2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程练习 理

2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第 3 讲 圆的方程 练习 理
基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、填空题 1.已知点 A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是________. 解析 AB 的中点坐标为(0，0)，

AB＝ [1－（－1）]2＋（－1－1）2＝2 2，
∴圆的方程为 x ＋y ＝2. 答案 x ＋y ＝2 2.圆(x－1) ＋(y－3) ＝1 关于直线 2x＋y＋5＝0 对称的圆的方程是________. 解析 圆心(1，3)关于直线 2x＋y＋5＝0 的对称点为(－7，－1)，∴圆的方程为(x＋7) ＋(y＋1) ＝1. 答案 (x＋7) ＋(y＋1) ＝1 3.已知点 A(－2，0)，B(0，2)，点 C 是圆 x ＋y －2x＝0 上任意一点，则△ABC 面积的最小 值是________. 解析 圆的标准方程为(x－1) ＋y ＝1. 直线 AB 的方程为 x－y＋2＝0， |1－0＋2| 3 2 圆心(1，0)到直线 AB 的距离 d＝ ＝ ， 2 2 3 2 则点 C 到直线 AB 的最短距离为 －1. 2 又 AB＝2 2， 1 ?3 2 ? ∴S△ABC 的最小值为 ×2 2×? －1?＝3－ 2. 2 ? 2 ? 答案 3－ 2 4.若圆心在 x 轴上，半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x＋2y＝0 相切，则圆 O 的方 程是________. 解析 设圆心为(a，0)(a<0)， |a＋2×0| 则 r＝ ＝ 5，解得 a＝－5， 2 2 1 ＋2 所以圆的方程为(x＋5) ＋y ＝5. 答案 (x＋5) ＋y ＝5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

5.已知点 M(1，0)是圆 C：x ＋y －4x－2y＝0 内的一点，那么过点 M 的最短弦所在直线的方 程是________. 1－0 解析 过点 M 的最短弦与 CM 垂直， 圆 C： x2＋y2－4x－2y＝0 的圆心为 C(2， 1)， ∵kCM＝ 2－1 ＝1，∴最短弦所在直线的方程为 y－0＝－(x－1)，即 x＋y－1＝0. 答案 x＋y－1＝0 6.(2015·全国Ⅱ卷改编)已知三点 A(1，0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC 外接圆的圆 心到原点的距离为________. 解析 由点 B(0， 3)，C(2， 3)，得线段 BC 的垂直平分线方程为 x＝1，① 由点 A(1，0)，B(0， 3)，得线段 AB 的垂直平分线方程为

2

2

y－

3 3? 1? ＝ ?x－ ?，② 2? 2 3? 3? ?，

? 2 联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为?1， ? 3
其到原点的距离为 答案 21 3

?

?2 2 1 ＋? ?3

2 21 3? ? ＝ 3 . ?

7.若圆 C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线 y＝1 相切，则圆 C 的方程是________. 3 2 解析 设圆心 C 坐标为(2，b)(b<0)，则|b|＋1＝ 4＋b .解得 b＝－ ，半径 r＝|b|＋1 2 2 5 ? 3? 25 2 ＝ ，故圆 C 的方程为：(x－2) ＋?y＋ ? ＝ . 2 4 ? 2? 2 ? 3? 25 2 答案 (x－2) ＋?y＋ ? ＝ 4 ? 2? 8.已知圆 C：x ＋y ＋kx＋2y＝－k ，当圆 C 的面积取最大值时，圆心 C 的坐标为________. 2 3 2 ? k? 2 解析 圆 C 的方程可化为?x＋ ? ＋(y＋1) ＝－ k ＋1.所以，当 k＝0 时圆 C 的面积最大. 4 ? 2? 答案 (0，－1) 二、解答题 9.一圆经过 A(4， 2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为 2，求此圆的方程. 解 设所求圆的方程为 x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0(D ＋E －4F>0). 令 y＝0，得 x ＋Dx＋F＝0，所以 x1＋x2＝－D. 令 x＝0，得 y ＋Ey＋F＝0，所以 y1＋y2＝－E. 由题意知－D－E＝2，即 D＋E＋2＝0.①
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

又因为圆过点 A，B，所以 16＋4＋4D＋2E＋F＝0.② 1＋9－D＋3E＋F＝0.③ 解①②③组成的方程组得 D＝－2，E＝0，F＝－12. 故所求圆的方程为 x ＋y －2x－12＝0. 10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长 为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程； (2)若 P 点到直线 y＝x 的距离为 解 2 ，求圆 P 的方程. 2
2 2

(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r.
2 2 2 2 2 2

由题设 y ＋2＝r ，x ＋3＝r ，从而 y ＋2＝x ＋3. 故 P 点的轨迹方程为 y －x ＝1. (2)设 P(x0，y0)，由已知得 |x0－y0| 2 ＝ . 2 2
2 2

?|x0－y0|＝1， ? 2 2 又 P 在双曲线 y －x ＝1 上，从而得? 2 2 ? ?y0－x0＝1.

