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1.2.1任意角的三角函数精品课件(必修4)(新版)


1.2.1任意角的三角函数

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教学目的:
1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解任意角 的余切、正割、余割的定义; 2、掌握三角函数值的符号的确定方法; 3、记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一); 4、利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值。

教学重点、难点: 重点:三角函数的定义,各三角函数值在每个象限的符号,
特殊角的三角函数值

难点:对三角函数的自变量的多值性的理解,
三角函数的求值中符号的确定

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初中锐角的三角函数是如何定义的?

在Rt△ABC中,设A对边为a,B对边为b,C 对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为
a b a sinA ? , cosA ? , tanA ? c c b

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讲授新课:

一、三角函数定义:
在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边 上任意一点(除了原点)的坐标为(x,y),它与 原点的距离为r,那么
y y 比值 叫做 ?的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? r r

x x 比值 叫做 ?的余弦,记作 cos ?,即 cos ? ? r r
y y 比值 叫做 ?的正切,记作 tan ?,即 tan ? ? x x
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二、三角函数的定义域、值域
函 数 定 义 域 值 域

y ? sin ?
y ? cos ?

R

[?1,1] [?1,1]

R
{? | ? ?

y ? tan ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

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三、三角函数的符号 sinα + –

由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: y

cosα
y

+


x

+

o





o
+

x

tanα
y



+

o
+ –

x
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四、诱导公式
由三角函数的定义,就可知道: 终边相同的角三角函数值相同。

sin(? ? 2k? ) ? sin ?
cos(? ? 2k? ) ? cos ?
其中

k ?Z

tan(? ? 2k? ) ? tan ?

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五、三角函数线
当角的终边上一点 P( x, y) 的坐标满足
x2 ? y2 ? 1

时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线

(Ⅱ)

(Ⅰ)

(Ⅲ)

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(Ⅳ)

典型例题
例1.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3),求α 的三个函数制值。

解:因为 x ? 2, y ? ?3 ,所以 于是 sin ? ? y ?
r ?3 3 13 ?? 13 13

r ? 22 ? (?3) 2 ? 13

cos ? ?

x 2 2 13 ? ? r 13 13

y 3 tan ? ? ? ? x 2

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例2.求下列各角的三个三角函数值: 3? ( 1 ) 0 ; (2 ) ; (3 ) . 2 ,所以 解:(1)因为当 ? ? 0 时, x ? r ,y ? 0

?

tan 0 ? 0 cos 0 ? 1 (2)因为当 ? ? ?时,x ? ? r y ? 0 ,所以 , sin ? ? 0 cos ? ? ?1 tan ? ? 0 3? ? ? (3)因为当 时, x ? 0, y ? ? r ,所以 2
3? sin ? ?1 2
3? cos ?0 2

sin 0 ? 0

3? tan 不存在 2

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例3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的三个 三角函数值。
解:因为过点



a ? 0时, sin ? ?

y 2a 2a 2 5 ? ? ? r 5 5|a| 5a x a 5a cos ? ? ? ? r 5 5a

(a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a, | x

? a, y ? 2a

y 2a 2a 2 5 当 a ? 0时, sin ? ? ? ? ?? r 5 5 | a | ? 5a x a 5a cos? ? ? ?? r ? 5a 5

tan ? ? 2

tan ? ? 2
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tan x ? 例4. 求函数 y ? 的值域 cos x tan x

cos x

解: 定义域:cosx?0 ∴x的终边不在x轴 上 ,∵tanx?0 ∴x的终边不在y轴上 ∴当x是第Ⅰ象限角时, x ? 0, y ? 0
cosx=|cosx| …………Ⅱ…………, tanx=|tanx| ∴y=2

x ? 0, y ? 0
x ? 0, y ? 0 x ? 0, y ? 0

|cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2 …………Ⅲ、Ⅳ………,

|cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0

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例5.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 4? 2? sin 1? sin 2? tan 2? 与tan 4? 与 5 3 3 5 解: 如图可知:
S2 S1 P2 P1 A T2 B

2? sin 3

?

2? tan 3

?

4? sin 5

M 2 M1 o

4? tan 5

T1

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四、课堂练习
P17练习题1、2、3、5、6

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小结:

1.任意角的三角函数的定义; 2.三角函数的定义域、值域; 3.三角函数的符号及诱导公式; 4、三角函数线。

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六、课后作业:
P23习题 第 7、 9题

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