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2.3 二维离散型随机变量及其分布律


第三节 二维离散型随机变量及其分布律
一、联合分布律与边缘分布律 1.定义.设X,Y为定义在同一样本空间Ω上的随 机变量,则称向量(X,Y )为Ω上的一个二维随 机变量。 二维随机变量(X,Y )的取值可看作平面上的点
A (x,y)

二维离散型随机变量:若二维随机变量(X,Y )的所 有可能取值只有限对或可列对,则称(X,Y )为二 维离散型随机变量。

2.联合分布律 1).定义2.4 pij ? P{xi , y j } ? P{ X ? xi , Y ? y j } (i ? 1, 2,L ; j ? 1, 2,L ) 表格形式(常见形式) Y y1 y2 。。。 y j X p11 p12 。。。 p1 j x
1
...

... 。。。

... 。。。

x2
... 。。。

p21 p22
。。。...
... 。。。

。。。... 。。。...

p2 j
。。。
...

... 。。。

... 。。。

xi
... 。。。

pi1 pi 2
... 。。。

... 。。。

pij
...

... 。。。

。。。...

。。。...

。。。
...

2).特征: 0 ? pij ? 1

?? p
i ?1 j ?1

?

?

ij

?1

3). P{( X , Y ) ? G} ?

( xi , y j )?G

?

pij

例2.10 看书



一个口袋中有三个球, 依次标有数字1, 2, 2, 从中任 取一个, 不放回袋中, 再任取一个, 设每次取球时, 各球被 取到的可能性相等.以X、Y分别记第一次和第二次取到的球 上标有的数字, 求( X , Y ) 的联合分布列.

解 ( X , Y ) 的可能取值为(1, 2), (2, 1), (2, 2).
P{X=1,Y=2}=(1/3) × (2/2)=1/3,
P{X=2,Y=1}=(2/3) ×(1/2)=1/3, P{X=2,Y=2}= (2/3) ×(1/2)=1/3,








1 2

0 1/3

1/3 1/3

2.边缘分布律
1). 通过联合分布律,求各个分量的分布律. 定义2.5 ( X ,Y ) 关于分量X的边缘分布律

pi· P{X ? xi } =? pij (i ? 1,2,L ); =
j ?1
?

?

( X ,Y ) 关于分量Y的边缘分布律
p·j =P{Y ? y j } =? pij ( j ? 1,2,L ).
i ?1

边缘分布律是分布律.

由联合分布 律得到边缘 分布律

相同的边缘 分布律,不同 的联合分布 律

表2.7-2.8

联合分布律<=|=边缘分布律

补例

二 条件分布律 1.定义 P{ X ? xi | Y ? y j } ? P ( xi , y j ) / P{Y ? y j }
p·j 2.条件分布律是分布律(满足分布律的特征) ? pij , j ? 1, 2,3,...

3.由例2.10求条件分布律

补例

三.随机变量的独立性 1.定义 随机变量的独立性 P{ X ? xi , Y ? y j } ? P ( X ? xi ) P{Y ? y j }

i, j ? 1, 2,3,...
若随机变量独立,则

P{ X ? xi | Y ? y j } ? P ( xi , y j ) / P{Y ? y j } ? P{ X ? xi } P{Y ? y j | X ? xi } ? P{Y ? y j }
与条件无关

独立的二维随机变量,边缘分布律=>联合分布律

2.补例1

练习题


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