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2017届四川省成都外国语学校新高三开学考试试卷 数学(文) word版含答案


成都外国语学校 2017 届高二(下)期末考试


命题人:李斌

学(文史类)
审题人:方兰英

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第 I 卷60 分,第Ⅱ卷 90 分,满 分 150 分.考试时间 120 分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷上答题无 效.

第 I 卷(共60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 A ? {3, x 2 }, B ? {x, y} ,若 A ? B ? {2} ,则 y 的值为( A.1 B.2 ) C.3+i D.-1+i C.4 ) D.3

2.设 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ??1 ? 2i ? ? ( A.3+3i B.-1+3i

3.设命题 p : 函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为

x?

?
2

? ;命题 q : 函数 y ? cos x 的图像关于直线 2
C. p ? q 为假

对称。则下列判断正确的是(



A. p 为真 D. p ? q 为真

B. ? q 为假

4.设 a ? 0.50.5 , b ? 0.30.5 , c ? log0.3 0.2 ,则 a, b, c 的大小关系为( A. c ? b ? a B. a ? b ? c C. b ? a ? c

) D. a ? c ? b

5.设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l 2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是( )

2

1 A. 6 2 C. 3
0

1 B. 3
D. 1

1 正视图

1 侧视图

俯视图 图 2

7.已知向量 a ? (1, 1 ? sin 20 ), b ? ( A.1 B. 2

1 , x) 共线,则实数 x 的值为( sin 550
C. 2 tan 35
0



tan 35 D.

0

?x ? y ? 2 ? 0 u ? 8.若实数 x, y 满足 ? y ? x ? 1 ? 0 ,设 u ? x ? 2 y, v ? 2 x ? y ,则 的最大值为( v ? x ?1 ?



A.1

B.

5 4

C.

7 5

D.2

9.已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点,满足 PB ? PC ? 2PA ? 0 ,现将一粒黄豆随机撒在

?ABC 内,则黄豆落在 ?PBC 内的概率是( ) 1 1 A. B. 4 3

C.

2 3

D.

1 2

10.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向抛 物线的准线 l 作垂线,垂足分别为 M 1 , N1 ,则 ?M 1 FN1 ? ( ) A. 45
0

B. 60

0

C. 90

0

120 D.

0

? R) 11 . 设 函 数 f ' ( x) 是 奇 函 数 f ( x) ( x 的 导 函 数 , f (?1) ? 0 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( x f' ( x )? f( x ? ) ,则使得 0
A. (??, ?1) ? (0,1) D. (0,1) ? (1, ??) 12.已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 2 ,函数
?? ? x ? 3?2 ? 1, x ? 0, ? 则关于 x 的方程 2 g ? x ? ? ?? 1? ?? x ? ? ? 1, x ? 0, 2? ??



B. (?1,0) ? (1, ??)

C. (??, ?1) ? (?1,0)

g? ? f ? x ?? ? ? a ? 0 ? a ? 0 ? 的实根个数取得最大值时,实数 a 的取值范围是(



A. ?1, ? 4

? 5? ? ?

B. ?1, ?

? 5? ? 4?

C. ?1, ? 4

? 5? ? ?

D. ?0, ? 4

? 5? ? ?

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. ) 13.某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度 的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都 在区间 [0.3, 0.9] 内,其频率分布直方图如图所示. 直方 图中的 a ? _________;

14.以平面直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系中,曲线 C 的极

坐标方程为 ? ? 2 cos ? ? ?

? ?

??

? .则曲线 C 的直角坐标方程为____________ 4?

15.在如右图所示的程序框图中,若输出 i 的值是 3, 则输入 x 的取值范围是____________

16.定义区间 (a, b), ?a, b ? , ? a, b?, ?a, b? 的长度均为 d ? b ? a , 多个区间并集 的长度为各区间长度之和,例如, (1, 2) ? ?3,5? 的长度 用 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数, 记 ?x? ? x ? ? x? , d ? (2 ? 1) ? (5 ? 3) ? 3 . 其中 x ? R .设 f ( x) ? ? x?? ?x?, g(x) ? x ?1 ,当 0 ? x ? k 时,不等式

f ( x) ? g ( x) 的解集区间的长度为 10,则 k ? _______.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (I)求 ?an ? 的通项公式;(II)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

18. (本小题满分 12 分) 根据调查,某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团,三个 社团参加的人数如下表所示: 社团 人数 街舞 320 围棋 240 武术 200

为调查社团开展情况,学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本, 已知从“街舞”社团抽取的同学8人。 (I) 求 n 的值和从“围棋”社团抽取的同学的人数; (II)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务, 已知 “围棋”社团被抽 取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选为监督职务的概率。

19. (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c . 已知
cos 2 A ? 3cos( B ? C) ?1 .

(Ⅰ)求角 A 的大小;

(Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

20. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? .已

的 知

PB ? PD ? 2, PA ? 6 .
(Ⅰ)证明: PC ? BD (Ⅱ)若 E 为 PA 的中点 , 求三菱锥 P ? BCE 体积. 的

21. (本小题满分 12 分)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A 和 B 分别是椭圆 C1:

x2 y 2 x2 y 2 C 和 : ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1(m ? n ? 0) 上的动点,已知 C1 的焦距为 2,且 2 a 2 b2 m2 n2
又当动点 A 在 x 轴上的射影为 C1 的焦点时, 点 A 恰在双曲线 2 y 2 ? x 2 ? 1 的 OA ? OB ? 0 , 渐近线上. (I) 求椭圆 C1 的标准方程; (II)若 C1 与 C2 共焦点,且 C1 的长轴与 C2 的短轴长度相等, 2 求|AB| 的取值范围;

22. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? x 2 . (1)求函数 h( x) ? f ( x) ? x ? 1 的最大值; (2)对于任意 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x2 ? x1 ,是否存在实数 m ,使

mg ( x2 ) ? mg ( x1 ) ? x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) 恒成立,若存在求出 m 的范围,若不存在,说明
理由; (3)若正项数列 ?an ? 满足 a1 ?
S
n

(1 ? an )an 1 1 ,且数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,试判 , ? 2 an?1 2 g (an )

断 2e n 与 2 ? 1的大小,并加以证明.

高二下期期末测试题 文科数学 命题人:李斌 审题人:方兰英 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. B 2. C 3. C 4. C 5. A 6. B 7. B

?x ? y ? 2 ? 0 ? 8. C 试题分析:画出不等式组 ? y ? x ? 1 ? 0 所表示的可行域,如图所示,则目标函数 ? x ?1 ?

y u x ? 2y x ,令 t ? y ,则 t 表示可行域内点 P( x, y) 与原点的斜 ? ? y x v 2x ? y 2? x 1 3 率的取值,当取可行域内点 A( , ) 时, t 取得最大值,此时最大值为 t ? 3 ; 2 2 1? 2?
当取可行域内点 B(1,1) 时, t 取得最小值,此时最小值为 t ? 1 , 此时可得,当 t ? 3 时,目标函数 9. D 10. C

u 1? 2? 3 7 ? ,故选 C. 有最大值,此时最大值为 v 2?3 5
11. A

12. A

【解析】 f ? x ? ? x ? 3x ? 2 , f ?( x) ? 3x 2 - 6 x ? 3x( x - 2) ,令 f ?( x) ? 0 ,得
3 2

x ? 0, x ? 2 , f ( x) 在 (-?,0) 上是增函数,在 (0,2) 上是减函数,在 (2,??) 上是增函数,
当 x ? 0 时, f ( x) 取最大值为 2,当 x ? 2 时取最小值 - 2 ;由函数 g ( x) 的图像可知,当

x ? -3 或 x ?

