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直线和圆的方程例题与练习 (4)


直线和圆单元测试题(4)
一、选择题 1.方程 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 0 表示的曲线是 (A)两个圆 (B)四条直线 (C)两条相交直线和一个圆
4 4 2 2

( ) (D) 两条平行直线和一个圆

2.把直线 y ?

3 2 2 x 绕原点按逆时针方向旋转,使它与圆 x ? y ? 2 3x ? 2 y ? 3 ? 0 相 3 切,则直线旋转的最小正角是( )
A.

? 3

B.

? 2

C.

2? 3

D.

5? 6
2 2

3.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x + =4 的内部,则 k 的范围是( A.-

)

1 1 <k<1 C.<k<1 D.-2<k<2 5 3 2 2 2 4.已知点 M(a,b) (ab≠0)是图 x ? y ? r 内一点,直线 g 是以 M 为中点的弦所
B.在直线,直线 l 的方程为 ax ? by ? r ? 0 ,则(
2

1 <k<-1 5



A. l // g ,且与圆相离 C. l // g ,且与圆相交

B. l ? g ,且与圆相切 D. l ? g ,且与圆相离

5.若直线 3x-4y+12=0 与两坐标轴交点为 A、B,则以线段 AB 为直径的圆的方程为( ) A.x2+y2+4x-3y-4=0 B.x2+y2-4x-3y-4=0 2 2 C.x +y -4x-3y=0 D.x2+y2+4x-3y=0 y 6、如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么 的最大值是 ( ) x 1 3 3 A、 B、 C、 D、 3 3 2 2 2 2 2 7、方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? 3a ? 0 表示的图形是半径为 r ( r ? 0 )的圆,则该圆圆 心在 ( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 8.直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 2ax ? 4 y ? a ? 12 ? 0 总有两个交点,则 a 应满足
2 2 2

(A) ? 3 ? a ? 7 (B) ? 6 ? a ? 4 (C) ? 7 ? a ? 3 (D) ? 21 ? a ? 19 2 2 9.圆(x-3) +(y+4) =2 关于直线 x+y=0 的对称圆的标准方程是( ) 2 2 2 2 A.(x+3) +(y-4) =2 B.(x-4) +(y+3) =2 2 2 2 C.(x+4) +(y-3)=2 D.(x-3) +(y-4) =2
2





10.若动点 P( x, y ) 在曲线 y ? 2 x ? 1 上移动,则 P 与点 Q(0, -1) 连线中点的轨迹方程为 A. y ? 2 x 二、填空题 11、过点 M(0,4) 、被圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 截得的线段长为 2 3 的直线方程为
2

B. y ? 4 x

2

C. y ? 6 x

2

D. y ? 8 x

2





1

12.与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是
2 2 2 2

.

13 . 圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 与 y 轴 切 于 原 点 , 则 D 、 E 、 F 应 满 足 的 条 件 是 __________________. 2 2 2 14.若集合 A={(x、y)|y=-|x|-2},B={(x,y)|(x-a) +y =a }满足 A∩B= ? ,则实数 a 的取值 范围是 三、解答题 15.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线 m 所在直线与圆 2 2 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 l 与 m 所在直线方程. .

16.设 P 是圆 C:( x ? 5) ? ( y ? 5) ? r (r ? 0 上的动点,它关于点 A(5,0)的对称点为 Q ,
2 2 2

0 把 P 点绕原点依逆时针旋转 90 到 S 点,求 SQ 的最值.

17、设直线 3x+y+m=0 与圆 x2+y2+x-2y=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点, 若 OP ? OQ,求 m 的值。

2

18.已知直角坐标平面内点 Q(2,0),圆 C:x +y =1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于 常数λ (λ >0),求动点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

2

2

19、已知过两定点的一个交点 O 的动直线与两圆分别交于点 A、B,求线段 AB 中点 P 的轨迹 方程。

20.已知圆 C:(x+4) +y =4 和点 A(-2 3 ,0),圆 D 的圆心在 y 轴上移动,且恒与圆 C 外切,设 圆 D 与 y 轴交于点 M、N,求证:∠MAN 为定值.

2

2

3

21(选做) .已知圆 O: x ? y ? 1 和抛物线 y ? x ? 2 上三个不同的点 A、B、C,如果直线
2 2 2

AB 和 AC 都与圆 O 相切,求证:直线 BC 也与圆 O 相切.

