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3.1.2用二分法求方程的近似解教案(人教A版必修1)


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用二分法求方程的近似解
一、教学内容分析
本节选自新人教A版必修1第三章第一节的第二课时, 是利用前一节课中的 函数的零点和方程的根的关系来才解方程的根,而如何求得函数的零点,就是本 节课的主要内容。 这里要求学生懂得二分法的求解的过程,理解二分法求解的原 理,更重要的是,有了计算机这种高科技产品,使得复杂的计算变成了简单,使 得这种近似的计算方法有了更广泛的应用空间。为必修 3 算法提供了技术支持。 同时让学生对函数与方程的思想, 数形结合思想以及逼近的数学思想有了进一步 的认识。

二、学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础,对函数的零点具备基本的认识;而通过生活中 的案例来接触二分的思想,使二分法不要变化抽象,能够激发学生的学习兴趣, 使学生明白数学就在我身边, 数学无处不在的。 学生也能够很容易理解这种方法。 对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难.

三、教学目标
通过具体实例理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方 法, 从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用;能借助 计算器用二分法求方程的近似解,让学生能够初步了解逼近思想;体会数学逼近 过程,感受精确与近似的相对统一;通过具体实例的探究,归纳概括所发现的结 论或规律,体会从具体到一般的认知过程.

四、教学重点和难点
1.教学重点:用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函数零点与方 程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识. 2.教学难点:方程近似解所在起始区间的确定,近似解与精确度的关系。

五、教学过程设计
(一)创设情境,提出问题 体会一分为二的“逼近”思想 问题 1:在班级举办的新年晚会上,有一支有 100 个小彩灯组成的串联彩灯 电路突然不亮了,知道只有一个灯泡烧毁,如何迅速找出烧掉的灯炮并换掉,让 欢乐的气氛得以继续? 这个问题会让学生有身临其境的感觉,确实,这个欢快的场面,出现了这个 大杀风景的事,是有点不爽,越快找出烧毁的灯炮越好。 [学情预设] 学生独立思考,可能出现的以下解决方法:
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思路 1:用万用表按顺序一个一个灯泡去测试.

思路 2:通过先找到中间的灯泡,测试两次,这样就剩下 50 个灯泡,以此 类推不用几次即可找出烧毁的灯泡。 老师从思路 2 入手,引导学生解决问题: 如图,首先找到中间灯炮的接点 A51.用万用表测量 A1 与 A51 之间的电阻, 如果指针不动,说明电阻无穷大,烧毁的灯光就在 A1 与 A51 之间,否则烧毁的 灯光就在 A52 与 A101 之间, 若是在 A1 至 A51 之间, 再测量 A1 至 A26 之间和 A26 至 A51 之间,找出烧毁灯泡所在的电路段,以此类推.每查一次,可以把待查的 线路长度缩减一半,如此查下去,不用几次,就可以烧毁的灯光. 接下来教师现场演示测量过程. 在一条线段上找某个特定点, 可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的 范围(即二分法思想) . [设计意图] 从实际问题入手,现场演示用二分法思想查找烧毁的灯泡,通 过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现实生 活,并在现实生活中广泛应用. (二)师生探究,构建新知 问题 2:现在我把烧毁的灯泡比作函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点,请同学们 先猜想它的零点大概是什么? 1.教师引导学生计算 f (2) , f (3) 的值,以及 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在(2,3)是 否有定义。 计算结果: f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在(2,3)是连续函数,而且 f (2) <0, f (3) > 0. 教师演示:用毛线比作函数曲线,因为 f (2) <0, f (3) >0.所以横坐标为 2 的点在 x 轴下方,横从标为 3 的点在 x 轴上方,将毛线的两端分别固定在 x 轴的 上方或下方,无论毛线如何放置,始终与 x 轴交于 2 至 3 之间 结论:实际上在闭区间上的连续函数,如果两个端点的函数值是异号的,那 么函数图象就一定与 x 轴相交,即方程 f ( x) ? 0 在区间内至少有一个解(即上节 课的函数零点存在性定理,为下面的学习提供理论基础) .引导学生从“数”和 “形”两个角度去体会函数零点的意义,掌握常见函数零点的求法,明确二分法 的适用范围.也就是 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间(2,3)内有零点。

