当前位置:首页 >> 数学 >>

函数的单调性与最值(基础+复习+习题+练习)


课题:函数的单调性与最值
考纲要求:
① 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义; ② 会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值

教材复习 1. 函数单调性和单调区间的定义:
类别 图像 描述 增函数 自左向右 看: .... 图像是 减函数 自左向右 看: .... 图像是

y

/>y

O x1 x2 x A 一般地,设函数 f ( x ) 的定义域为 ,区间 I ? A ,如果对于区间 I 内任意两个
单调性

O x1 x2 x

自变量 x1 , x2 ? I

定义 单调 区间

当 x1 ? x2 时,都有



当 x1 ? x2 时,都有



那么, 就称 f ( x ) 在区间 I 上是增函数 有 ,区间 I 叫做 f ( x ) 的 2. 利用定义法证明单调性的一般步骤:① 3. 函数的最值

那么,就称 f ( x ) 在区间 I 上是减函数

若函数 f ( x ) 在区间 I 上是增函数或减函数,则称函数 f ( x ) 在这一区间具 ; ② ; ③ ;④

前提 条件 结论

?1? 对于任意 x ? I ,都有 ? 2 ? 存在 x0 ? I ,使得
M 为最大值

设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足

?1? 对于任意 x ? I ,都有 ? 2 ? 存在 x0 ? I ,使得
M 为最小值

4. 常见初等函数的单调区间①幂函数②指数函数③对数函数④三角函数⑤多项式函数 基本知识方法 1. 函数单调性的定义: ①如果函数 f ?x ? 对区间 D 内的任意 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,则 f ?x ? 在 D 内是增函数;当 x1 ? x 2 时都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,则 f ?x ? 在 D 内时减函数。
②设函数 y ? f ( x) 在某区间 D 内可导,若 f ? ? x ? ? 0 ,则 y ? f ( x) 为 x ? D 的增函 数;若 f ? ? x ? ? 0 ,则 y ? f ( x) 为 x ? D 的减函数.

2. 单调性的定义①的等价形式: f ?x1 ? ? f ?x2 ? 设 x1 , x2 ? ?a, b? ,那么 ? 0 ? f ?x ?在 ? a, b? 是增函数; x1 ? x2

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ? f ?x ? 在 ? a, b? 是减函数; x1 ? x2
37

想学好的人总有办法,

不想学习的人总有借口!

? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ??0 ?

f ( x) 在 ? a, b? 是减函数。

3. 复合函数单调性的判断: 4. 函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题. 即若 f ( x ) 在区间 D 上递增(递减)且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ( x1 , x2 ? D );
若 f ( x ) 在区间 D 上递递减且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 .( x1 , x2 ? D ). ①比较函数值的大小②可用来解不等式.③求函数的值域或最值等

5. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义
6. 判断函数的单调性的方法有:?1? 用定义;? 2 ? 用已知函数的单调性;? 3? 利用函数的导 数; ? 4 ? 如果 f ( x ) 的递增(减)区间是 D ,那么 f ( x ) 在 D 的任一非空子区间上也是增
(减)函数; ? 5 ? 图象法; ? 6 ? 复合函数的单调性结论: “同增异减” ; 域,函数的单调区间是定义域的子集;

? 7 ? 奇函数在对

称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性;

?8?

互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

(9) 在公共定义域内,利用函数的运算性质:若 f ( x) 、 g ( x) 同为增函数,则
① f ( x) ? g ( x) 为增函数;② f ( x) g ( x) 为增函数;③

1 ? f ( x) ? 0 ? 为减函数; f ( x)



f ( x)

? f ( x) ? 0? 为增函数;⑤ ? f ( x) 为减函数.
b

: y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) 在 ? ??, ? ?10? “对勾函数” ? x

? ?

? b? ? b ? 或 ? , ?? ? ? 上单调递增; a? ? a ?

在 ??

? ?

b ? ? b? ,0? 或 0 , ? ? 上是单调递减. ? ? a ? a? ?

