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2013年高考文科数学 解答题前三题训练03


2013 年高考文科数学 解答题前三题训练 03
1. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? cos x ? sin x .
2 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 对应的三边为 a、b、c ,若 f ( A) ? 1, a ? 2 7, b

? 4 , 求 c 的值及 ?ABC 的面积.

2. (本题满分 12 分)某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等 于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的 2 ? 2 列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 甲班 乙班 合计 10 30 110

3 . 11
合计

非优秀

(1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号,先后两次 抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 9 号或 10 号的概率. 参考公式与临界值表: K 2 ?
n( ad ? bc) 2 . ( a ? b)( c ? d )( a ? c )( b ? d )

P( K 2 ? k )
k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

3. (本题满分14分)三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AC ? BC ? 2, PA ? 平面 ABC , BC ? AC , D 、 E 分别是 PC 、

PB 的中点.
(1)求证: DE ? 平面 ABC ; (2 )求证: AD ? 平面 PBC ; (3)求四棱锥 A ? BCDE 的体积.

P

D
E A B
C

-1-

2013 年高考文科数学 解答题前三题训练 03 参考答案

? 3 ? 1 16.解: ? ? f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? ?1 ? 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ????? 2分 ? ? ?

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ?????????????????????????????????????? ????????????????????????3分 6? ? ?T ? ? ????????????????????????????????????? ?????????????????????????5分

? 2 ? ? f ( A) ? 2sin ? 2 A ? ?

?? 1 ? ? ? =1, sin ? 2 A ? ? = ????????????????????????????????????????????? 7分 6? 6? 2 ? ? ? ? 13? ? 5? ? 又 ? 0 ? A ? ? ,? ? 2 A ? ? ,? 2 A ? ? ,? A ? ??????????????????????????8分 6 6 6 6 6 3
1 1 ? bc sin A ? ? 4 ? 6 ? sin ? 6 3 ????????????????????? 12分 2 2 3

??

由余弦定理a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A得,c 2 ? 4c ? 12 ? 0, 解得c ? 6 ?????????10分 ??ABC的面积 S=

17.解: ⑴?????????3分 优秀 甲班 乙班 合计 (2)假设成绩与班级无关,则 K ?
2

非优秀

合计

10 20 30

50 30 80

60 50 110
2

110 ?10 ? 30 ? 20 ? 50 ? n(ad ? bc) 2 ? ? 7.5 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 30 ? 80 ? 50 ? 60

则查表得相关的概率为99%,故没达到可靠性要求。?????????8分

(3)设“抽到 9 或 10 号”为事件 A ,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为 ( x, y ) .

所有的基本事件有: (1,1) 、 (1,2) 、 (1,3) 、 ?、 (6,6) 共 36 个. ?????????10分

事件 A 包含的基本事件有: (3,6) 、 ( 4,5) 、 (5,4) 、 (6,3) 、 (5,5) 、 (4,6) 、 (6,4) 共7个??????? ? 11分 所以 P ( A) ?

7 7 ,即抽到9号或 10 号的概率为 . 36 36

?????????12分

-2-

18.解: (1)证明:∵ D 、 E 分别是 PC 、 PB 的中点,∴ DE ? BC .???????2分 而 DE 在平面 ABC 外,∴ DE ? 平面 ABC .?????????4分 (2)证明:∵ PA ? 平面 ABC ,∴ PA ? BC . 又∵ BC ? AC, PA ? AC ? A ,∴ BC ? 平面 PAC . ∴ AD ? BC . ???????????6分

P

D
E A B
C

∵ ! PAC 中, PA ? AC , D 是 PC 的中点,∴ AD ? PC . ∵ PC ? BC ? C ,∴ AD ? 平面 PBC . ?????????8分

(3)解:由(2)知: AD ? 平面 PBC .∴ AD 是四棱锥 A ? BCDE 的高.???9分

Rt! PAC 中, PA ? AC ? 2 .∴ AD ? 2 .???????????10分
由(2)知四边形 BCDE 是直角梯形.且 DE ? 11分 ∴ S! BCDE ? ∴ VA? BCDE

1 1 BC ? 1 , DC ? PC ? 2 .??????? 2 2

1 3 2 .????????????12分 ? (1 ? 2) ? 2 ? 2 2 1 3 2 ? ? ? 2 ? 1 .??????????14分 3 2

-3-


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