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一道导数压轴题突破的过程


一道导数压轴题突破的过程
1 问题缘起
最近复习函数与导数,笔者给学生做了一道大市调研试卷的压轴题,效果不是特别理想,很多学 生做对第一问,第二问就无从下手或半途而废了。在解导数综合题时,方法是否得当,常常是问题能否 顺利解决的关键所在。在解题时学生一般从条件出发,观察试验,向前推进,但经常是阻碍重重,失去 方向,只能望题兴叹。如何进行有效的引导,教会学生突破

导数的压轴题呢?笔者在教学中发现,应在 方法的突破和细节的处理上下功夫。以下笔者摘录教学片段和大家共同探讨。 例题 (2009 年南京市高考模拟试题) 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 的最小值为 3 ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 3e x ? a ( a 为常数). (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求最大的整数 m(m ? 1) ,使得存在实数 t ,对任意的 x ? [1, m] ,都有 f ( x ? t ) ? 3ex . 本题难度接近高考,考查的是函数与导数中的典型方法和基本技能,第一问较简单,第二问和不等 式结合且字母较多,再加上“存在”和“任意”的表述,难度较大。如何突破,教学过程如下。

2 教学片段 2.1 经历了思维的困境,对方法进行反思
教师出示问题,请同学快速做答,因为第一问较容易,学生很快完成,但第二问明显卡壳,推进缓 慢,教师巡视。 师: (十五分钟后)大部分同学都有了自己的想法,但能成功解决的并不多,现在请大家谈谈自己 的想法和做法。 生 1:第一问我很快得出结果,过程如下:
x (1)因为 y ? e 是增函数,所以当 x ? 0 时, f ( x) 也是增函数.

又因为 f ( x) 是偶函数,所以 f ( x) min ? f (0) ? 3 ? a ,又 f ( x) 最小值是 3 ,故 3 ? a ? 3, a ? 0 .
?x 当 x ? 0 时,因为 ? x ? 0 ,所以 f ( x) ? f (? x) ? 3e .

综上知, f ( x) ? {

3e x , x ? 0

3e ? x , x ? 0

师:很好,即使是压轴题,第一问我们都应该能很好地解决的。那第二问呢? 生 1:第二问我尝试特殊化,将端点代入 f (1 ? t ) ? 3e 得到一些不等关系,过程如下: (2)因为 x ? [1, m] 时,有 f ( x ? t ) ? 3ex ,故 f (1 ? t ) ? 3e .
1?t 当 1 ? t ? 0 时, 3e ? 3e , e1?t ? e , 1 ? t ? 1 , ? 1 ? t ? 0 ;

当 1 ? t ? 0 时,同理可得, ? 2 ? t ? ?1 ;从而 ? 2 ? t ? 0 . 同样地,由 f (m ? t ) ? 3em 及 m ? 2 ,得 e ?
t

em . em

由 t 的存在性知,上述关于 t 的不等式在区间 [?2,0] 上必有解.
1

到这里我就不知道怎么解决了。 师:巡视过程中我发现很多同学用这种方法,都是取两个端点代入,但大部分同学都和生 1 一样无 法继续突破,那么就用这种方法,如何有效突破难点呢?请大家继续思考!

2.2 解法突破的过程 2.2.1 导数开路,零点帮忙,巧渡难关
过了十分钟,有同学举手。 生 2:我也是用生 1 的方法,得到关于 t 的不等式 e ?
t

em 在区间 [?2,0] 上必有解. em


因为 e 在区间 [?2,0] 上的最小值为 e ,所以 e
t

?2

?2

?

em m 3 ,即 e ? e ? m ? 0 em

令 g ( x) ? e x ? e3 x, x ? [2,??) ,则 g ' ( x) ? e x ? e 3 ,由 g ' ( x) ? 0 ,得 x ? 3 . 当 2 ? x ? 3 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 是减函数;当 x ? 3 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 是增函数; 故 g ( x) 的最小值是 g (3) ? ?2e 3 ? 0 又 g (2) ? ?e 2 (1 ? 2e) ? 0 , g (4) ? e 3 (e ? 4) ? 0 ,而 g (5) ? e 3 (e 2 ? 5) ? 0 由此可见,方程 g ( x) ? 0 在区间 [2,??) 上有唯一解 m0 ? (4,5) , 且当 2 ? x ? m0 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? m0 时, g ( x) ? 0 . 即在 x ? [2,??) 时满足不等式①的最大实数解是 m0 . 而当 t ? ?2, x ? [1, m0 ] 时, f ( x ? 2) ? 3ex ? 3e(e 在 x ? [1,2] 时,因为 e
x ?2 ?1

x?2 ?1

? x) ,

? e1? x ? 1 ,所以 f ( x ? 2) ? 3ex ? 0 ;
x ?3

在 x ? (2, m0 ] 时, f ( x ? 2) ? 3ex ? 3e(e

? x) ?

3 x 3 (e ? e 3 x ) ? 2 ? g ( x ) ? 0 . 2 e e

综上所述, m 的最大整数值是 4 . 师:很好!生 2 构造函数,然后利用导数求最值,结合零点定理逐步缩小并确定 m 的值。这种突破 的方法在函数与导数的综合题中经常用到,希望同学们能熟练掌握!

2.2.2

先猜后证,正反结合,旗开得胜 生 3:我感觉整数 m 的值不会太大,所以我通过特殊值先猜出 m 的值为 4,再进行证明,非常高兴

我成功了!过程如下: 满足条件的最大整数 m 为 4 . 先证 m ? 4 符合题意, 取 t ? ?2, 当 x ? [1,2] 时,因为 f ( x ? 2) ? 3e
x ?2

? 3e 2?x ? 3e, 3ex ? 3e ,所以 f ( x ? 2) ? 3ex ;
x ?3

当 x ? (2,4] 时, f ( x ? t ) ? 3ex ? f ( x ? 2) ? 3ex ? 3e(e

? x) ?

3 x (e ? e 3 x ) , e2

x 3 ' x 3 ' 令 g ( x) ? e ? e x ,则 g ( x) ? e ? e , 由 g ( x) ? 0 ,得 x ? 3 . ' ' 当 2 ? x ? 3 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 是减函数;当 3 ? x ? 4 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 是增函数;

2

故 g ( x) 的最大值是 g (2) 和 g (4) 中的较大者. 因为 g (2) ? ?e 2 (1 ? 2e) ? 0 , g (4) ? e 3 (e ? 4) ? 0 ,故 g ( x) ? 0 , 即当 x ? (2,4] 时, f ( x ? t ) ? 3ex ? 0 . 再证 m ? 5 时不符合题意,因为不等式 f ( x ? t ) ? 3ex 对 x ? 1 成立,所以必有 t ? [?2,0] , 因为 f (5 ? t ) ? 15e ? 3e(e 4 ? e t ? 5) ? 3e(e 4 ? e ?2 ? 5) ? 0 ,所以 f (5 ? t ) ? 15e , 这说明 x ? 5 时 f ( x ? t ) ? 3ex 不成立. 综上所述, m 的最大整数值是 4 . 师:生 3 的成功告诉我们不是每道题都是顺题而解,有时我们可以先猜后证,这样我们相当于先得 到结果,这样就占据了主动,目标就十分明确,更加有信心完全解决问题。对于一些较难问题,这种突 破方法屡见不鲜,应加以足够的重视!

2.2.3

恒等变形,变量分离,出奇制胜

生 4:我通过变形转化为非常基本的问题,更加简捷易懂。由(1)得到 f ( x) ? { 这不就是绝对值函数吗,得到 f ( x) ? 3e 代入 f ( x ? t ) ? 3ex 得到 3e 由题 3e
x ?t x ?t

3e x , x ? 0

3e ? x , x ? 0

,我想

x

? 3ex ,

? 3ex 对 x ? [1, m] 恒成立,即 x ? t ? 1 ? ln x
1 ? 1 ? 0 ,所以 g ( x) max ? g (1) ? ?2 ; x

所以 ? 1 ? ln x ? x ? t ? 1 ? ln x , ? 1 ? ln x ? x ? t ? 1 ? ln x ? x . 令 g ( x) ? ?1 ? ln x ? x , g ( x) ? ?
'

1 ? 1 ? 0 , h( x) min ? h(m) ? 1 ? ln m ? m , x 要使 t 存在,只要 ? 2 ? 1 ? ln m ? m ,即 ln m ? m ? 3 ? 0 . 1 ' ? 1 ? 0 ,所以 k (m) 在 (1,??) 上为单调减函数, 令 k (m) ? ln m ? m ? 3 ,则 k ( m) ? m
令 h( x) ? 1 ? ln x ? x , h ( x) ?
'

且 k (3) ? ln 3 ? 0 , k (4) ? ln 4 ? 1 ? 0 , k (5) ? ln 5 ? 2 ? 0 . 所以满足条件的最大整数 m 的值为 4. 师:十分精彩!生 4 的做法简捷明了,既避免了分类讨论,又将这一较难问题转化成十分基本的问 题。关注细节的变化,威力往往是巨大的,难点的突破显得那么自然,那么通俗易懂,这是我们突破难 点的非常高的境界。

3

教后反思:

面对具体问题,特别是压轴题,学生本身潜意识就有一点恐惧的心理,教师要灵活选择教学方式, 舍得在课堂上花时间让学生暴露自己的思维过程,分析其思维受阻原因及对策,发现不足,扬长避短。 较难问题往往不止一种解法,高考试卷的压轴题经常有十种左右的解法,每一种解法都是一个思维 的结果,然而教师往往忽视思维形成的过程,学生只能作为教师解题的观察者和欣赏者,并没有切身的 体会,思维能力没有得到真正的提高。教师应引导学生进行解题后的反思,不仅能有效地帮助学生巩固
3

知识、技能,而且对提高学生思维品质有特殊功效。反思的内容主要有: (1)解题涉及的知识方法有哪 些?它们之间有何联系?解题过程能否简化?解题方法能否优化?哪些步骤上容易发生错误?原因何 在?如何防止?(2)解题时用了哪些思维方法?解法是如何分析而来的?解法是否具有普遍意义?有 何规律?(3)解决问题的关键何在?如何进行突破?是否还有其他不同的解法?在找到多种解法的前 提下,哪种方法最优?最合理?其中的道理是什么?(4)在解题过程中最初遇到哪些困难?后来又是 如何解决的?相信通过这样的思考,学生的能力一定会得到很大的提高。

4


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