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2013届高三数学理科限时训练题5


2013 届高三数学理科限时训练题(5)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.已知集合 A ? {x y ? ln x} ,集合 B ? {?2, ?1,1, 2} ,则 A ? B ? ( A. (0, ??) B. ??1, ?2? C. ?1, 2 ? )

D. {1, 2} )

2.在四边形 ABCD 中, AB ? DC , 且 | AB |?| BC | ,那么四边形 ABCD 为( A.平行四边形 B.菱形 C.长方形 D.正方形 )

3.在等差数列 {an } 中,若 a1 ? a5 ? a9 ?

?
4

,则 tan(a4 ? a6 ) ? (

A.

3 3

B. 3

C.1

D.-1

4.给定空间中的直线 l 及平面 ? ,条件“直线 l 与平面 ? 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 ? 垂直” 的( ) B.必要非充分条件. D.既非充分也非必要条件. )

A.充分非必要条件. C.充要条件.

5.如右图所示的程序框图,若输入 n=3,则输出结果是( A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

6.△ABC 中, c ? 3, b ? 1, ?B ? 30? ,则△ABC 的面积等于(



A.

3 2


B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4

7.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加迎新座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,不同的选法共 有(

A.140 种

B. 120 种

C.35 种

D.34 种

8.如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 上.过点 P 作垂直于平面 BB1 D1 D 的直线,与 正方体表面相交于 M,N .设 BP ? x , MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的图像大致是( D1 A1 D A M B1 P N B C1 y y y y )

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.为了了解某校高中学生的近视眼发病率,在该校学生中进行分层抽样调查,已知该校高一、高二、高三 分别有学生 800 名、 600 名、 500 名,若高三学生共抽取 25 名,则高一学生抽取的人数是 .

10.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a, b ? R, i 是虚数单位,则 a ? b ? __________. 11.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处切线的方程为__________. 12.在 ( x 2 ?

1 10 ) 的二项展开式中, x11 的系数是___________. 2x

13.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题:如果与一固定直线平行的直线被、甲、乙两 个封闭图形所截得线段的比为定值 k ,那么甲的面积是乙的面积的 k 倍,你可以从给出的简单图形① (甲:大矩形 ABCD ,乙:小矩形 EFCB ) 、②(甲:大直角三角形 ABC ,乙:小直角三角形 DBC ) 中体会这个原理,现在图③中的曲线分 l 别是 将 l 向右平移 A E 与 x ? y ? a ,运用上面的原理,图
2 2 2

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

y D 甲 乙 F 甲 乙 C B ① ② C O C ③ A D O x

③中椭圆的面积为



B

14.(几何证明选讲选做题)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AB=2,AC 和 AD 是⊙O 的两条弦,AC= 2 ,AD= 3 ,则∠CAD= . A 15.(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别是 ? ? cos ? 和 ? ? sin ? 的两 个圆的圆心距是 .

B

D (第 14 题图)

三、解答题:本大题共 2 小题,每小题 12 分) 16.(本题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 3, an ?1 ? 2an ? 1(n ? 1) (1)设 bn ? an ? 1(n ? 1, 2,3?) ,求证:数列 {bn } 是等比数列; (2)求数列 {an } 的通项公式 17.(本题满分 12 分) 如 图 , 平 面 PAD ⊥ 平 面 ABCD , ABCD 为 正 方 形 ,

?PAD ? 90o ,且 PA= AD,E 、 分别是线段 PA、CD 的中点. F
(1)求证: PA ? 平面 ABCD ; (2)求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值.

2011 届高三数学理科限时训练题(5) 答案
1. 【解析】A 为函数 y ? ln x 的定义域,于是 A= ? 0, ?? ? ,故 A ? B ? {1, 2} ,故选 D。 2. 【解析】 AB ? DC ? AB ? DC且AB ? DC ? 平行四边形 ABCD,又由于 AB ? BC ,故为菱形。 故选 B. 3. 【解析】 a1 ? a5 ? a9 ? 3a5 ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

?
4

? a5 ?

?
12

,故 tan(a4 ? a6 ) ? tan(2a5 ) ? tan

?
6

?

3 。故选 A。 3

4. 【解析】由于“直线 l 与平面 ? 垂直”与“直线 l 与平面 ? 内任意一条直线都垂直”互为充要条件,故 “直线 l 与平面 ? 垂直”可推出“直线 l 与平面 ? 内无数条直线都垂直” ,但反推不成立,故选 B。 5. 【解析】k=1 累加至 k=3,共执行循环体 3 次,故 S ? 1 累乘至 S ? 2 ? 8 ,故选 C.
3

6. 【解析】由正弦定理

3 b c 解得 sin C ? ,故 C ? 60? 或 120? ;当 C ? 60? 时, A ? 90? , ? 2 sin B sin C
1 3 bc ? ; 当 C ? 120? 时 , A ? 30? , △ABC 为 等 腰 △ , 2 2

△ABC 为 Rt△ , S? ABC ?

