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【名师一号】2013版高中数学 2-3-2-2 抛物线的简单几何性质第二课时技能演练 新人教A版选修1-1


技能演练
1.平面内到定点 F 的距离等于到定直线 l 的距离的点的轨迹是( A.抛物线 C.抛物线或直线 B.直线 D.不存在 )

解析 当点 F 在直线 l 上时为过点 F 与 l 垂直的为直线, 当点 F 不在直线 l 上时为抛物 线. 答案 C 2.顶点在原点对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线的方程为( A.y =-16x C.y =16x
2 2

)

B.y =-12x D.y =12x
2

2

解析 直线与 x 轴的交点坐标为(4,0),∴抛物线的焦点为(4,0),∴ =4,p=8,∴抛 2 物线方程为 y =16x. 答案 C 3.过点 M(3,2)作直线 l 与抛物线 y =8x 只有一个交点,这样的直线共有( A.0 条 C.2 条 解析 交点. 答案 B 4.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为( A.y =±4x C.y =4x
2 2 2 2 2

p

)

B.1 条 D.3 条

因为点(3,2)在抛物线内部,所以只有一条与对称轴平行的直线与抛物线有一个

) B.y =±8x D.y =8x
2 2

解析 由题可知,抛物线焦点坐标为( ,0),于是过焦点且斜率为 2 的直线的方程为 y 4

a

a a 1 |a| |a| =2(x- ),令 x=0,可得 A 点坐标为(0,- ),所以 S△OAF= ? ? =4,∴a=±8, 4 2 2 4 2
故选 B. 答案 B 5.抛物线 y =2px 与直线 ax+y-4=0 交于 A,B 两点,其中 A 的坐标为(1,2),设抛 物线的焦点为 F,则|FA|+|FB|等于( A.7 C.6 ) B.3 5 D.5
2

1

解析 将 A(1,2)分别代入抛物线与直线方程可得
? ?y =4x, p=2,a=2,∴? ? ?2x+y-4=0,
2

可得 x -5x+4=0,∴x2=1,x2=4.|FA|+|FB|=

2

p p x1+ +x2+ =7.
2 2 答案 A 6.已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 y =2x 上,其中 O 为坐标原点,则△OAB 的外接圆的方程是________. 解析 由抛物线的性质知,A,B 两点关于 x 轴对称, 所以△OAB 外接圆的圆心 C 在 x 轴上. 设圆心坐标为(r,0),并设 A 点在第一象限, 3 3 则 A 点坐标为( r, r), 2 2 于是有( 3 2 3 r) =2? r,解得 r=4, 2 2
2 2 2

所以圆 C 的方程为(x-4) +y =16. 答案 (x-4) +y =16 7.如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 m 交抛物线于 A,B,交其准线 l 于点
2 2 2

C,若|BC|=2|BF|,|AF|=3,则此抛物线的方程为________.

解析 分别过点 A, 作 AA1, 1 垂直于 l, B BB 且垂足分别为 A1,1, B 由已知条件|BC|=2|BF|,

2

得|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°. 又|AA1|=|AF|=3,∴|AC|=2|AA1|=6. ∴|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3. ∴F 为线段 AC 的中点. 1 3 故 F 到准线的距离 p= |AA1|= , 2 2 故抛物线的方程为 y =3x. 答案 y =3x 8.已知抛物线 C:y =4x 的焦点为 F,准线为 l,过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线, 垂足为 M,若△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 3?1,则点 A 的坐标为 ________. 解析 如图,由题意可得|OF|=1, 由抛物线定义,得|AF|=|AM|,
2 2 2

∵△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 3:1,



S△AMF = S△AOF 1

1 ?|AF|?|AM|?sin∠MAF 2 π -∠MAF?

?|OF|?|AF|?sin? 2

=3. ∴|AF|=|AM|=3,设 A(x0,y0). ∴x0+1=3,x0=2,代入 y =4x,可得 y0=8.
2 2

3

解得 y0=±2 2, ∴点 A 的坐标是(2,±2 2). 答案 (2,±2 2) 9.

如图,l1,l2 是通过某市开发区中心 O 的南北和东西走向的两条道路,连接 M,N 两地 的铁路是一段抛物线弧,它所在的抛物线关于直线 l1 对称.M 到 l1,l2 的距离分别是 2 km、 4 km,N 到 l1,l2 的距离分别是 3 km、9 km. (1)建立适当的坐标系,求抛物线 MN 的方程; (2)该市拟在点 O 的正北方向建设一座工厂,考虑到环境问题,要求厂址到点 O 的距离 大于 5 km 而不超过 8 km,并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 6 km,求该厂离点

O 的最近距离.(注:工厂视为一个点)


4

(1)分别以 l2、l1 为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则 M(2,4),N(3,9). 设 MN 所在抛物线的方程为

y=ax2+c,
?4=4a+c, ? 则有? ? ?9=9a+c,

解得?

?a=1, ? ? ?c=0.

故所求抛物线 MN 的方程为

y=x2(2≤x≤3).
(2)设抛物线弧上任意一点 P(x , y),则 y = x (2≤x≤3,4≤y≤9),厂址为 A(0,
2

t)(5<t≤8).
由题意|PA|= x +? y-t? 即 y+(y-t) ≥6, ∴y +(1-2t)y+t -6≥0(*) - 1-2t 1 =t- ∈[4,9]. 2 2
2 2 2 2 2

≥ 6,

2t-1 ∴要使(*)恒成立,只须当 y= 时成立, 2 即 ? 2t-1? 4
2

? 2t-1? 2 +(1-2t) +t -6≥0, 2

5

25 25 即得 4t-25≥0,∴t≥ ,又 5<t≤8,∴ ≤t≤8. 4 4 25 ∴t 的最小值为 . 4 25 故该厂离点 O 的最近距离为 km. 4 10.已知抛物线 y =-x 与直线 l:y=k(x+1)相交于 A,B 两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值. 解
? ?y =-x, (1)联立? ? ?y=k? x+1?
2 2 2



消去 x,得 ky +y-k=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 则 y1+y2=- ,y1?y2=-1.

k

∵y1=-x1,y2=-x2,∴(y1?y2) =x1?x2. ∴x1?x2=1.∴x1x2+y1y2=0, → → 即OA?OB=0.∴OA⊥OB. (2)设直线 l 与 x 轴的交点为 N,则 N 的坐标为(-1,0), 1 ∴S△AOB= |ON|?|y1-y2| 2 1 = ?|ON|? ? 2 1 = ?1? 2 1

2

2

2

y1+y2?

2

-4y1?y2

k2

+4= 10,

1 1 2 解得 k = ,所以 k=± . 36 6 感悟高考 → 1.
2



(2010?重庆)已知以 F 为焦点的抛物线 y =4x 上的两点 A,B 满足AF=3FB,则弦

AB 的中点到准线的距离为________.
解析 设 BF=m,由抛物线的定义知

AA1=3m,BB1=m,
∴△ABC 中,AC=2m,AB=4m,kAB= 3, 直线 AB 方程为 y= 3(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2)

6

直线方程与抛物线方程联立消去 y 得 3x -10x+3=0, 所以 AB 中点到准线距离为

2

x1+x2
2 答案

5 8 +1= +1= . 3 3 8 3

7


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