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北京市房山区2012届高三第一次模拟考试数学(理)试题


北京市房山区 2012 年高三第一次模拟试题 高三数学(理科)
考 生 须 知 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间为 120 分钟 。 2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置,在试卷上作答无效。 3. 考试结束后,将答题卡交回,试卷按学校要求自己保存好。

第I卷

/>选择题(共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直 接涂在答题卡上。 1.已知集合 M ? ?a, 0? , N ? x 2 x ? 5 x ? 0, x ? Z , 如果M ? N ? ?, 则a等于
2

?

?





(A) 1

(B) 2

(C) 1或2

(D)

5 2
( )

2.如果 a ? (1, k ) , b ? (k , 4), 那么“ a ∥ b ”是“ k ? ?2 ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?

?

?

3.如图, PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PO 交圆 O 于 B, C 两点, PA ? 3, PB ? 1,则 ?ABC =( (A) 70 (B) 60 (C) 45
?

)

?
? ?

(D) 30

4.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) .若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 则点 P 的极坐标可以是 (A) (2, ? ) 3 ( (B) (2, )

?

4? ) 3

(C) (1, ? ) 3

?

(D) (2, ?

4? ) 3

5.执行如图所示的程序框图,则输出的 n 的值为 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
否 是





6.已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 ? ,则对任意 x1 , x2 ? R ,若 0 ? x1 ? x2 ,下列不等式成立的是( ? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 ?
(B) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (D) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

)

(A) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (C) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

7.直线 y ? kx ? 3 与圆 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 4 相交于 M , N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是(
2 2

)

(A) ( ??, ?

12 ) 5

(B) ( ??, ?

12 ] 5

(C) ( ??,

12 ) 5

(D) ( ??,

12 ] 5

8.如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A , D 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上移动,则 OB ? OC 的最大 值是 (A) 2 (B) 1 ? 2 (C) ? (D)4 ( )

第 II 卷 非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卡上的指定位置。 9. i 是虚数单位,则

i ? __. 1? i

10. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 .

11.已知函数 f ?x ? ? sin ??x ? ? ? ( ? >0, 0 ? ? ? ? )的图象如图所示,则 ? ? __, ? =__.

12.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连 续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有 种. 13.设 f (x) 是定义在 R 上不为零的函数,对任意 x, y ? R ,都有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ,若

a1 ?

1 , a n ? f (n)( n ? N * ) ,则数列 {an } 的前 n 项和的取值范围是 2

.

14. F 是 抛 物 线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 的 焦 点 , 过 焦 点 F 且 倾 斜 角 为 ? 的 直 线 交 抛 物 线 于 A, B 两 点 , 设

a AF ? a, BF ? b ,则:①若 ? ? 60? 且 a ? b ,则 的值为 ______ ;② a ? b ? ______ (用 p 和 ? 表示). b
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角 A ,B ,C 所对的边分别是 a , b ,c ,tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B , a ? 2,

c ? 19 .
(Ⅰ)求 tan( A ? B) 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

16.(本小题共 13 分) 今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者,学生的名额分配如下: 高一年级 10 人 高二年级 6人 高三年级 4人

(I)若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传,求他们中恰好有 1 人是高一年级学生的概率; (II)若将 4 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相互独立 的) ,记安排到高一年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 17.(本小题共 14 分)

在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,BC ? CC1 ? AB =2 , AB ? BC .点 M , N 分别是 CC1 , B1C 的中点,G 是棱

AB 上的动点.
(I)求证: B1C ? 平面 BNG ; (II)若 CG //平面 AB1 M ,试确定 G 点的位置,并给出证明; (III)求二面角 M ? AB1 ? B 的余弦值.

18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln( ? x) ? mx . 1 (I)当 m ? 1 时,求函数 f (x) 的单调递减区间; (II)求函数 f (x) 的极值;
2 (III)若函数 f ( x ) 在区间 ? 0, e ? 1? 上恰有两个零点,求 m 的取值范围. ? ?

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 A ? 0, ?1? ,离心率为 (I)求椭圆 G 的方程; (II)设直线 y ? kx ? m 与椭圆相交于不同的两点 M , N .当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

6 . 3

20. (本小题共 13 分) 在直角坐标平面上有一点列 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )?, Pn ( xn , yn )? ,对一切正整数 n ,点 Pn 位于函数 1

y ? 3x ?

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项, ? 1 为公差的等差数列 ?xn ? . 4 2 (I)求点 Pn 的坐标;
(II)设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?,中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn ,且

过点 Dn (0, n 2 ? 1) ,记与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 k n ,求: 是 S ? T 中的最大数, ? 265 ? a10 ? ?125,求 ?an ? 的通项公式.

(III)设 S ? x | x ? 2xn , n ? N , T ? y | y ? 4 yn , n ? N ,等差数列 ?an ? 的任一项 an ? S ? T ,其中 a1
* *

?

?

?

?

1 1 1 ; ? ??? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n

北京市房山区 2012 高三第一次模拟试题参考答案
高三数学(理科)
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 A 5 C 6 D 7 B 8 A

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9.

1 1 ? i; 2 2

10.