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2.我们已经知道,函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间(2,3)内有零点,且 f (2) <0, f (3) >0.进一步的问题是,如何找出这个零点? 合作探究:学生先按四人小组探究.(倡导学生积极交流、勇于探索的学习 方式,有助于发挥学生学习的主动性) 学生的结论:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,经过多次以后,我们可 以得到零点. 教师问:要经过多少次缩小范围呢? 学生:因为我们这节课的课题是求近似解,近似解有精确度问题,所以只要 指定精确度,就可以解决这个问题。 师问:那如何缩小范围呢? 这个问题学生可能有两种回答: 1.通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。 2.通过“取三等分点或四等分点”等方法逐步缩小零点所在的范围,因为他 看到了找烧毁灯泡的过程中,中间点并不中间。 教师总结: 很好, 一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下,可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三 等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零 点所在范围的前提下, “取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更 简便(便于实现必修 3 中的算法设计).因此,为了方便,下面通过“取中点” 的方法逐步缩小零点所在的范围. 引导学生分析理解求区间 ( a, b) 的中点的方法 x ?
a?b . 2

合作探究: (学生 4 人一组互相配合,事先确定好精确度,一人按计算器, 一人记录过程. 1 人确定每次计算得到的零点所在的区间,最后一人监督计算 另 结果是否符合要求,即区间的长度是否<=精确度,若是即得到近似值。 ) 步骤一:取区间(2,3)的中点 2.5,用计算器算得 f (2.5) ? ?0.084 ? 0 . 由 f (3) >0,得知 f (2.5) ? f (3) ? 0 ,所以零点在区间(2.5,3)内。 步骤二:取区间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得 f (2.75) ? 0.512 ? 0 .因 为 f (2.5) ? f (2.75) ? 0 ,所以零点在区间(2.5,2.75)内. 结论:由于 (2,3) ? (2.5,3) ? (2.5, 2.75) , 所以零点所在的范围确实越来越小了. 如果重复上述步骤,在一定精确度下,我们可以在有限次重复上述步骤后,将所 得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值.特别地,可以将区间内的 任一点作为函数零点的近似值.
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引导学生利用计算器边操作边认识,通过小组合作探究,得出教科书上的表 3—2, 让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质,培养学生合作学习的良好 品质. [学情预设]学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与 x 轴的交点的横坐标, 故它的零点在区间 (2, 内. 3) 进一步利用函数图象通过 “取 中点” 逐步缩小零点的范围, 利用计算器通过将自变量改变步长减少很快得出表 3—2,找出零点的大概位置. [设计意图]从问题 1 到问题 2,体现了数学转化的思想方法,问题 2 有着承 上启下的作用,使学生更深刻地理解二分法的思想,同时也突出了二分法的特 点.通过问题 2 让学生掌握常见函数零点的求法,明确二分法的适用范围. 3.问题 3:对于问题 2,将区间改为(1,4)是否也可以用以上方法求近似解 呢?若把函数改为其它函数呢? 结论:只要满足以下几条:1.闭区间[a,b]连续,2。端点的函数值异号,就 可以用以述解法。 给出定义:对于在区间 [ a , b ] 上连续不断且满足 f (a ) · f (b) ? 0 的函数
y ? f (x) , 通过不断地把函数 f (x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端

