin t

<α <2π ),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 解:(1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ).

M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? , (α 为参数,0<α <2π ). ? y ? sin ? ? sin 2?

(2)M 点到坐标原点的距离

d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0<α <2π ). 当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.


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