?1? 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在 端点取到; ? 2 ? 开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
典例分析:
题型一:求函数的单调区间

7. 证明 函数单调性的方法: ?1? 利用单调性定义①; ? 2 ? 利用单调性定义②. .. 8. 函数的单调区间必须是定义域的子集. 9. 两条结论

问题 1. ?1? ( 07 辽宁文)函数 y ? log 1 ( x2 ? 5x ? 6) 的单调增区间为
2

?5 ? A. ? , ? ?? ?2 ?

B. (3, ? ?)

5? ? C. ? ??, ? 2? ?
38

D. (??, 2)
不想学习的人总有借口!

想学好的人总有办法,

? 2 ? 求下列函数的单调区间: 2 ① f ? x? ? x ? 4x ? 3 ② y ? log 1 ( x2 ? 4 x ? 3)
3

③ y ? 8 ? 2 x ? x2

题型二:判断或证明函数的单调性 ax 问题 2.①试讨论函数 f ( x) ? ? a ? 0? 在 ? ?1,1? 上的单调性. x ?1

②( 2000 全国,节选 ? 2 ? )设函数 f ( x) ?

? 2 ? 求证:当 a ≥1 时,函数 f ( x) 在区间 ?0, ??? 上是单调函数

x 2 ? 1 ? ax ,其中 a ? 0 . ?1? 略;

想学好的人总有办法,

39

不想学习的人总有借口!

题型三:利用函数的单调性求字母的取值范围

问题 3. ?1?( 06 北京文)已知 f ( x) ? ?
取值范围是

?(3 ? a) x ? 4a, x<1, 是 R 上的增函数, 那么 a 的 ?log a x, x ? 1
?3 ? C. ? ,3 ? ?5 ?
D.

A. ?1, ?? ?

B. ? ??,3?

?1,3?

? 2 ? 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,3] 上是减函数,求实数 a 的取值范围

题型四:函数的单调性的应用
1? 问题 4.?1? ( 07 福建)已知 f ( x) 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? ?? ? x?
1) B. (1 , ? ?) 取值范围是 A. (??,
C. (??, 0) (0, 1)

f (1) 的实数 x 的

D. (??, 0) (1, ? ?)

? 2 ? 若 f ?x ? ? x ? 2 ? lg 1 ? x ,则不等式 f ? x? ?x ?
1

1? x

?

? ?
40

1 ?? 1 ? < 的解集为 2 ?? ? 2
不想学习的人总有借口!

想学好的人总有办法,

题型五:单调性与最值

问题

1? 5.①函数 f ( x) ? ? ? ? ? log 2 ? x ? 2 ? 在区间 ??1,1? 上的最大值是 ? 3?

x

②( 2013 重庆)

? 3 ? a ?? a ? 6 ? ( ?6 ≤ a ≤ 3 )的最大值为 A. 9 B.

9 3 2 C. 3 D. 2 2

题型六:抽象函数的单调性 问题 6. ( 05 山东模拟)设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且对任意实数 x 、 y 都有
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) .求证: ?1? f ( x) 是奇函数; ? 2 ? 若当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 0 , 则 f ( x ) 在 R 上是增函数.

课后作业:

想学好的人总有办法,

41

不想学习的人总有借口!

1. 利用函数单调性定义证明: f ( x) = ? x ? 1 在 ? ??,1? 上是减函数

2. 函数 y ? log 1 ( x2 ? 2mx ? 3) 在 (??,1) 上为增函数,则实数 m 的取值范围
2

3. 已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 (??, ?1) 上是减函数,试求 a 的取值范围 x ?1

4. 已知 y ? loga (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 A. (0, B. (1,2) C. (0,2) D. [2,??) 1)

5. 下列函数中,在区间 ? ??,0? 上是增函数的是

想学好的人总有办法,

42

不想学习的人总有借口!

