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2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程练习 理


2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第 3 讲 圆的方程 练习 理
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.已知点 A(1,-1),B(-1,1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是________. 解析 AB 的中点坐标为(0,0),

AB= [1-(-1)]2+(-1-1)2=2 2,
∴圆的方程为 x +y =2. 答案 x +y =2 2.圆(x-1) +(y-3) =1 关于直线 2x+y+5=0 对称的圆的方程是________. 解析 圆心(1,3)关于直线 2x+y+5=0 的对称点为(-7,-1),∴圆的方程为(x+7) +(y+1) =1. 答案 (x+7) +(y+1) =1 3.已知点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x +y -2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的最小 值是________. 解析 圆的标准方程为(x-1) +y =1. 直线 AB 的方程为 x-y+2=0, |1-0+2| 3 2 圆心(1,0)到直线 AB 的距离 d= = , 2 2 3 2 则点 C 到直线 AB 的最短距离为 -1. 2 又 AB=2 2, 1 ?3 2 ? ∴S△ABC 的最小值为 ×2 2×? -1?=3- 2. 2 ? 2 ? 答案 3- 2 4.若圆心在 x 轴上,半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方 程是________. 解析 设圆心为(a,0)(a<0), |a+2×0| 则 r= = 5,解得 a=-5, 2 2 1 +2 所以圆的方程为(x+5) +y =5. 答案 (x+5) +y =5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

5.已知点 M(1,0)是圆 C:x +y -4x-2y=0 内的一点,那么过点 M 的最短弦所在直线的方 程是________. 1-0 解析 过点 M 的最短弦与 CM 垂直, 圆 C: x2+y2-4x-2y=0 的圆心为 C(2, 1), ∵kCM= 2-1 =1,∴最短弦所在直线的方程为 y-0=-(x-1),即 x+y-1=0. 答案 x+y-1=0 6.(2015·全国Ⅱ卷改编)已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则△ABC 外接圆的圆 心到原点的距离为________. 解析 由点 B(0, 3),C(2, 3),得线段 BC 的垂直平分线方程为 x=1,① 由点 A(1,0),B(0, 3),得线段 AB 的垂直平分线方程为

2

2

y-

3 3? 1? = ?x- ?,② 2? 2 3? 3? ?,

? 2 联立①②,解得△ABC 外接圆的圆心坐标为?1, ? 3
其到原点的距离为 答案 21 3

?

?2 2 1 +? ?3

2 21 3? ? = 3 . ?

7.若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是________. 3 2 解析 设圆心 C 坐标为(2,b)(b<0),则|b|+1= 4+b .解得 b=- ,半径 r=|b|+1 2 2 5 ? 3? 25 2 = ,故圆 C 的方程为:(x-2) +?y+ ? = . 2 4 ? 2? 2 ? 3? 25 2 答案 (x-2) +?y+ ? = 4 ? 2? 8.已知圆 C:x +y +kx+2y=-k ,当圆 C 的面积取最大值时,圆心 C 的坐标为________. 2 3 2 ? k? 2 解析 圆 C 的方程可化为?x+ ? +(y+1) =- k +1.所以,当 k=0 时圆 C 的面积最大. 4 ? 2? 答案 (0,-1) 二、解答题 9.一圆经过 A(4, 2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为 2,求此圆的方程. 解 设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0). 令 y=0,得 x +Dx+F=0,所以 x1+x2=-D. 令 x=0,得 y +Ey+F=0,所以 y1+y2=-E. 由题意知-D-E=2,即 D+E+2=0.①
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

又因为圆过点 A,B,所以 16+4+4D+2E+F=0.② 1+9-D+3E+F=0.③ 解①②③组成的方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为 x +y -2x-12=0. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长 为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 解 2 ,求圆 P 的方程. 2
2 2

(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.
2 2 2 2 2 2

由题设 y +2=r ,x +3=r ,从而 y +2=x +3. 故 P 点的轨迹方程为 y -x =1. (2)设 P(x0,y0),由已知得 |x0-y0| 2 = . 2 2
2 2

?|x0-y0|=1, ? 2 2 又 P 在双曲线 y -x =1 上,从而得? 2 2 ? ?y0-x0=1.