1 时, g ( x) ? 1 ; 2 1 , 2

(1)当 a ? 1 时,方程 g ? ? f ? x ?? ? ? a ? 0 ? a ? 0 ? ,则 f ( x) ? ?3 ,有一个实根, f ( x) ? 方程有三个 实根,此时关于 x 的方程 g ? ? f ? x ?? ? ? a ? 0 ? a ? 0 ? 共有 4 个实根;

(2)当 0 ? a ? 1 时,方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 ,则 f ( x) ? (?4,?3) ,方程只有一个实根,或

f ( x) ? (?3,?2) ,
方程只有一个实根,此时关于 x 的方程 g ? ? f ? x ?? ? ? a ? 0 ? a ? 0 ? 共有 2 个根; ( 3 )当 1 ? a ?

5 1 时 , 方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 , 则 f ( x) ? (0, ) ,方 程有 三个实 根, 或 4 2

1 f ( x) ? ( , 1) ,方 2
程有三个实根,此时关于 x 的方程 g ? ? f ? x ?? ? ? a ? 0 ? a ? 0 ? 共有 6 个实数根; (4)当 a ?

5 时,方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 ,有 f ( x) ? 0 ,方程有三个实根,或 f ( x) ? 1 , 4

方程有三个实根,此时关于 x 的方程 g ? ? f ? x ?? ? ? a ? 0 ? a ? 0 ? 共有 6 个实数根; (1) 当 a ?

5 ( 1, ? ?) 时,方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 ,有 f ( x) ? ,方程有 3 个或 2 个或 1 个 4

实根, 综上所述:关于 x 的方程 g ? ? f ? x ?? ? ? a ? 0 ? a ? 0 ? 的实根最多有 6 个,实数 a 的取值范围 是 (1, ] . 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. ) 13. 【答案】3 14.以平面直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ? ?

5 4

? ?

??

? .则曲线 C 的 4?

直角坐标方程为____________【答案】 ( x ?

2 2 2 2 ) ? (y ? ) ?1 2 2

15.在如图所示的程序框图中,若输出 i 的值是 3,则输入 x 的取值范围是____________ 【答案】(4, 10] 16.定义区间 (a, b), ?a, b ? , ? a, b?, ?a, b? 的长度均为 d ? b ? a , 多个区间并集的长度为各区 间长度之和,例如, (1, 2) ? ?3,5? 的长度 d ? (2 ? 1) ? (5 ? 3) ? 3 .用 ? x ? 表示不超过 x 的 最大整数,记 ?x? ? x ? ? x? ,其中 x ? R .设 f (x) ? ?x ?? ?x?, g (x) ? x ?1 ,当 0 ? x ? k 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集区间的长度为 10,则 k ? _______. 【答案】 12

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (I)求 ?an ? 的通项公式;(II)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

【答案】(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an

? a1 ? (n ?1)d

因为 ?

a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 ? 1 ,所以 ? . 解得, a1 ? 1, d ? . 2 ? a19 ? 2a9 ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d )
n ?1 1 2 2 2 . (Ⅱ) bn ? , ? ? ? 2 nan n(n ? 1) n n ? 1

所以 {an } 的通项公式为 an ?

所以 S n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

2 1

2 2

2 2

2 3

2 n

2 2n )? . n ?1 n ?1

18. (本小题满分 12 分) 根据调查,某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团,三个 社团参加的人数如下表所示: 社团 街舞 围棋 武术 为调查社团开展情况,学校社 320 240 200 人数 团管理部采用分层抽样的方 法从中抽取一个容量为 n 的样本,已知从“街舞”社团抽取的同学8人。 (I) 求 n 的值和从“围棋”社团抽取的同学的人数; (II)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务, 已知 “围棋”社团被抽 取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选为监督职务的概率。

n 8 1 ? n ? 19 ? ? …………………………………3 分 760 320 40 1 ? 6 …………………………………5分 从“围棋”社团抽取的同学 240 ? 40
18.解: (Ⅰ)? (Ⅱ)由(Ⅰ)知,从“围棋”社团抽取的同学为6人, 其中2位女生记为A,B,4位男生记为C,D,E,F ………6分 则从这6位同学中任选2人,不同的结果有 {A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F}, {C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.……………………8分

法1:其中含有1名女生的选法为 {A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},共8种; 含有2名女生的选法只有{A,B}1种. 至少有1名女同学共9种 ……………10分 故至少有1名女同学被选中的概率

9 3 = 15 5



………………12分

19. (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c . 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C) ?1 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

【答案】(Ⅰ)由 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 ,得 2cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,

即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 , 解 得 c o sA ? 去). 因为 0 ? A ? π ,所以 A ?

