当前位置:首页 >> 数学 >>

2014向量


第五编
§5.1

平面向量、解三角形

平面向量的概念及线性运算

基础自测 1.下列等式正确的是 ①a+0=a 答案 ①②④ . ②a+b=b+a (填序号). ③ AB + BA ≠0 ④ AC = DC + AB + BD

D A B

C

2.如图所示,在平行四边行 ABCD 中,下列结论中正确的是 ① AB = DC 答案 ①②④ ② AD + AB = AC ③ AB - AD = BD

④ AD + CB =0

3. (2008? 广东理, 8) 在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 AC =a, BD =b, 则 AF = 答案 .

2 1 a+ b 3 3
.

4.若 ABCD 是正方形,E 是 DC 边的中点,且 AB =a, AD =b,则 BE = 答案 b-

1 a 2 1 AB ,且| AD |=| BC |,则这个四边形是 2
.

5.设四边形 ABCD 中,有 DC = 答案 等腰梯形

例1

给出下列命题

①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同; ④两个有共同终点的向量,一定是共线向量; ⑤向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上; ⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中假命题的个数为 答案 例2 4 如图所示,若四边形 ABCD 是一个等腰梯形, .

AB∥DC,M、N 分别是 DC、AB 的中点,已知 AB =a,
AD =b, DC =c,试用 a、b、c 表示 BC , MN ,

DN + CN .



BC = BA + AD + DC =-a+b+c,

∵ MN = MD + DA + AN , ∴ MD =∴ MN =

1 1 DC , DA =- AD , AN = AB , 2 2

1 1 a-b- c. 2 2

DN + CN = DM + MN + CM + MN =2 MN =a-2b-c.

例3

设两个非零向量 a 与 b 不共线,

(1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. (1)证明 ∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b =5(a+b)=5 AB . ∴ AB 、 BD 共线, 又∵它们有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 ? ,使 ka+b= ? (a+kb), 即 ka+b= ? a+ ? kb. ∴(k- ? )a=( ? k-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k- ? = ? k-1=0,∴k -1=0.
2

∴k=±1. 例4 (14 分)如图所示,在△ABO 中, OC =

1 OA , 4

OD =

1 OB ,AD 与 BC 相交于点 M,设 OA =a, OB =b.试 2

用 a 和 b 表示向量 OM . 解 设 OM =ma+nb, 则 AM = OM - OA =ma+nb-a=(m-1)a+nb.
AD = OD - OA =

1 1 OB - OA =-a+ b. 2 2

又∵A、M、D 三点共线,∴ AM 与 AD 共线. ∴存在实数 t,使得 AM =t AD , 即(m-1)a+nb=t(-a+

1 b). 2

4分

∴(m-1)a+nb=-ta+

1 tb. 2

? m ? 1 ? ?t ? ,消去 t 得:m-1=-2n. ∴ ?n ? t ? 2 ?

即 m+2n=1. 又∵ CM = OM - OC =ma+nb-



6分

1 1 a=(m- )a+nb. 4 4

CB = OB - OC =b-

1 1 a=- a+b. 4 4
10 分

又∵C、M、B 三点共线,∴ CM 与 CB 共线. ∴存在实数 t1,使得 CM =t1 CB , ∴(m-

1 ? 1 a )a+nb=t1 ? ? ? 4 ? 4

b ? ?, ?

1 1 ? ? m ? ? ? t1 ∴? 4 4 , ? n ? t1 ?

消去 t1 得,4m+n=1 由①②得 m=

② 12 分

1 3 ,n= , 7 7
14 分

∴ OM =

1 3 a+ b. 7 7

1.下列命题中真命题的个数为 ①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;

.

②若 AB = DC ,则 A、B、C、D 是一个平行四边形的四个顶点; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 答案 1

2.在△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 OB 上取点 D, 使 DB=

1 OB.DC 与 OA 交于 E,设 OA =a, OB =b,用 a, 3

b 表示向量 OC , DC . 解 因为 A 是 BC 的中点,

所以 OA =

1 ( OB + OC ),即 OC =2 OA - OB =2a-b; 2 5 2 2 OB =2a-b- b=2a- b. 3 3 3 1 (a+b)三向量的终点在同一条直线上? 3

DC = OC - OD = OC -

3.若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a,tb,



1 设 OA =a, OB =tb, OC = (a+b), 3
1 2 a+ b, AB = OB - OA =tb-a. 3 3

∴ AC = OC - OA =-

要使 A、B、C 三点共线,只需 AC = ? AB 即-

1 2 a+ b= ? tb- ? a 3 3

2 ? 2 ? ? ? ?? ?? ? ? ? 3 ? 3 ∴有 ? ,∴ ? 1 1 ? ? ?t ?t ? ? ? 2 ? ?3

∴当 t=

1 时,三向量终点在同一直线上. 2

4.如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在 AC 上, 且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶PM 的值. 解 方法一 设 e1= BM ,e2= CN ,

则 AM = AC + CM =-3e2-e1,
BN = BC + CN =2e1+e2.