4

参考答案
5x ? 6 y ? 9 ? 0 三、17.易求得 AC 的方程为 5x ? 6 y ? 9 ? 0 ,由 ? 解得 C 点坐标(-3,4) ? ?3 x ? 7 y ? 19 ? 0
6 x ? 5 y1 ? 15 ? 0 设 B( x1 , y1 ), 则? 1 解得 B(5,3)……10 分 由 B、C 两点坐标求得 BC 的方 ? ?3 x1 ? 7 y1 ? 36 ? 0

程为 x ? 8 y ? 29 ? 0 18.设所求圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0), 则 (a ? 1) 2 ? b 2 ? r ? 1 ①
| a ? 3b | ? r ③……6 分 2

b? 3 ? ? 3② a ?3

解①②③得 a ? 4, b ? 0, r ? 2或a ? 0, b ? ?4 3, r ? 6 .

故所求圆的方程为 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4或x 2 ? ( y ? 4 3 ) 2 ? 36 19.l 的方程为:3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0 M 的方程为 3x-4y-3=0 或 4x-3y+3=0

20.P(

12 18 , ); 21.60° 13 13

23 . 设 A (a, a 2 ? 2) , B (b, b 2 ? 2) , C (c, c 2 ? 2) , 则 直 线 AB 、 AC 、 BC 的 方 程 分 别 为 (a ? b) x ? y ? ab ? 2 ? 0 (a ? c) x ? y ? ac ? 2 ? 0, (b ? c) x ? y ? bc ? 2 ? 0 ……3 分,由于 AB 是圆 O 的切线, 则
| ab ? 2 | ( a ? b) ? 1
2

整理得 (a 2 ? 1)b 2 ? 2ab ? 3 ? a 2 ? 0 , 同理 (a 2 ? 1)c 2 ? 2ac ? 3 ? a 2 ? 0 ? 1,

2 3 ∴b、c 是方程 (a 2 ? 1) x 2 ? 2ax ? 3 ? a 2 ? 0 的两根, b ? c ? 2a 2 , bc ? a ? 2 ……10 分,于是圆 1? a 1? a a2 ? 3 | ?2| 心 O 到直线 BC 的距离 d ? | bc ? 2 | ? 1 ? a 2 ? 1 ,故 BC 也与圆 O 相切 20.M 的轨迹方 2 2 (b ? c) ? 1 4a ?1 (1 ? a 2 ) 2

程为(λ -1)(x +y )-4λ x+(1+4x )=0, 当λ =1 时,方程为直线 x=

2

2

2

2

2

5 . 4

当λ ≠1 时,方程为(x-

2?2 2 2 1 ? 3?2 ) +y = 2 它表示圆, (? ? 1) 2 ?2 ? 1

2?2 1 ? 3?2 该圆圆心坐标为( 2 ,0)半径为 ? ?1 ?2 ? 1
21、 如图,以 O 为原点,建立平面直角坐标系 因为两定圆均过原点 O,故可设其方程分别 为:x2+y2-2ax-2by=0 ①

5

x2+y2-2cx-2dy=0 ② 当动直线斜率存在时,设其方程为 y=kx ③ 将方程③分别与方程①、②联立,可得

y

xA ?

2(a ? bk ) 1? k 2 2(c ? dk ) xB ? 1? k 2
O

设线段 AB 的中点为 P(x,y) ,则

P

A x

x ? x B (a ? c) ? (b ? d )k x? A ? 2 1? k 2
∵点 P 在直线 y=kx 上



B

y ∴将 k ? 代入④,消去 k,得: x ? x

(a ? c) ? (b ? d ) y 1 ? ( )2 x

y x

整理得:x2+y2-(a+c)x-(b+d)y=0 ⑤ 当动直线斜率不存在时,其方程为:x=0,分别代入①、②可得 A(0,2b) ,B(0,2d) 则 AB 的中点 P 为(0,b+d),将此代入⑤式,仍成立。 ∴所求动点 P 的轨迹方程为 x2+y2-(a+c)x-(b+d)y=0 22、解:设直线 2x+3y-12 = 0 与两坐标轴交于 A,B 两点, 则 A(0,4) ,B(6,0) ,设分点 C,D,设 ?COD ? ? 为 角。

所求

6 ? ? xc ? 1 ? 2 ? 2 BC 8 ∵ ,∴C(2, ). ? 2 ,∴ ? 0 ? 4? 2 8 CA 3 ? yc ? ? 1? 2 3 ? 0 ? 2?6 ? ? x0 ? 1 ? 2 ? 4 AD 4 4 1 又 ,∴D(4, ),∴ k OC ? , k OD ? . ? 2 ,∴ ? 4 4 DB 3 3 3 ? y0 ? ? 1? 2 3 ? 4 1 ? k OC ? k OD 9 9 ∴ tg? ?| |? 3 3 ? ,∴? ? arctg . 4 1 13 1 ? k OC k OD 13 1? ? 3 3
y

C

M

P

N x

6

O

A


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