由?

? ?x0－y0＝1， ?y0－x0＝1， ?
2 2

得?

? ?x0＝0， ?y0＝－1. ?

此时，圆 P 的半径 r＝ 3.

由?

? ?x0－y0＝－1， ? ?y －x ＝1，
2 0 2 0

得?
2

? ?x0＝0， ? ?y0＝1.

此时，圆 P 的半径 r＝ 3.
2 2

故圆 P 的方程为 x ＋(y－1) ＝3 或 x ＋(y＋1) ＝3. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2016·苏北四市调研)若直线 ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆 x ＋y －4x－2y－8 1 2 ＝0 的周长，则 ＋ 的最小值为________.
2 2

2

a b

解析 由题意知圆心 C(2，1)在直线 ax＋2by－2＝0 上， ∴2a＋2b－2＝0，整理得 a＋b＝1， 1 2 1 2 b 2a ∴ ＋ ＝( ＋ )(a＋b)＝3＋ ＋

a b

a b

a

b

≥3＋2

b 2a × ＝3＋2 2， a b b 2a ，即 b＝2－ 2，a＝ 2－1 时，等号成立. a b

当且仅当 ＝

1 2 ∴ ＋ 的最小值为 3＋2 2.

a b

3

答案 3＋2 2 12.已知圆心(a，b)(a＜0，b＜0)在直线 y＝2x＋1 上的圆，其圆心到 x 轴的距离恰好等于圆 的半径，在 y 轴上截得的弦长为 2 5，则圆的方程为________. 解析 由圆心到 x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与 x 轴相切，由题意得圆的半径 为|b|，则圆的方程为 (x－a) ＋(y－b) ＝b .由圆心在直线 y＝2x＋1 上， 得 b＝2a＋1 ①，由此圆在 y 轴上截得的弦长为 2 5， 2 a＝ ， ? 3 ?a＝－2， ? ? ②，由①②得? 或? (舍去).所以所求圆的方程为 ? 7 ?b＝－3 ? ?b＝3
2 2 2 2

得 b －a ＝5

2

2

(x＋2) ＋(y＋3) ＝9. 答案 (x＋2) ＋(y＋3) ＝9 13.(2016·泰州模拟)已知圆 C： (x－3) ＋(y－4) ＝1， 设点 P 是圆 C 上的动点.d＝PB ＋PA ， 其中 A(0，1)，B(0，－1)，则 d 的最大值为________. 解析 设 P(x0，y0)，d＝PB ＋PA ＝x0＋(y0＋1) ＋x0＋(y0－1) ＝2(x0＋y0)＋2.x0＋y0为圆 上任一点到原点距离的平方，∴(x0＋y0)max＝(5＋1) ，∴dmax＝74. 答案 74 14.求适合下列条件的圆的方程： (1)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－2)； (2)过三点 A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2). 解 (1) 法 一
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

设 圆 的 标 准 方 程 为 (x － a) ＋ (y － b) ＝ r ， 则 有
2 2

2

2

2

b＝－4a， ? ?（3－a） ＋（－2－b） ＝r ， 解得 a＝1，b＝－4，r＝2 ?|a＋b－1| ? ? 2 ＝r，
(x－1) ＋(y＋4) ＝8.
2 2

2.∴圆的方程为

法二 过切点且与 x＋y－1＝0 垂直的直线为 y＋2＝x－3，与 y＝－4x 联立可求得圆心为 (1，－4). ∴半径 r＝ （1－3） ＋（－4＋2） ＝2 2， ∴所求圆的方程为(x－1) ＋(y＋4) ＝8. (2) 法 一 设 圆 的 一 般 方 程 为 x ＋ y ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0(D ＋ E － 4F>0) ， 则
2 2 2 2 2 2 2 2

1＋144＋D＋12E＋F＝0， ? ? ?49＋100＋7D＋10E＋F＝0， ? ?81＋4－9D＋2E＋F＝0.
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解得 D＝－2，E＝－4，F＝－95. ∴所求圆的方程为 x ＋y －2x－4y－95＝0. 1 法二 由 A(1，12)，B(7，10)，得 AB 的中点坐标为(4，11)，kAB＝－ ，则 AB 的垂直平 3 分 线 方 程 为 3x － y － 1 ＝ 0. 同 理 得 AC 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 x ＋ y － 3 ＝ 0. 联 立
? ?3x－y－1＝0， ? ?x＝1， ? 得? 即圆心坐标为(1，2)， ?x＋y－3＝0， ?y＝2， ? ?
2 2

半径 r＝ （1－1） ＋（2－12） ＝10. ∴所求圆的方程为(x－1) ＋(y－2) ＝100.
2 2

2

2

5