因为 A 、P 、M 和 B 、P 、 N 分别共线,所以存在实数 ? 、 ? ,使

AP = ? AM =-3 ? e2- ? e1,

BP = ? BN =2 ? e1+ ? e2,∴ BA = BP - AP =( ? +2 ? )e1+(3 ? + ? )e2,
另外 BA = BC + CA =2e1+3e2,
? ?? ? ?? ? 2? ? 2 ? ,∴ ? ? ?3? ? ? ? 3 ?? ? ? ? 4 5 , 3 5

∴ AP = 方法二

3 4 AM , BP = BN ,∴AP∶PM=4∶1. 5 5
设 AP = ? AM ,

∵ AM = ∴ AP =

1 1 3 ( AB + AC )= AB + AN , 2 2 4

3 ? AB + ? AN . 2 4

∵B、P、N 三点共线,∴ AP - AB =t( AB - AN ), ∴ AP =(1+t) AB -t AN
?? ? 1? t ? ?2 ∴? ? 3 ? ? ?t ?4 ?



4 ? 3 + ? =1, ? = ,∴AP∶PM=4∶1. 2 4 5

一、填空题 1.下列算式中正确的是 ① AB + BC + CA =0 答案 ①③④ (用 b,c 表示). (填序号). ② AB - AC = BC ③0? AB =0 ④ ? ( ? a)= ? ? ? ?a

2.(2008?全国Ⅰ理)在△ABC 中, AB =c, AC =b,若点 D 满足 BD =2 DC ,则 AD = 答案

1 2 b+ c 3 3
.

3.若 AB =3e1, CD =-5e1,且| AD |=| BC |,则四边形 ABCD 是 答案 等腰梯形 4.如图所示,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面

分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若 OP =a OP 1+b OP 2,且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数 a,b 满足 a 答案 0,b > < . 0.(用“>”,“<”或“=”填空)

5.设 OB =x OA +y OC ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过端点 O) ,则 x+y= 答案 1

6.已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若 PA + PB + PC = AB ,则点 P 在线段 答案 AC

上.

7.在△ABC 中, CA =a, CB =b,M 是 CB 的中点,N 是 AB 的中点,且 CN、AM 交于点 P,则 AP 可用 a、b 表示为 答案 -

.

1 2 a+ b 3 3 1 CA + ? CB ,则 ? = 3
.

8.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = 答案

2 3

二、解答题 9.如图所示,△ABC 中, AD =

2 AB ,DE∥BC 交 AC 于 E,AM 是 BC 边上中线,交 DE 于 N.设 AB =a, AC =b,用 a,b 分别表 3

示向量 AE , BC , DE , DN , AM , AN .
DE // BC



? ? 2 ? AD ? AB? 3 ?

?

AE =

2 2 AC = b. 3 3

BC = AC - AB =b-a.

由△ADE∽△ABC,得 DE =

2 2 BC = (b-a). 3 3

由 AM 是△ABC 的中线, DE ∥BC,得
DN =

1 1 DE = (b-a). 2 3 1 1 BC =a+ (b-a) 2 2

而且 AM = AB + BM =a+ =

1 (a+b). 2
?ADN ∽ ?ABM ? ? 2 ? AD ? AB ? 3 ?

?

AN =

1 2 AM = (a+b). 3 3
2 AD , AB =a, AC =b. 3

10.如图所示,在△ABC 中,D、F 分别是 BC、AC 的中点, AE = (1)用 a、b 表示向量 AD 、 AE 、 AF 、 BE 、 BF ; (2)求证:B、E、F 三点共线. (1)解 延长 AD 到 G,使 AD =

1 AG , 2

连接 BG、CG,得到 ABGC, 所以 AG =a+b,
AD =

1 1 AG = (a+b), 2 2

AE =
AF =

1 2 AD = (a+b). 3 3 1 1 AC = b, 2 2 1 1 (a+b)-a= (b-2a). 3 3 1 1 b-a= (b-2a). 2 2 2 BF ,所以 B、E、F 三点共线. 3 1 ( AB + DC ). 2