A. y ? x 2 ? 4 x ? 8

B. y ? l o g 1 ( ? x)
2

C. y ? ?

2 x

D. y ? 1 ? x

6. f ( x) 为 (??,??) 上的减函数, a ? R ,则 A. f (a) ? f (2a) B. f (a 2 ) ? f (a) C. f (a 2 ? 1) ? f (a) D. f (a 2 ? a) ? f (a)

在区间 ? ?7, ?3? 上是

7. ( 1991 全国)如果奇函数 f ( x) 在区间 ?3,7? 上是增函数,且最小值为 5 ,那么 f ( x)

A. 增函数且最小值为 ?5

B. 增函数且最大值为 ?5
D. 减函数且最大值为 ?5

C. 减函数且最小值为 ?5

8. 已知 y ? f ( x) 是偶函数,且在 ?0, ??? 上是减函数,则 f (1 ? x 2 ) 是增函数的区间是 A. [0,??) B. (??,0] C. [? 1 , 0 ) (? 1? , ) D. (??, ?1] (0,1]

9. ( 04 湖南文)若 f ( x) ? ? x2 ? 2ax 与 g ( x) ?
的取值范围是

a 在区间 x ?1

?1, 2? 上都是减函数,则 a
C. ? 0, 1? D. ? 0, 1?

A.

? ?1, 0? ?0,1? B. ? ?1, 0? ?0, 1?

10. ( 04 上海)若函数 f ( x) ? a x ? b ? 2 在 ?0, ??? 上为增函数,则实数 a 、 b 的范围是

11. 已知偶函数 f ( x) 在 [0, 2] 内单调递减, 若 a ? f (?1) ,b ? f (log1
2

1 ) ,c ? f (lg 0.5) , 4

想学好的人总有办法,

43

不想学习的人总有借口!

则 a 、 b 、 c 之间的大小关系是_____________

? ax , x ?1 ? 12.( 2012 兰州模拟) 已知函数 f ( x ) ? ?? 是 R 上的增函数, 则实数 a a? ?? 4 ? 2 ? x ? 2, x ≤ 1 ? ??
的取值范围是

A. (1 , ? ?)

B. ? 4,8?

C. (4, 8)

D. (1, 8)

13. 已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数

m 的取值范围.

14. 已知函数 f ( x) ?

1 1? x ? log 2 , 求函数 f ( x) 的定义域, 并讨论它的奇偶性和单调性. x 1? x

15. 设 a ? 0 , f ( x) ?

ex a ? 是 R 上的偶函数. ?1? 求 a 的值; a ex
44

想学好的人总有办法,

不想学习的人总有借口!

? 2 ? 证明 f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数.

★ ★ 16. ( 05 北京东城模拟)函数 f ( x) 对任意的 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1 ,并且当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 . ?1? 求证: f ( x) 是 R 上的增函数; ? 2 ? 若 f (4) ? 5 ,解不等式 f (3m2 ? m ? 2) ? 3

★ ★ 17. 已知函数 f ( x) 的定义域是 x ? 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1 , x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , ?1? 求证: f ( x) 是偶函数; ? 2 ? f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数;
想学好的人总有办法,
45

不想学习的人总有借口!

? 3? 解不等式 f (2x2 ?1) ? 2 .

走向高考:
1. ( 07 天津)在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ?,若 f ?x ? 在区间

?1,2? 是减函数,则函数 f ?x ? A. 在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B. 在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C. 在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D. 在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数
2. ( 09 陕西文) 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ?[0, ??) ( x1 ? x2 ) ,有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 A. f (3) ? f (?2) ? f (1) x2 ? x1
C. f (?2) ? f (1) ? f (3)

B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

w.w.w.k.s.5. u.c.o.m

?1? 3. ( 07 福建 ) 已知函数 f ?x ? 为 R 上的减函数,则满足 f ? ?x? ? ? f ?1? 的实数 x 的范围是 ? ?
想学好的人总有办法,
46

不想学习的人总有借口!