2 ; 3

11.

8 9 , ?; 5 10

12. 120;

13. ? ,1? ; ?2 ?

?1 ?

14. ① 3 ;② AB ?

2p 2 p tan2 ? ? 1 或 sin 2 ? tan2 ?

?

?

三、解答题(写出必要的文字说明,计算或证明过程。共 80 分) 15. (本小题共 13 分) 解: (I)解? tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B

? 3(1 ? tan A tan B)
? tan( A ? B) ? tan A ? tan B ? 3 1 ? tan A tan B
????????5 分 ????????7 分

(II)由(I)知 A ? B ? 60? ,? C ? 120?

? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
∴ 19 ? 4 ? b ? 2 ? 2 ? b? ?
2

? 1? ? ? 2?
????????10 分

∴b ? 3 ∴ S ?ABC ?

1 1 3 absin C ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 3 3 2
????????13 分

?

16. (本小题共 13 分) 解: (I)设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A ,则

P? A? ?

1 2 C10 C10 15 ? 3 38 C20

答:若从选派的学生中任选 3 人进行文明交通宣传活动,他们中恰好有 1 人是高一年级学生的概率为

15 . 38

?????????4 分

(II)解法 1: ? 的所有取值为 0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为 以
0?1? P?? ? 0? ? C4 ? ?

1 .所 3

?????????6 分

16 ? 2? ? ? ? ; 81 ? 3? ? 3?
2 2

0

4

1? 1 ? P?? ? 1? ? C4 ? ? ? 3?

1

32 ? 2? ; ? ? ? 81 ? 3?
1

3

24 8 8 ?1? ? 2? 3? 1? ? 2 ? P?? ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? ; P?? ? 3? ? C4 ? ? ? ? ? ; 81 27 ? 3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 81
2 4

3

1 ?1? ? 2? P?? ? 4? ? C ? ? ? ? ? . 81 ? 3? ? 3?
4 4

4

0

?????????11 分

随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81
?????????12 分

所以 E? ? 0 ?

16 32 24 8 1 4 ? 1? ? 2? ? 3 ? ? 4 ? ? ????????13 分 81 81 81 81 81 3

解法 2:由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为

1 . ???????5 分 3 1 1 则随机变量 ? 服从参数为 4, 的二项分布,即 ? ~ B(4, ) .?????7 分 3 3

随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81 1 4 所以 E? ? np ? 4 ? ? 3 3
17. (本小题共 14 分)

32 81

8 27

8 81

1 81
???????13 分

(I) 证明:∵在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? CC1 ,点 N 是 B1C 的中点, ∴ BN ? B1C ??????????1 分

AB ? BC , AB ? BB1 , BB1 ? BC ? B
∴ AB ⊥平面 B1 BCC1 ?????????2 分

B1C ? 平面 B1 BCC1
∴ B1C ? AB ,即 B1C ? GB ???????3 分 又 BN ? BG ? B ∴ B1C ? 平面 BNG ?????????????4 分

(II)当 G 是棱 AB 的中点时, CG //平面 AB1 M .???????????5 分 证明如下: 连结 AB1 ,取 AB1 的中点 H,连接 HG, HM , GC , 则 HG 为 ?AB1 B 的中位线 ∴ GH ∥ BB1 , GH ?

1 BB1 ???????6 分 2

∵由已知条件, B1 BCC1 为正方形 ∴ CC1 ∥ BB1 , CC1 ? BB1 ∵ M 为 CC1 的中点,

1 CC1 2 ∴ MC ∥ GH ,且 MC ? GH ∴四边形 HGCM 为平行四边形 ∴ GC ∥ HM
∴ CM ? 又 ∵ GC ? 平面AB1 M , HM ? 平面AB1 M

????????7 分

????????8 分 ????????9 分

∴ CG //平面 AB1 M

(III) ∵ 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 且 AB ? BC 依题意,如图:以 B1 为原点建立空间直角坐标系 B1 ? xyz ,????????10分

? B1 (0,0,0) , B(0, 2, 0) , M (2,1,0) , A(0, 2, 2) , C1 (2,0,0)
则 B1 A ? (0, 2, 2) , B1 M ? (2,1,0) 设平面 B1 AM 的法向量 n ? ( x, y, z) ,

????

?

? ???? ? n ? B1 A ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 ? 则 ? ? ????? ,即 ? , ? 2x ? y ? 0 ?n ? B1M ? 0 ?

令 x ? 1 ,有 n ? (1,?2,2) 又? 平面 B1 AB 的法向量为 B1C1 ? (2,0,0) ,

????????12分

???? ?

???? ? ? ???? ? ? B1C1 ? n 1 ? cos ? B1C1, n ? = ???? ? = , ? B1C1 ? n 3
设二面角 M ? AB1 ? B 的平面角为 ? ,且 ? 为锐角

????????13 分

???? ? ? 1 ? cos ? ? ? cos B1C1 , n ? . 3
18. (本小题共 13 分) 解: (I)依题意,函数 f ( x ) 的定义域为 ?? 1,??? , 当 m ? 1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,

????????14 分

? f ?( x) ?