BE = AE - AB = BF = AF - AB =
(2)证明

由(1)可知 BE =

11.已知:任意四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点,求证: EF = 证明 方法一 如图,

∵E、F 分别是 AD、BC 的中点, ∴ EA + ED =0, FB + FC =0, 又∵ AB + BF + FE + EA =0, ∴ EF = AB + BF + EA 同理 EF = ED + DC + CF 由①+②得, 2 EF = AB + DC +( EA + ED )+( BF + CF )= AB + DC . ∴ EF = 方法二 ① ②

1 ( AB + DC ). 2
连结 EB , EC ,

则 EC = ED + DC ,

EB = EA + AB ,
∴ EF = =

1 ( EC + EB ) 2

1 ( ED + DC + EA + AB ) 2
1 ( AB + DC ). 2

=

12.已知点 G 为△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、N 两点,且 AM =x AB , AN =y AC , 求 解

1 1 + 的值. x y
根据题意 G 为三角形的重心,

故 AG =

1 ( AB + AC ), 3 1 ( AB + AC )-x AB 3

MG = AG - AM =

=(

1 1 -x) AB + AC , 3 3

GN = AN - AG =y AC - AG

=y AC =(y-

1 ( AB + AC ) 3

1 1 ) AC - AB , 3 3

由于 MG 与 GN 共线,根据共线向量基本定理知
MG = ? GN ? (

1 1 -x) AB + AC 3 3

1 1 ? ? = ? ?( y ? ) AC ? AB? , 3 3 ? ?
1 ?1 ?3 ? x ? ? 3 ? ? ? ?1 ? ?( y ? 1) ? 3 ?3

?

1 1 ?x 3 = 3 1 1 y? ? 3 3

? x+y-3xy=0 两边同除以 xy 得 1

x

+

1 =3. y

§5.2

平面向量基本定理及坐标表示

基础自测 1.已知平面向量 a=(1,1) ,b=(1,-1),则向量 答案 (-1,2) 2.(2008? 安徽理)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB =(2,4), AC =(1,3),则 BD = 答案 (-3,-5) 3.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,1),则 c= 答案 (用 a,b 表示). .

1 3 a- b= 2 2

.

1 3 a- b 2 2
.

? 1 ? 4.已知向量 a= ? 8, x ? ,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则 x 的值为 ? `2 ?
答案 4 .

3? ? ?1 1 ? 5.设 a= ? sin x, ? ,b= ? , cos x ? ,且 a∥b,则锐角 x 为 4 3 2 ? ? ? ?
答案

? 4

例1

设两个非零向量 e1 和 e2 不共线.

(1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2, 求证:A、C、D 三点共线; (2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD =2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值. (1)证明
AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2,

AC = AB + BC =4e1+e2

=-

1 1 (-8e1-2e2)=- CD , 2 2

∴ AC 与 CD 共线, 又∵ AC 与 CD 有公共点 C, ∴A、C、D 三点共线. (2)解
AC = AB + BC =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,

∵A、C、D 三点共线, ∴ AC 与 CD 共线,从而存在实数 ? 使得 AC = ? CD , 即 3e1-2e2= ? (2e1-ke2),由平面向量的基本定理,

?3 ? 2? 2 4 得? ,解之得 ? = ,k= . ? 2 ? ? ? k 3 3 ?
例2 已知点 A(1,0) 、B(0,2) 、C(-1,-2) ,求以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标. 解 设 D 的坐标为(x,y).

(1)若是? ABCD,则由 AB = DC 得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), 即(-1,2)=(-1-x,-2-y),

??1 ? x ? ?1 ∴? , ∴x=0,y=-4. ?? 2 ? y ? 2
∴D 点的坐标为(0,-4) (如图中的 D1). (2)若是? ADBC,则由 AD = CB 得 (x,y)-(1,0)=(0,2)-(-1,-2) , 即(x-1,y)=(1,4).解得 x=2,y=4. ∴D 点坐标为(2,4) (如图中的 D2). (3)若是? ABDC,则由 AB = CD 得 (0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2). 解得 x=-2,y=0. ∴D 点的坐标为(-2,0) (如图中的 D3). 综上所述,以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2,0). 例 3 (14 分)平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题: (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d. 解 (1)∵(a+kc)∥(2b-a) , 又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∴2?(3+4k)-(-5)?(2+k)=0, ∴k=2分 4分 6分

16 . 13

(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
? ?4?x ? 4? ? 2? y ? 1? ? 0 ∴? , 2 2 ? ??x ? 4? ? ? y ? 1? ? 1

10 分

? ? 5 5 ?x ? 4 ? ?x ? 4 ? ? ? 5 5 解得 ? 或? . 2 5 2 5 ? ? y ? 1? y ? 1? ? ? 5 5 ? ?