A. ?? 1,1?

B. ?0,1?

C. ?? 1,0? ? ?0,1?

D. ?? ?,?1? ? ?1,???

4. ( 2011 江苏) f ( x) ? log5 ? 2x ? 1? 的单调递增区间是

5. ( 07 重庆)已知定义域为 R 的函数 f ( x) 在 (8, ? ?) 上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) D. f (7) ? f (10) 为偶函数,则 A. f (6) ? f (7) B. f (6) ? f (9) C. f (7) ? f (9)

6. ( 05 山东)下列函数既是奇函数,又在区间 ??1,1? 上单调递减的是

A. f ( x) ? sin x B. f ( x) ? ? x ? 1 C. f ( x) ?

1 x 2? x a ? a ? x ? D. f ( x) ? ln ? 2 2? x

7. ( 2013 全国大纲)若函数 f ( x) ? x 2 ? ax ?
则 a 的取值范围是

1 ?1 ? 在区间 ? , ?? ? 是增函数, x ?2 ?
C. ?0,3? D. [3, ??)

A. ? ?1,0?

B. [?1, ??)

8. ( 05 重庆)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 A. ? ??,2? ; B. ? 2, ??? ; C. ? ??, ?2? ? 2, ??? ; D. ? ?2, 2?
想学好的人总有办法,
47

不想学习的人总有借口!

9. ( 2012 安徽)若函数 f ( x) ? 2x ? a 的递增区间是 ?3, ?? ? ,则 a ?

10. ( 89 全国)已知 f ( x) ? 8 ? 2x ? x2 , 若 g ( x) ? f (2 ? x2 ) ,那么 g ( x) A. 在 ? ?1,0? 上是减函数; B. 在 ? 0,1? 上是减函数; C. 在 ? ?2,0? 上是增函数; D. 在 ? 0, 2 ? 上是增函数;

想学好的人总有办法,

48

不想学习的人总有借口!


相关文章:
高中数学函数的单调性与最值习题及详解
高中数学函数的单调性与最值习题及详解_数学_高中教育_教育专区。高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解一、选择题 1.已知 f(x)=-x-x3,x∈[a,b...
函数的单调性和最值经典练习题
函数的单调性和最值经典练习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。汇聚各种题型的相关练习函数的单调性和最值 1.函数 y ? (2k ? 1) x ? b 在实数集上是...
高考总复习函数的单调性与最值习题及详解
高考总复习函数的单调性与最值习题及详解_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高考总复习函数的单调性与最值习题及详解_数学_高中教育_...
高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解
高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数试题 高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解 一、选择题 1....
函数的单调性与最值练习题
函数的单调性与最值练习题_数学_高中教育_教育专区。函数的单调性与最大(小)...2014年统计法基础知识精讲78份文档 笑翻神图 爆笑图片汇集 搞笑图片乐翻人 cs3...
...导数及其应用第讲函数的单调性与最值习题创新
2017 高考数学一轮复习 第二章 函数、 导数及其应用 第 2 讲 函数的 单调性与最值习题 A 组 基础巩固 一、选择题 1.(2014·北京理)下列函数中,在区间(0...
函数的单调性与最值练习题 (2)
(x)的最大、最小值. 15.已知 f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(x-1)<f(1-3x),求 x 的取值范围. 函数的单调性与最大(小)值练习题 一. 2...
函数的单调性与最值
与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念,复习中重点掌握:(1) 函数...函数单调性与最值练习题... 2页 1下载券 函数的单调性与最值练习... 3...
函数的单调性与最值练习题(适合高三)
函数的单调性与最值练习题学校:___姓名:___班级:___考号:___ 一、选择题...2012高考练习--函数的单... 5页 2下载券 高中数学高考总复习函数... 5页 ...
2014高考复习——函数的单调性与最值
§ 2.2 复习备考要这样做 数的最值,对参数进行讨论. 函数的单调性与最值 ...A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分...
更多相关标签: