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高考数学(文)中档大题训练4


2014 高考数学中档大题训练 4
1.已知向量 m ? ( 3 sin
?

? ? ? ? x x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) ,若 m? n ? 1 ,求 cos( x ? ) 的值. 4 4 4 3

2.已知 ABCD 是矩形,AD=2AB,E,F 分别是线段 AB, BC 的中点, PA⊥平面 ABCD. (1)求证:DF⊥平面 PAF; (2)在棱 PA 上找一点 G, 使 EG∥平面 PFD, 当 PA=AB=4 时, 求四面体 E-GFD 的体积.

3.已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,且 a2 , a5 , a14 分别是等比数列 {bn } 的

b2 , b3 , b4 .
(1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2) 设数列 {cn } 对任意正整数 n 均有 的值.

c c1 c2 求 c1 ? c2 ? ? ? c2014 ? ? ?? ? n ? an?1 成立, b1 b2 bn

4.已知函数 f ( x) ? a ln x ?

2a 2 ?x. x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的最小值 g ( a ) ; (3)在(2)上求证: g (a ) ? ?e .
?4

参考答案

x x x 3 x 1 x 1 cos ? cos 2 ? 1 ,即 sin ? cos ? ? 1 , 4 4 4 2 2 2 2 2 ? x ? 1 x ? 1 ? sin( ? ) ? , cos( x ? ) ? 1 ? 2 sin 2 ( ? ) ? . 3 2 6 2 2 6 2 2.(Ⅰ)证明:在矩形 ABCD 中,因为 AD=2AB,点 F 是 BC 的中点,
1.解: (Ⅰ)? m ? n ? 1 ,即 3 sin

所 以FD ? 平 面PAF

再过 H 作 HG // PD 交 PA 于 G ,所以
1 PA 所以平面 EHQ // 平面 PFD ,所以 EG // 平面 PFD , G 点 4

GH // 平面 PFD ,且 AG ?

即为所求. 因为 PA ? AB ? 4 ,则 S ?EFD ? 32 ? S ?AED ? S ?EBF ? S ?FCD ? 12 ,AG=1

?VE ? FDG ? VG ? EFD ? 4
3.

2 4.(1) f ( x) 的定义域为 x x ? 0 , f ?( x) ? a ? 2a ? 1, ( x ? 0) ,根据题意有 f ?(1) ? ?2 ,所以 2

?

?

x

x

2a 2 ? a ? 3 ? 0 解得 a ? ?1 或 a ? 3 .
2

(2) f ?( x) ?

a 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? a )( x ? 2a ) ? 2 ?1 ? ? , ( x ? 0) x x x2 x2

当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a )( x ? 2a ) ? 0 ,解得 x ? a , 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a )( x ? 2a ) ? 0 ,解得 0 ? x ? a , 所以函数 f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ?a,?? ? 上单调递增; (Ⅲ)由(2)知,当 a>0, f ( x) 的最小值为 g (a ) ? f (a ) ? a ln a ? 3a, g ?(a ) ? ln a ? 4 令 g ?(a ) ? ln a ? 4 ? 0
?4

g ?( a) ? ln a ? 4 ? 0, a ? e?4
?4

当 a ? e , g (a )单调递增,当a ? e , g (a )单调递减
?4 g (a )的最小值为g (e ?4 ) ? ?e ?4 。 ? g (a ) ? ?e


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