12 分

? 20 ? 5 5 ? 2 5 ? ? ? ? 或 d= ? 20 ? 5 ,5 ? 2 5 ? . ∴d= ? , ? ? ? ? 5 5 5 5 ? ? ? ?

14 分

1.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知 AM =c, AN =d,试用 c,d 表示 AB , AD . 解 方法一 设 AB =a, AD =b,

? 1 ? 则 a= AN + NB =d+ ? ? b ? ? 2 ? ? 1 ? b= AM + MD =c+ ? ? a ? ? 2 ? ? 1 ? ? ? 1 ?? 将②代入①得 a=d+ ? ? ? ?c ? ? ? a ?? ? 2 ? ? ? 2 ??

? a=

2 4 d - c,代入② 3 3

2 2 ? 4 ? 1? ?4 得 b=c+ ? ? ? ? d ? c ? ? c- d 3 ? 3 3 ? 2? ?3
即 AB = 方法二

4 2 4 2 d- c, AD = c- d 3 3 3 3
设 AB =a, AD =b.

因 M,N 分别为 CD,BC 的中点, 所以 BN =

1 1 b, DM = a, 2 2
2 ? a ? ( 2 d ? c) ? ? 3 , ? 2 ?b ? ( 2c ? d ) ? 3 ?

1 ? c?b? a ? ? 2 ? 因而 ? ?d ? a ? 1 b ? 2 ?

即 AB =

2 2 (2d-c), AD = (2c-d). 3 3

2.已知 A(-2,4) 、B(3,-1) 、C(-3,-4)且 CM =3 CA , CN =2 CB ,求点 M、N 及 MN 的坐标. 解 ∵A(-2,4) 、B(3,-1) 、C(-3,-4) ,

∴ CA =(1,8) , CB =(6,3) , ∴ CM =3 CA =(3,24) , CN =2 CB =(12,6). 设 M(x,y) ,则有 CM =(x+3,y+4) ,

?x ? 3 ? 3 ?x ? 0 ∴? ,∴ ? , ? y ? 4 ? 24 ? y ? 20
∴M 点的坐标为(0,20). 同理可求得 N 点坐标为(9,2) ,因此 MN =(9,-18) ,

故所求点 M、N 的坐标分别为(0,20) 、 (9,2) ,
MN 的坐标为(9,-18).

3.已知 A、B、C 三点的坐标分别为(-1,0) 、 (3,-1) 、 (1,2) ,并且 AE = 求证: EF ∥ AB . 证明

1 1 AC , BF = BC . 3 3

设 E、F 两点的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) ,则依题意,得 AC =(2,2) , BC =(-2,3) ,

AB =(4,-1).

AE =

1 1 ?2 2? ? 2 ? AC = ? , ? , BF = BC = ? ? ,1? 3 3 ?3 3? ? 3 ?

?2 2? AE =(x 1 ,y 1 )-(-1,0)= ? , ? , ?3 3?

? 2 ? BF =(x 2 ,y 2 )-(3,-1)= ? ? ,1? . ? 3 ?

EF

AB
EF

AB.

一、填空题 1.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb 与 a-2b 共线,则

m = n

.

答案

-

1 2

2.设 a、b 是不共线的两个非零向量,已知 AB =2a+pb, BC =a+b, CD =a-2b.若 A、B、D 三点共线,则 p 的值为 答案 -1 .

3.已知向量 OM =(3,-2), ON =(-5,-1),则 答案

1 MN = 2

.

1? ? ? ? 4, ? 2? ?
. -3 .

4.(2007?北京文)已知向量 a=(2,4),b=(1,1),若向量 b⊥(a+ ? b),则实数 ? 的值是 答案

5.(2008?辽宁文)已知四边形 ABCD 的顶点 A(0,2) 、B(-1,-2) 、C(3,1) ,且 BC =2 AD ,则顶点 D 的坐标为 答案

? 7? ? 2, ? ? 2?
.

OP2 = 6.设 0≤ ? <2 ? , 已知两个向量 OP (cos ? , sin ? ) , (2+sin ? , 2-cos ? ) , 则向量 P1 P2 长度的最大值是 1 =

答案 答案

3 2 . 2 .