点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精确度 ? ,用二分法求函数 f (x) 的零点近似值的步骤如下: 1、确定区间 [ a , b ] ,验证 f (a ) · f (b) ? 0 ,给定精确度 ? ; 2、求区间 (a , b) 的中点 c ; 3、计算 f (c) : (1)若 f (c) = 0 ,则 c 就是函数的零点; (2)若 f (a ) · f (c) < 0 ,则令 b = c (此时零点 x0 ? (a, c) ) ; (3)若 f (c) · f (b) < 0 ,则令 a = c (此时零点 x0 ? (c, b) ) ; 4、判断是否达到精确度 ? : 即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2—4. 利用二分法求方程近似解的过程,可以简约地用下图表示.
初 始 区 间 取区间中点 中点函数值为零 是 否 取新区间 满足精确度
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是 结束



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[ 学 情 预 设 ] 学 生 思考 问 题 3 举 出 二 次 函 数 外 , 对 照 步 骤 观 察 函 数
f ( x) ? ln x ? 2x ? 6 的图象去体会二分法的思想. 结合二次函数图象和标有 a 、b 、

x0 的数轴理解二分法的算法思想与计算原理.
[设计意图]以问题研讨的形式替代教师的讲解,分化难点、解决重点,给学 生 “数学创造” 的体验, 有利与学生对知识的掌握, 并强化对二分法原理的理解. 学 生在讨论、合作中解决问题,充分体会成功的愉悦.让学生归纳一般步骤有利于 提高学生自主学习的能力, 让学生尝试由特殊到一般的思维方法.利用二分法求 方程近似解的过程,用图表示,既简约又直观,同时能让学生初步体会算法的思 想. (三)例题剖析,巩固新知 例: 借助计算器或计算机用二分法求方程 2 x ? 3x ? 7 的近似解 (精确度 0.1) . 两人一组,一人用计算器求值,一人记录结果;学生讲解缩小区间的方法和 过程,教师点评. 本例鼓励学生自行尝试, 让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐. 此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程, 进一步巩固二分法的思想 方法. 小结用二分法求方程零的步骤: 1 构造对应的函数,强调一边应化为零,否则求出结果就不是方程的根。 2.求出函数的零点,该零点即是原方程的根。 [设计意图]及时巩固二分法的解题步骤,让学生体会二分法是求方程近似解 的有效方法.解题过程中也起到了温故转化思想的作用.同时强化了方程的根与 函数零点之间的关系。 思考:是否所有的零点都可以用二分法来解呢? 学生讨论,教师总结用二分法求解的条件——异号,连续。 (四)尝试练习,检验成果
y

。 (A)

o
(D)

x

(B)

(C)

1、下列函数中能用二分法求零点的是(

).

[设计意图]让学生明确二分法的适用范围.
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2、用二分法求图象是连续不断的函数 y ? f (x) 在 x ∈(1,2)内零点近似值的过程 中得到 f (1) ? 0 , f (1.5) ? 0 , f (1.25) ? 0 ,则函数的零点落在区间( (A)(1,1.25) (B)(1.25,1.5) (C)(1.5,2) ).

(D) 不能确定

[设计意图]让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法. 3.借助计算器或计算机,用二分法求方程 x ? 3 ? lg x 在区间(2,3)内的近似解 (精确度 0.1). [设计意图] 进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解. (五)课堂小结,回顾反思 学生归纳,互相补充,老师总结: 1、理解二分法的定义和思想,用二分法可以求函数的零点近似值,但要保 证该函数在零点所在的区间内是连续不断,而且端点函数值要异号。 2、用二分法求方程的近似解的步骤. [设计意图]帮助学生梳理知识,形成完整的知识结构.同时让学生知道理解 二分法定义是关键,掌握二分法解题的步骤是前提,实际应用是深化. (六)课外作业 2.思考:如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了,那么怎么找出 这个破裂处,要不要把水泥板全部掀起? 板书设计 §3.1.2 用二分法求方程的近似解 1.二分法的定义 2.用二分法求函数的零点近似值的步骤 3.用二分法求方程的近似解的骤 4.用二分法求函数的零点的条件

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