由?

? ?x0-y0=1, ?y0-x0=1, ?
2 2

得?

? ?x0=0, ?y0=-1. ?

此时,圆 P 的半径 r= 3.

由?

? ?x0-y0=-1, ? ?y -x =1,
2 0 2 0

得?
2

? ?x0=0, ? ?y0=1.

此时,圆 P 的半径 r= 3.
2 2

故圆 P 的方程为 x +(y-1) =3 或 x +(y+1) =3. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2016·苏北四市调研)若直线 ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆 x +y -4x-2y-8 1 2 =0 的周长,则 + 的最小值为________.
2 2

2

a b

解析 由题意知圆心 C(2,1)在直线 ax+2by-2=0 上, ∴2a+2b-2=0,整理得 a+b=1, 1 2 1 2 b 2a ∴ + =( + )(a+b)=3+ +

a b

a b

a

b

≥3+2

b 2a × =3+2 2, a b b 2a ,即 b=2- 2,a= 2-1 时,等号成立. a b

当且仅当 =

1 2 ∴ + 的最小值为 3+2 2.

a b

3

答案 3+2 2 12.已知圆心(a,b)(a<0,b<0)在直线 y=2x+1 上的圆,其圆心到 x 轴的距离恰好等于圆 的半径,在 y 轴上截得的弦长为 2 5,则圆的方程为________. 解析 由圆心到 x 轴的距离恰好等于圆的半径知,所求圆与 x 轴相切,由题意得圆的半径 为|b|,则圆的方程为 (x-a) +(y-b) =b .由圆心在直线 y=2x+1 上, 得 b=2a+1 ①,由此圆在 y 轴上截得的弦长为 2 5, 2 a= , ? 3 ?a=-2, ? ? ②,由①②得? 或? (舍去).所以所求圆的方程为 ? 7 ?b=-3 ? ?b=3
2 2 2 2

得 b -a =5

2

2

(x+2) +(y+3) =9. 答案 (x+2) +(y+3) =9 13.(2016·泰州模拟)已知圆 C: (x-3) +(y-4) =1, 设点 P 是圆 C 上的动点.d=PB +PA , 其中 A(0,1),B(0,-1),则 d 的最大值为________. 解析 设 P(x0,y0),d=PB +PA =x0+(y0+1) +x0+(y0-1) =2(x0+y0)+2.x0+y0为圆 上任一点到原点距离的平方,∴(x0+y0)max=(5+1) ,∴dmax=74. 答案 74 14.求适合下列条件的圆的方程: (1)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2); (2)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2). 解 (1) 法 一
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

设 圆 的 标 准 方 程 为 (x - a) + (y - b) = r , 则 有
2 2

2

2

2

b=-4a, ? ?(3-a) +(-2-b) =r , 解得 a=1,b=-4,r=2 ?|a+b-1| ? ? 2 =r,
(x-1) +(y+4) =8.
2 2

2.∴圆的方程为

法二 过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线为 y+2=x-3,与 y=-4x 联立可求得圆心为 (1,-4). ∴半径 r= (1-3) +(-4+2) =2 2, ∴所求圆的方程为(x-1) +(y+4) =8. (2) 法 一 设 圆 的 一 般 方 程 为 x + y + Dx + Ey + F = 0(D + E - 4F>0) , 则
2 2 2 2 2 2 2 2

1+144+D+12E+F=0, ? ? ?49+100+7D+10E+F=0, ? ?81+4-9D+2E+F=0.
4

解得 D=-2,E=-4,F=-95. ∴所求圆的方程为 x +y -2x-4y-95=0. 1 法二 由 A(1,12),B(7,10),得 AB 的中点坐标为(4,11),kAB=- ,则 AB 的垂直平 3 分 线 方 程 为 3x - y - 1 = 0. 同 理 得 AC 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 x + y - 3 = 0. 联 立
? ?3x-y-1=0, ? ?x=1, ? 得? 即圆心坐标为(1,2), ?x+y-3=0, ?y=2, ? ?
2 2

半径 r= (1-1) +(2-12) =10. ∴所求圆的方程为(x-1) +(y-2) =100.
2 2

2

2

5


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