1 3 S? ABC ? bc sin A ? ,故选 D。 2 4
7. 【解析】由题意,可分为三种情况:1 男 3 女,2 男 2 女,3 男 1 女,其 选法分别为 C4C3 , C4 C3 , C4 C3 ,故共有 C4C3 ? C4 C3 ? C4 C3 ? 34 种选
1 3 2 2 3 1 1 3 2 2 3 1

D1

法,故选 D。 8. 【解析】取 AA1 中点 Q, CC1 中点 G, BD1 中点 P0 ,则过 MN 和 BD1 的 截面如图所示:由图可知,P 由 B 运动到 P0 过程中,y 随 x 的增大而增大; P 由 P0 运动到 D1 过程中,y 随 x 的增大而减小,故排除 A,C。而 P 由 B 运 动到 P0 过程中, Q M P0 P N G

B

BP BP x ? ? ? tan ?MBP 为定值,故 y 为关于 x 的 MP 1 MN y 2

一次函数,图像为线段;后半段亦同理可得,故选 B。 二.填空题(本大题每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题后的横线上) 9.40 10.3 11. y ?

1 x e

12.15

13. ? ab

14.

5? 12

15.

2 2

9. 【解析】设高一抽取 x 人,由分层抽样的等概率原则,

x 25 ,解得 x ? 40 。 ? 800 500

10. 【解析】由 (a ? 2i)i ? b ? i 得 2 ? ai ? b ? i ,故 a ? 1, b ? 2,? a ? b ? 3 11. 【解析】 y ? ln x ? y? ?

1 1 1 ? k ? 由点斜式得切线方程: y ? 1 ? ( x ? e) , e x e

整理得 y ?

1 x。 e 1 10 k k ) 的二项展开的通项为 C10 ( x 2 )10? k (2 x) ? k ,即 2? k C10 x 20?3k , 2x
?3 3

12. 【解析】 ( x 2 ?

令 20 ? 3k ? 11 ,得 k ? 3 ,故系数为 2 C10 ? 15 。 13. 【解析】由①②类比推理可知:

S 椭圆 S圆

?

b ,故 S a

椭圆

b b ? S圆 ? ? a 2 ? ab? ? a a

14. 【解析】连结 BC、BD,则∠ACB=∠ADB=90° ,Rt△ABC 中,

cos ?CAB ?

AC 2 ? ? ??CAB ? ; AB 2 4 AD 3 ? 5? ? ??CAB ? ;.∴∠CAD=∠CAB+∠DAB= . AB 2 6 12

Rt△ABD 中, cos ?DAB ?

15. 【解析】两圆的标准方程为 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

1 1 2 1 2 , x ? (y ? ) ? , 4 2 2
2 2 。

两圆心坐标为 ( , 0), (0, ) ,由两点间的距离公式可得圆心距为 16. (本题满分 12 分) 解: (1)由 an ?1 ? 2an ? 1 ,得 an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1), 即

1 2

1 2

an ?1 ? 1 ?2 an ? 1

??3 分

bn ? an ? 1 , bn?1 ? an?1 ? 1 故

bn ?1 ? 2 ?数列 {bn } 是等比数列 bn

??6 分

(2)由(1)知 {bn } 是 b1 ? 3 ? 1 ? 2 , q ? 2 的等比数列; 故 bn ? b1q
n ?1

??8 分 ??10 分

? 2 ? 2n ?1 ? 2n ? an ? 1
??12 分

? an ? 2n ? 1,

17. (本题满分 12 分) (1)证明:由于平面 PAD ⊥平面 ABCD ,且平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ???1 分 而 ?PAD ? 90 即 PA ? AD ,且 PA ? 平面 PAD
o

????2 分 ????4 分

由面面垂直的性质定理得: PA ? 平面 ABCD (2)解法一:取 BC 的中点 M,连结 EM、FM,则 FM//BD, ∠EFM(或其补角)就是异面直线 EF 与 BD 所成的角。 设 PA ? 2 ,则 AD ? DC ? CB ? BA ? 2 , ?6 分

1 AM ? AB 2 ? ( BC ) 2 ? 5 2
BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2 2
??8 分

EM ? Rt△MAE 中,
又 FM ?

EA2 ? AM 2 ? 6 , 同理 EF ? 6 ,
???10 分

M

1 BD ? 2 , 2

EF 2 ? FM 2 ? ME 2 3 ? ∴△MFE 中,由余弦定理得 cos ?EFM ? ,??12 分 2 EF ? FM 6
解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,设 AB ? 2 ,???6 分

A(0,0,0) , B(2,0,0) , C (2, 2,0) , D(0, 2,0) , P(0,0, 2) , E (0, 0,1) , F (1, 2, 0)
??? ? ??? ?
????8 分 z

∵ EF ? (1, 2, ?1) , BD ? (?2, 2, 0) ,?10 分

??? ??? ? ? EF ? BD 3 ? ??? ? ? ∴ cos ? ? ??? | EF | ? | BD | 6

??12 分

y

x


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