7.(2008?全国Ⅱ文)设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量 ? a+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 ? = 8.(2008?菏泽模拟)已知向量 m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),m∥n (a>0,b>0),则 ab 的最小值是 答案 16

二、解答题 9.已知 A(-2,4) ,B(3,-1) ,C(-3,-4). 设 AB =a, BC =b, CA =c,且 CM =3c, CN =-2b, (1)求:3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n. 解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n) ,

??6m ? n ? 5 ?m ? ?1 ∴? ,解得 ? . ? 3 m ? 8 n ? ? 5 ?n ? ?1 ?
10.若 a,b 为非零向量且 a∥b, ? 1, ? 2∈R,且 ? 1 ? 2≠0. 求证: ? 1a+ ? 2b 与 ? 1a- ? 2b 为共线向量. 证明 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). ∵a∥b,b≠0,a≠0,∴存在实数 m,使得 a=mb, 即 a=(x1,y1)=(mx2,my2), ∴ ? 1a+ ? 2b=((m ? 1+ ? 2)x2,(m ? 1+ ? 2)y2) =(m ? 1+ ? 2)(x2,y2) 同理 ? 1a- ? 2b=(m ? 1- ? 2)(x2,y2), ∴( ? 1a+ ? 2b)∥( ? 1a- ? 2b)∥b, 而 b≠0,∴( ? 1a+ ? 2b)∥( ? 1a- ? 2b). 11.在? ABCD 中,A(1,1) , AB =(6,0) ,点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P. (1)若 AD =(3,5) ,求点 C 的坐标; (2)当| AB |=| AD |时,求点 P 的轨迹. 解 (1)设点 C 坐标为(x0,y0), 又 AC = AD + AB =(3,5)+(6,0)=(9,5), 即(x0-1,y0-1)=(9,5) , ∴x0=10,y0=6,即点 C(10,6). (2)由三角形相似,不难得出 PC =2 MP 设 P(x,y) ,则

BP = AP - AB =(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1),
AC = AM + MC =

1 AB +3 MP 2

=

1 1 AB +3( AP - AB ) 2 2

=3 AP - AB =(3(x-1) ,3(y-1) )-(6,0) =(3x-9,3y-3) , ∵| AB |=| AD |,∴? ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD, ∴ AC ⊥ BP ,即(x-7,y-1) ? (3x-9,3y-3)=0. (x-7) (3x-9)+(y-1) (3y-3)=0,

∴x +y -10x-2y+22=0(y≠1). ∴(x-5) +(y-1) =4(y≠1). 故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心,2 为半径的圆去掉与直线 y=1 的两个交点. 12.A(2,3),B(5,4),C(7,10), AP = AB + ? AC .当 ? 为何值时, (1)点 P 在第一、三象限的角平分线上; (2)点 P 到两坐标轴的距离相等? 解 (1)由已知 AB =(3,1) , AC =(5,7) ,
2 2

2

2

则 AB + ? AC =(3,1)+ ? (5,7)=(3+5 ? ,1+7 ? ). 设 P(x,y) ,则 AP =(x-2,y-3) ,

? x ? 2 ? 3 ? 5? ? x ? 5 ? 5? ∴? ,∴ ? . y ? 3 ? 1 ? 7 ? ? ? y ? 4 ? 7?
∵点 P 在第一、三象限的角平分线上, ∴x=y,即 5+5 ? =4+7 ? ,∴ ? =

1 . 2

(2)若点 P 到两坐标轴的距离相等, 则|x|=|y|,即|5+5 ? |=|4+7 ? |, ∴?=

1 3 或 ? =- . 2 4

1.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为 答案

.

65 5
.

2.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC =a, AB =c, AC =b,则 a?b+b?c+c?a= 答案

1 2
.

3.向量 a=(cos15°,sin15°),b=(-sin15°,-cos15°),则|a-b|的值是 答案
3

4.(2009?常州市武进区四校高三联考)已知向量 a=(2,1),b=(3, ? ) ( ? >0),若(2a-b)⊥b,则 ? = 答案 3

.

5.(2008? 浙江理)已知 a、 b 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 c 满足 (a-c) ? (b-c) =0, 则|c|的最大值是 答案
2

.

例1

3 3 ? ? 已知向量 a= ? cos x, sin x ? 2 2 ? ?

x x? ? ? ?? ? b= ? cos ,? sin ? 且 x∈ ?? , ? . 2 2 ? 3 4? ? ?
(1)求 a?b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a?b-|a+b|,求 f(x)的最大值和最小值. 解 (1)a?b=cos

x x 3 3 xcos -sin xsin =cos2x, 2 2 2 2
3x x 3 x? ? a+b= ? cos ? cos , sin x ? sin ? 2 2 2 2? ?

(2)由(1)可得 f(x)=cos2x-2cosx=2cos x-2cosx-1

2

∴当 cosx=

1 3 时,f(x)取得最小值为- ; 2 2

当 cosx=1 时,f(x)取得最大值为-1. 例2 已知 a=(cos ? ,sin ? ),b=(cos ? ,sin ? )(0< ? < ? < ? ).

(1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的模相等,求 ? - ? .(其中 k 为非零实数) (1)证明
2 2 2 2 2

(a+b)?(a-b)=a -b =|a| -|b|
2 2 2

=(cos ? +sin ? )-(cos ? +sin ? )=0, ∴a+b 与 a-b 互相垂直. (2)解 ka+b=(kcos ? +cos ? ,ksin ? +sin ? ),a-kb=(cos ? -kcos ? ,sin ? -ksin ? ),

ka ? b = k 2 ? 2k cos(? ? ? ) ? 1,
a ? kb = 1 ? 2k cos(? ? ? ) ? k 2 .

? ka ? b = a ? kb ,
? 2k cos(? ? ? ) ? ?2k cos(? ? ? ).
又 k ? 0, ? cos( ? ? ? )=0. 而 0< ? < ? < ? , ? ? - ? = 例3

? . 2 ? ,若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹 3

(14 分)设两个向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1 与 e2 的夹角为

角为钝角,求实数 t 的范围. 解 得 由向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,

?2 t ? 7e2 ?? · e1 ? e2 ? t te1 t <0,
2 e1 ? 7e2 · e1 ? e2
2

3分

即(2te1+7e2)?(e1+te2)<0, 化简即得:2t +15t+7<0, 解得-7<t<-

1 , 2

7分

当夹角为 ? 时, 也有(2te1+7e2)?(e1+te2)<0, 但此时夹角不是钝角,2te1+7e2 与 e1+te2 反向. 设 2te1+7e2= ? (e1+te2), ? <0, 9分

?? ? ? 14 ?2t ? ? ? ? 可求得 ?7 ? ?t ,∴ ? 14 ?? ? 0 ?t ? ? ? 2 ?
? ? ? 14 ? ? ? ? ? 14 ,? 1 ? . ∴所求实数 t 的范围是 ? ? 7 ,? ? ? ? 2 2? 2 ? ? ? ?

12 分

14 分

1.向量 a=(cos23°,cos67°),向量 b=(cos68°,cos22°). (1)求 a?b; (2)若向量 b 与向量 m 共线,u=a+m,求 u 的模的最小值. 解 (1)a?b=cos23°?cos68°+cos67°?cos22°

=cos23°?sin22°+sin23°?cos22°=sin45°= (2)由向量 b 与向量 m 共线, 得 m= ? b( ? ∈R) , u=a+m=a+ ? b =(cos23°+ ? cos68°,cos67°+ ? cos22°) =(cos23°+ ? sin22°,sin23°+ ? cos22°) , |u| =(cos23°+ ? sin22°) +(sin23°+ ? cos22°)
2 2

2 . 2

2

? 2? 2 ? = ? + 2 ? +1= ? ? ? ? 2 ? ? ?

2

+

1 , 2

∴当 ? =-

2 2 时,|u|有最小值为 . 2 2

? 1 3? ? ,b=(- 3 ,-1). 2.已知平面向量 a= ? ? , ? 2 2 ? ? ?

(1)证明:a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数 k、t,使 x=a+(t -2)b,y=-ka+t b,且 x⊥y,试把 k 表示为 t 的函数. (1)证明
? 1 3? ? ? ? 3 ,?1 a?b= ? ? , ? 2 2 ? ? ?
2 2

?

?