1 或 cos A ? ?2 ( 舍 2

π . 3

1 1 3 3 ? bc ? 5 3, 得 bc ? 20 . 又 (Ⅱ) 由 S ? bc sin A ? bc ? 2 2 2 4 b ? 5 ,知 c ? 4 .

由 余 弦 定 理 得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ? 16 ? 20 ? 21, 故
a ? 21 .

b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sin B sin C ? sin A ? sin A ? 2 sin 2 A ? ? ? . a a a 21 4 7
20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 , ?BAD ? 60? . 已知 PB ? PD ? 2, PA ?

6 .(Ⅰ)证明 : PC ? BD (Ⅱ)若 E 为

PA 的中点,求三菱锥 P ? BCE 的体积.
【答案】解:

(1)证明:连接 BD, AC 交于 O 点 ? PB ? PD

? PO ? BD
? BD ⊥ 面 PAC


又 ? ABCD 是 菱 形 ? BD ⊥ PC (2) 由

? BD ? AC 而 AC ? PO ? O
(1)

BD



PAC

S△ PEC ?

2 1 1 ?3 S△ PAC ? ? 6 ? 2 3 ? sin 45? = 6 ? 3 ? 2 2 2
1 1 1 1 ? S ?PEC ? BO ? ? 3 ? ? 2 3 2 2

VP ? BEC ? VB ? PEC ?

21. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A 和 B 分别是椭圆 C1:

x2 y 2 x2 y 2 C 和 : ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1(m ? n ? 0) 2 a 2 b2 m2 n2

上的动点,已知 C1 的焦距为 2,且 OA ? OB ? 0 ,又当动点 A 在 x 轴

上的射影为 C1 的焦点时,点 A 恰在双曲线 2 y 2 ? x 2 ? 1 的渐近线上. (I)求椭圆 C1 的标准 方程; 2 ( II )若 C1 与 C2 共焦点,且 C1 的长轴与 C2 的短轴长度相等,求 |AB| 的取值范围

22. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? x 2 . (1)求函数 h( x) ? f ( x) ? x ? 1 的最大值; (2)对于任意 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x2 ? x1 ,是否存在实数 m ,使

mg ( x2 ) ? mg ( x1 ) ? x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) 恒成立,若存在求出 m 的范围,若不存在,说明
理由; (3)若正项数列 ?an ? 满足 a1 ?
S
n

(1 ? an )an 1 1 ,且数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,试判 , ? 2 an?1 2 g (an )

断 2e n 与 2 ? 1的大小,并加以证明.

(3)由

(1 ? an )an (1 ? an )an 1 1 1 1 ? ? ? ? ? . 2 an?1 2 g (an ) 2an 2 an 2



1 1 1 1 ?1 ? ? ( ? 1) ,由 a1 ? ,得 2 an?1 2 an

1 1 2n?1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 ? 1 ? n ? an ? an 2 1 ? 2n?1
因为 an ? (0,1) ,由(1)知 x ? (0, ??) 时, x ? 1 ? ln x ? x ? ln( x ? 1) , 故 an ? ln(an ? 1) ? ln

2n ? 1 ? ln(2n ? 1) ? ln(2n?1 ? 1) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 1 ? 2n?1

1 0 2 1 n n ?1 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ?ln(2 ? 1) ? ln(2 ? 1) ? ??? ?ln(2 ? 1) ? ln(2 ? 1) ? ? ??? ?ln(2 ? 1) ? ln(2 ? 1) ? ? n 2 ?1 ? ln(2n ? 1) ? ln(20 ? 1) ? ln 2

即 2e

Sn

? 2n ? 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分


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