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平面向量的数量积


平面向量的数量积

一、知识梳理:

? 1、平面向量的数量积 ? (1)a与b的夹角: 共同的起点
0 ,1800] [0 ?(2)向量夹角的范围:

a θ

b

? (3)向量垂直:
B B A A A O B A B O O A B

a O θ
O

b

(4)两个非零向量的数量积:

a· b = |a| |b| cosθ
? 规定:零向量与任一向量的数量积为0 几何意义: 数量积 a · b 等于 a 的长度 |a|与 b 在
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b

B
b

O θ

a
B1 A B1

θ
O a

θ
A O (B1)

a
A

2、平面向量数量积的重要性质
ab为非零向量,e为单位向量

? (1)e· a = a · e =| a | cosθ ? (2)a ⊥ b的充要条件是 a ·b =0 ? (3) 当 a与b同向时, a · b = |a | | b | ; ? 当 a 与b 反向时,a ·b = - |a | | b

|
? ? 特别地:a · a=| a |
2

或 |a|=

? (4)cosθ=

(5)| a· b|≤|a||b

|

3、平面向量的数量积满足的运算率 (1) (交换律) a ·b = b ·a (2)(实数与向量结合律)
(λ a )· b =λ(a · b )=a · (λb )
(3)(分配律)(a + b )· c =a· c+b· c

二、基础练习
1、判断下列命题的真假 ? (1)平面向量的数量积可以比较大小 ? (2)因为直线的夹角范围为[00 ,900 ],所以向量的夹 角范围也为[00 ,900 ]。 (3)已知b为非零向量因为0×a =0, a · b = 0,所以a = 0 ? (4 ) 对于任意向量a、 b、 c,都有a · b· c = a· (b · c)
2 已知 |a| =12,|b| =9,a ·b =-54√2,求a和b 的夹角 3、已知△ABC中,a =5,b =8,C=600,求BC · CA
A
B C

4、已知 | a | =8,e是单位向量,当它们之间的夹 角为

三、典型例题

? 例1、 已知(a – b)⊥(a + 3 b),求 证: ab + b( |= 23 |b b | 解:∵ (| a– )⊥ a+ )
∴ (a – b)·(a + 3 b)=0 即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0 即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0 ∴ (a + b)2 = 4 b2 即 | a + b |2 = 4 | b |2

∴|a+b| =2|b|

例2、已知a、b都是非零向量,且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直,a – 4 b 与7 a – 2 b垂 直,求a与b的夹角。 cosθ=
解:∵ (a + 3 b )⊥(7 a – 5 b) (a – 4 b )⊥(7 a – 2 b ) ∴ (a + 3 b )· (7 a – 5 b) =0 且 (a – 4 b )·(7 a – 2 b )=0 即 7a · a + 16 a · b – 15 b · b =0
7a · a - 30 a · b+8b· b =0 两式相减得: 2 a · b = b 2,代入其中任一式中得: a 2= b
2

例3、求证:直径所对圆周角为直角
? 证明:设AC是圆O的一条直径, ∠ABC为圆周角,如图 ?设AO = a,OB=b,
C b B

0

a A

?则AB= a + b,OC = a, 则BC=OC-OB= a - b ?∵| a | = | b | ?∴AB · BC=(a+b)· (a-b) = a 2- b 2=| a | 2 - | b | 2=0 ∴AB⊥BC ∴ ∠ABC=900 即直径所对圆周角为直角

四、巩固练习
1、已知△ABC中,AB=a,AC=b,当a· b<0, a· b=0时, △ABC各是什么样的图形? 2、已知| a |=3,| b |=4,且a与b的夹角θ=1500,求a · b, ( a + b )2,| a + b | 3、设a是非零向量,且b ≠ c,求证:a · b=a· c的充要 条件是a⊥(b - c) 4、若b =(1,1)且a · b =0,(a – b)2=3,求向量a的模 5、证明: (λ a )· b =λ(a · b )=a · (λb )

制作人:杨亚
? 江苏省宿豫中学

; http://www.juxing688.com/ 聚星娱乐 bgk162utb 钟思当时不免笑着揶揄她“小白白,没想到你居然也会有发奋图强的这一天啊,居然还是为了一个男生! ”

白荌苒赶紧捂紧她的嘴急的直瞪她“你小点声,被你爸妈听到我就完了! ”
钟思只得不住的点头表示自己的忠心才得已脱离她的魔爪,她深吸一口气“你这也忒重色轻友了吧,你居然为了一个男生想要灭我的口! ”又 悠悠然的调侃地叹一句“子非良友,不可深交也! ” 白荌苒居然急了起来“好思思,你快帮帮我吧,我可不想在大学的时候让他被别人抢了先去! ” 钟思敛起了佯装的正经冲她笑了笑“知道了、知道了,我能拿你这小女子有什么办法呢! ”

再回头想想,上学的时候也不是没有人跟她示好过,但都是被她一本正经的以学业为重的理由给婉拒了。
她难免会跟白荌苒诉苦“你说说、我老爹跟老娘都是怎么想的,真是想一出来一出,上学的时候总是期盼着我年年拿第一,要考一流的大学、 要做上乘的工作,这些我都做到了以后又开始给我出新的难题,简直都不让人消停了。” 白荌苒安慰她“别这样,我集美貌与智慧于一体的思思,就算是去相亲也会是花见花开、人见人爱那一挂的! ” 钟思被她逗笑“你也不带这样酸我的牙”未了又做哀叹“还是你好,高中的时候就知道给自己留一条后路,也不至于如我这般晚景凄凉! ”她 说的甚是哀怨,以至于白荌苒听到这话不禁笑到涕泪横流。 白荌苒抹了一把泪笑的不亦乐乎“我说大才女,你至于这样说自己么? ” 钟思幽幽叹道“我向来甚是有自知自明!” 她终于在年末之际,被父母硬逼上了相亲的桌上,她临行之前还不忘给白荌苒打上一通凄风苦雨的“从此、我将在相亲的路途中一去不复返了, 你且珍重! ”


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