3 ? 1? = ? ? ? ?(- 3 )+ ?(-1)=0, 2 ? 2?
∴a⊥b. (2)解 ∵x⊥y,∴x?y=0,
2 2 2 2 2 2 2 2

即[a+(t -2)b] ? (-ka+t b)=0. 展开得-ka +[t -k(t -2)]a?b+t (t -2)b =0, ∵a?b=0,a =|a| =1,b =|b| =4, ∴-k+4t (t -2)=0,∴k=f(t)=4t (t -2). 3.设 a=(cos ? ,sin ? ),b=(cos ? ,sin ? ),且 a 与 b 具有关系|ka+b|= 3 |a-kb|(k>0). (1)用 k 表示 a?b; (2)求 a?b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角.
2 2 2 2 2 2 2 2

解 (1)∵|ka+b|= 3 |a-kb|, ∴(ka+b) =3(a-kb) ,且|a|=|b|=1, 即 k +1+2ka?b=3(1+k -2ka?b), ∴4ka?b=k +1.∴a?b= (2)由(1)知:∵k>0 ∴a?b=
2 2 2 2 2

k 2 ?1 (k>0). 4k

k 1 1 1 1 ? ? · 2· k · = . 4 4k 4 k 2

∴a?b 的最小值为

1 (当且仅当 k=1 时等号成立) 2
a· b 1 = . ab 2

设 a、b 的夹角为 ? ,此时 cos ? = 0 ≤ ? ≤ ? ,∴ ? =

? . 3

故 a?b 的最小值为

? 1 ,此时向量 a 与 b 的夹角为 . 3 2

一、填空题 1.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,则点 O 是△ABC 的 答案 垂 . 2.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a?b+b?b 的值为 答案 5 . 心.

3.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=4,且 a?b=2,则 a 与 b 的夹角为 答案

? 3
条件. 充要 .

4.若 a 与 b-c 都是非零向量,则“a?b=a?c”是“a⊥(b-c) ”的 答案

5.已知 a,b 是非零向量,且满足(a-2b)⊥a, (b-2a)⊥b,则 a 与 b 的夹角是 答案

? 3
.

6.(2009?成化高级中学高三期中)已知 3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则 a?(b+c)= 答案

?

3 5

7.(2008?天津理,14)如图所示,在平行四边形 ABCD 中, , BD =(-3,2) ,则 AD ? AC = AC =(1,2) 答案 3 7) ,若 E、F 为线段 BC .

8.(2008? 江西理,13)直角坐标平面内三点 A(1,2) 、B(3,-2) 、C(9, 的三等分点,则 AE ? AF = 答案 22 .

二、解答题 9.已知平面上三个向量 a、b、c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120°.

(1)求证: (a-b)⊥c; (2)若|ka+b+c|>1 (k∈R),求 k 的取值范围. (1)证明 ∵(a-b) ?c=a?c-b?c

=|a|?|c|?cos120°-|b|?|c|?cos120°=0, ∴(a-b)⊥c. (2)解 |ka+b+c|>1 ? |ka+b+c| >1,
2

? ? k a +b +c +2ka?b+2ka?c+2b?c>1.
2 2 2 2

∵|a|=|b|=|c|=1,且 a、b、c 的夹角均为 120°, ∴a =b =c =1,a?b=b?c=a?c=2 2 2 2 2

1 , 2

∴k +1-2k>1,即 k -2k>0,∴k>2 或 k<0.

4? 4? ? 2? 2? ? ? ?? ? ? 10.已知 a= ? sin , cos ?, b ? ? ? sin , cos ? ,且 ? ∈ ?0 , ? . 3 3 3 3 ? 3? ? ? ? ?
(1)求

a· b 的最值; a?b

(2)若|ka+b|= 3 |a-kb| (k∈R),求 k 的取值范围. 解 (1)a?b=-sin
2 2 2

4? 2? 4? 2? ?sin +cos ?cos =cos2 ? , 3 3 3 3
2

|a+b| =|a| +|b| +2a?b=2+2cos2 ? =4cos ? .

? ?? ?1 ? ∵ ? ∈ ?0, ? ,∴cos ? ∈ ? ,1? ,∴|a+b|=2cos ? . ? 3? ?2 ?


a· b cos 2? 1 = =cos ? . a?b 2 cos ? 2 cos ? 1? 1 1 ? ≤t≤1, ? t ? ? ′=1+ >0, 2 ? 2t ? 2t 2

令 t=cos ? ,则 ∴t-

?1 ? 在 t∈ ? , 1? 上为增函数. ?2 ? 2t

1

∴-

1 1 1 ≤t≤ , 2 2 2t 1 1 ,最小值为- . 2 2
2 2

即所求式子的最大值为

(2)由题设可得|ka+b| =3|a-kb| , ∴(ka+b) =3(a-kb)
2 2

又|a|=|b|=1,a?b=cos2 ? ,∴cos2 ? =

1? k 2 . 4k

1 ? ?? 由 ? ∈ ?0 , ? ,得- ≤cos2 ? ≤1. 2 ? 3?
∴-

1? k 2 1 ≤ ≤1.解得 k∈[2- 3 ,2+ 3 ] ? {-1}. 4k 2

11.设 n 和 m 是两个单位向量,其夹角是 60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角. 解 由|m|=1,|n|=1,夹角为 60°,得 m?n=