1 ?1 1? x 1 ?x ? 1 ? 0 ,即 ?0 由 f ?( x) ? 0 得 1? x 1? x 解得 x ? 0 或 x ? ?1 , 又? x ? ?1 ,? x ? 0

????????2 分

? f ( x) 的单调递减区间为 (0, ??) .
(II) f ?( x) ?

????????4 分

1 ? m , ( x ? ?1) 1? x

(1) m ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立

f (x) 在 (?1, ? ?) 上单调递增,无极值.
(2) m ? 0 时,由于 所以 f (x) 在 ? ? 1,

????????6 分

1 ? 1 ? ?1 m

? ?

1 ? ?1 ? ? 1? 上单调递增,在 ? ? 1, ? ? ? 上单调递减, m ? ?m ?
1 ? 1) ? m ? ln m ? 1 . m
????????9 分

从而 f ( x)极大值 ? f (

(III)由(II)问显然可知,
2 当 m ? 0 时, f ( x ) 在区间 ? 0, e ? 1? 上为增函数, ? ?

? 在区间 ?0, e 2 ? 1? 不可能恰有两个零点. ? ?
当 m ? 0 时,由(II)问知 f ( x)极大值 = f (

????????10 分

1 ? 1) , m

又 f (0) ? 0 ,? 0 为 f ( x ) 的一个零点.

????????11 分

? f (e2 ? 1) ? 0 ? ? 若 f ( x) 在 ?0, e 2 ? 1? 恰有两个零点,只需 ? 1 ? ? 2 ?0 ? ? 1 ? e ? 1 m ? ?2 ? m(e2 ? 1) ? 0 2 ? ? 2 ? m ?1 即? 1 e ?1 ? m ?1 ? 2 ? e
(注明:如有其它解法,酌情给分)

????????13 分

19. (本小题共 14 分) 解: (I)依题意可设椭圆方程为 故

c x2 6 ? y 2 ? 1 ,则离心率为 e ? ? 2 a 3 a

c2 2 ? ,而 b 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 3 , ????????4 分 2 3 a x2 ? y2 ? 1 . 故所求椭圆的方程为 ????????5 分 3 (II)设 P ? xP ,P ?、M ? xM ,M ?、N ? xN ,N ? ,P 为弦 MN 的中点, y y y

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 得 (3k ? 1) x ? 6mkx? 3(m ? 1) ? 0 , ? y2 ? 1 ? ?3 ? 直线与椭圆相交, 2 ?? ? ? 6mk ? ? 4 ? 3k 2 ? 1? ? 3 ? m2 ? 1? ? 0 ? m 2 ? 3k 2 ? 1 ,①
xM ? x N m 3mk ?? 2 ,从而 yP ? kxP ? m ? 2 3k ? 1 , 2 3k ? 1 (1)当 k ? 0 时 y ?1 m ? 3k 2 ? 1 ( m ? 0 不满足题目条件) ? k AP ? P ?? xP 3mk ? xP ?
∵ AM ? AN ,? AP ? MN ,则

????7 分

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ,即 2m ? 3k 2 ? 1 , ② ??????????9 分 3m k k 2 把② 代入① m ? 2m ,解得 0 ? m ? 2 , 得 ??????????10 分 2m ? 1 1 1 2 ? 0 ,解得 m ? .故 ? m ? 2 由② k ? 得 ?????????11 分 3 2 2 (2)当 k ? 0 时 ∵直线 y ? m 是平行于 x 轴的一条直线, ∴ ?1 ? m ? 1 ??????????13 分 综上,求得 m 的取值范围是 ? 1 ? m ? 2 . ??????????14 分 ?
20. (本小题共 13 分) 解: (I) x n ? ?

5 3 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 2 2

??????????2 分

? yn ? 3 ? xn ?

13 5 3 5 ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) ??????????3 分 4 4 2 4 (II)? cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .? 设 cn 的方程为: 2n ? 3 2 12 n ? 5 y ? a( x ? ) ? , ??????????5 分 2 4 把 Dn (0, n 2 ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,

??????????7 分 ? cn 的方程为: y ? x 2 ? (2n ? 3) x ? n 2 ? 1 . y ? ? 2 x ? 2n ? 3 当 x ? 0 时, k n ? 2n ? 3 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) k n?1k n (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? ??? 7 9 2n ? 1 2n ? 3 k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 2 5 7 1 1 1 1 1 )? ? = ( ? ??????????9 分 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6 (III) S ? {x | x ? ?(2n ? 3), n ? N , n ? 1} , T ? { y | y ? ?(12n ? 5), n ? N , n ? 1} ? { y | y ? ?2(6n ? 1) ? 3, n ? N , n ? 1} ? S ? T ? T , T 中最大数 a1 ? ?17 . ??????????10 分 设 {an } 公差为 d ,则 a10 ? ?17 ? 9d ? (?265 ?125 ,由此得 , ) 248 ?????????11 分 ? ? d ? ?12, 又 ? an ? T ? d ? ?12m(m ? N * ), 9 ?????????13 分 ? d ? ?24,? an ? 7 ? 24n(n ? N * ).


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