1 . 2

n ? n2 = 7 . 则有|a|=|2m+n|= (2m ? n) 2 = 4m 2 ? 4m·

|b|= (2n ? 3m) 2 = 4n 2 ? 12m ? n ? 9m 2 = 7 . 而 a?b=(2m+n) ? (2n-3m)=m?n-6m +2n =设 a 与 b 的夹角为 ? ,
7 ? a· b 1 则 cos ? = = 2 =- .故 a,b 夹角为 120°. 7 a· b 2
2 2

7 , 2

3x 3x ? x x? 1 3 ? ? ? ?? 12.已知向量 a= ? cos ,? sin ?,b ? ? cos ,sin ? ,x∈ ?0, ? .若函数 f(x)=a?b- ? |a+b|的最小值为- ,求实数 ? 的 2 2? 2 2? 2 2 ? 2? ? ?
值. 解

? ?? ∵|a|=1,|b|=1,x∈ ?0, ? , ? 2?

∴a?b=cos

3x x 3x x cos -sin sin =cos2x, 2 2 2 2

|a+b|= (a ? b ) 2 = a 2 ? 2a ? b ? b 2 = 2 ? 2 cos 2 x =2 cos x =2cosx. ∴f(x)=cos2x- ? cosx=2cos x- ? cosx-1
2

?? ? =2 ? cos x ? ? 4? ?

2

-

?2
8

-1,cosx∈[0,1].

①当 ? <0 时,取 cosx=0,此时 f(x)取得最小值, 并且 f(x)min=-1≠-

3 ,不合题意. 2

②当 0≤ ? ≤4 时,取 cosx= 此时 f(x)取得最小值, 并且 f(x)min=-

? , 4

?2
8

-1=-

3 ,解得 ? =2. 2

③当 ? >4 时,取 cosx=1,此时 f(x)取得最小值, 并且 f(x)min=1- ? =解得 ? =

3 , 2

5 ,不符合 ? >4 舍去,∴ ? =2. 2


赞助商链接
相关文章:
2014高考真题向量专题练习(答案版)
2014高考真题向量专题练习(答案版)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014高考真题向量专题练习(答案版)_数学_高中教育_教育专区。平面...
2014平面向量理科
数平面向量 学 1.[2014· 辽宁卷理 5] 设 a,b,c 是非零向量,已知命题 p:若 a· b=0,b· c=0,则 a· c =0,命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥...
2014年平面向量
2014年平面向量_高考_高中教育_教育专区。2014 年高考数学理科分类汇编——平面向量 一、选择题 1、 (2014 大纲版全国卷理) 若向量 a, b 满足:a ? 1, (a...
2014 高考向量难题汇总
2014 高考向量难题汇总_数学_高中教育_教育专区。2014 高考 向量 难题 汇总2014 高考——平面向量向量的加减运算 1(2007 北京理)4.已知 O 是△ABC 所在平面内一...
2014年平面向量高考题及答案
2014年平面向量高考题及答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014年平面向量高考题及答案_数学_高中教育_教育专区。平面向量【知识点...
平面向量(2014)
平面向量(2014)_数学_高中教育_教育专区。高 三 年级 印数:150 学生姓名: 班级:高 ( )班 编制人: 何为难 审核人: 林锦波 2015 年 月 日 送印 平面...
2014平面向量高考题汇编
2014平面向量高考题汇编_数学_高中教育_教育专区。2014 高考题——平面向量 一、平面向量的概念及其线性运算 5.[2014?辽宁卷] 设 a,b,c 是非零向量,已知命题...
2014年高考题:向量集锦
2014年高考题:向量集锦_高考_高中教育_教育专区。( 2014 ·湖南高考文科·T 10 )与( 2014 ·湖南高考理科·T 16 )相同 在平面直角坐标系中, O 为原点, A...
2014年数学平面向量复习专题
2014年数学平面向量复习专题_数学_高中教育_教育专区。平面向量基本知识 1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向. 2.向量的表示方法: ...
2014.平面向量复习
2014.平面向量复习_高考_高中教育_教育专区。一、选择题 1 .已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x = ( ) 1 1 C. D.1 2 ...
更多相关文章: