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河北省唐山一中2013届高三第一次月考数学(理)试题


?

??

唐山一中 2013 届高三第一次月考数学(理)试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A = A. - 1

{x

x > 1} , B =

{x

x < m } ,且 A ? B = R ,那么 m 的值可以是(



B. 0

C. 1

D. 2 ( )

2.若 sin2 ? ? 0 ,则角 ? 是 A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 3.在 ? A B C 中, A ? A.
?
4

B.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角
2 ,则 B ?

?
6

, a ? 1, b ? B.
3? 4

( D.
?
6

)

C.

?
4



3? 4



5? 6

4.为了得到函数 y = lo g 2

x - 1 的图象,可将函数 y = lo g 2 x 的图象上所有的点的(
1 2 1 2



A.纵坐标缩短到原来的 B.纵坐标缩短到原来的

倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度

C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 ? 1 5.“ ? ? ”是“ cos ? ? ”的
3 2





A .充分不必要条件 C .充要条件
?1? 6. 设 a ? lo g 1 3 , b ? ? ? ?3? 2
0 .3

B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 , c ? ln ? ,则
?c?b

( C. c
? a ?b



A. a

?b?c

B. a

D. b

? a?c

7.设直线 m、n 和平面 ? 、 ? ,下列四个命题中,正确的是 A. 若 m // ? , n // ? , 则 m // n C. 若 ?
? ? , m ? ? ,则 m ? ?





B. 若 m D. 若 ?
?
2

? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则 ? // ? ? ? , m ? ? , m ? ? , 则 m // ?

8. 已知函数 y ? sin ( ? x ? ? ), (? ? 0, | ? |? A.
?
6

) 的简图如下图,则 3

? ?

的值为

(

)

B.

6

?

C.

?
3

D.

?

?
2

??

9.若函数 f(x)=2x -lnx 在其定义域内的一个子区间 (k-1,k+1)内不是单调函数,则实数 k 的取值范 .. 围是 A.[1,+∞) 3 B.[1,2) C.[1,2) ( )

3 D.[2,2)

10.如右图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AC=2,BC= 3, 是 AC1 和 BB1 的中点,则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 π A. 6 π B. 4 π C. 3 π D. 2

D 、 E 分别
( )

11 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,
x f ( x)?
'

x

2

f ( x) f (x) ? 0 ,且 f ( ? 2) ? 0 ,则不等式 ? 0 的解集是 x

(

)

A . ( ? 2, 0) ∪ (0, 2 ) C. ( ? 2, 0) ∪ (2, ? ? ) 12.点 P ( x , y ) 是曲线 C : y =
1 x

B. ( ? ? , ? 2 ) ∪ (2, ? ? ) D. ( ? ? , ? 2 ) ∪ (0, 2 )
( x > 0 ) 上的一个动点,曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分别交

于 A , B 两点, O 是坐标原点. 给出三个命题: P A = P B ; ? OB 点 ① ② A

的周长有最小值 4 + 2 2 ;

③曲线 C 上存在两点 M , N ,使得 ? O M N 为等腰直角三角形.其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.0

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将正确答案写在答题纸上。 ) 13.若 tan ? =
1 2

,则 co s( 2 ? +

? ?

)=

.

? x ? 1, ( ? 1 ? x ? 0 ) ? 14.函数 f ( x ) ? ? ? 的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为 ? ? co s x , (0 ? x ? ) ? 2

15.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等 的等腰直角三角形, 若该几何体的所有顶点在同一球面上, 则球的表面积是_____. 16. 有下列命题: ①在函数 y ? co s( x ? ②函数 y ? log
?
4
2

) co s( x ?

?
4

) 的图象中,相邻两个对称中心的距离为 ? ;

| 3 x - m | 的图象关于直线 x ?
2

1 2

对称,则 m ?

3 2



③关于 x 的方程 ax - 2 x ? 1 ? 0 有且仅有一个实数根,则实数 a ? 1 ;

?
?

??

④已知命题 p : ? x ? R ,都有 sin x ? 1 ,则 p 是: ? x ? R ,使得 sin x ? 1 . 其中真命题的序号是_______. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
( 17. (本小题满分 10 分)函数 f ( x ) ? sin x ? cos x ? 1 在 P x 0, y 0)点处的切线平行于直线
2x 2 y ? 3 ? 0 ,求 y 0 的值。
2

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? co s ( x ? (1)求 f (
π 12 ) 的值; π

π 6

) ? sin x .
2

(2)若对于任意的 x ? [0, ] ,都有 f ( x ) ? c ,求实数 c 的取值范围.
2

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? 2x 图像关于直线 x ? 1 2

3

? ax

2

? bx ? m 的导函数为 f ? ( x ) , 若函数 y ? f ? ( x ) 的

对称,且 f ? (1) ? 0 .

(1)求实数 a、b 的值 (2)若函数 f ( x ) 恰有三个零点,求实数 m 的取值范围。 20. (本小题满分 12 分)在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边为 a , b , c ,已知 sin (1)求 cos C 的值; (2)若 ? ABC 的面积为
3 15 4

C 2

?

10 4



,且 sin

2

A ? sin

2

B ?

13 16

sin

2

C ,求 a , b , c 的值。

21. (本小题满分 12 分)如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. A B ∥ C D ,AB ? BC ,AB ? 2 CD ? 2 BC ,E A ? E B . (1)求证: A B ? D E ; (2)求直线 EC 与平面 A B E 所成角的正弦值; (3)线段 EA 上是否存在点 F ,使 EC // 平面 FBD ? 若存在,求出
EF EA
B A D E

;若不存在,说明理由.
C

22. ( 本 小 题 满 分
f ( x) ? (a ? 1 1

12

分 ) 已 知 函 数

) ln x ? ? x ( a ? 1 ) . a x (1)试讨论 f ( x ) 在区间 (0 , 1) 上的单调性;

(2)当 a ? ? 3 , ? ? ? 时,曲线 y ? f ( x ) 上总存在相异两点 P ( x1 , f ( x1 )) ,Q ( x 2 , f ( x 2 )) ,使得曲线

?

??
6 5

y ? f ( x ) 在点 P , Q 处的切线互相平行,求证: x1 ? x 2 ?

.

唐山一中 2012~2013 学年第一学期高三第一次月考 理科数学参考答案

?

??

18. 解: (1) f (

π 12

) ? co s ( ?
2

π 12

) ? sin

2

π 12

? co s

π 6

?

3 2



??????4 分

19.解: (1) f ? ( x ) ? 6x 则其对称轴为 x ? a 6

2

? 2 ax ? b

,由已知可得 -

a 6

? -

1 2

,所以 a=3 ??????5 分

又由 f ? (1) ? 0 可得,b=-12 (2)由(1)得: f ( x ) ? 2x ? 3x
3 2

- 12 x ? m

?

??

20.解: (1) cos C ? 1 ? 2 sin (2) ? sin
2

2

C

?1? 2?(

10 4

)

2

?1?

5 4

? ?

1 4
2

?? 4 分
?b
2

A ? sin

2

B ?
1 4

2 13

sin

2

C ,由正弦定理可得: a
1 ? cos
2

?

13 16

c

2

16

由(1)可知 cos C ? ?
S ? ABC ? 1 2
2 2

, 0 ? C ? ? ? sin C ?

C ?

15 4

ab sin C ?

3 15 4
2

,得到 ab ? 6

…………………………8 分

由余弦定理 c ? a ? b ? 2 ab cos C 可得 c ?
2

13 16

c ?3 c
2

2

? 16 , c ? 0 ,? c ? 4

…………………………10 分
?a ? 3 ? 所 以 ?b ? 2 或 ?c ? 4 ?

? a 2 ? b 2 ? 13 ?a ? 3 ?a ? 2 由 ? 可 得 ? 或 ? , ?b ? 2 ?b ? 3 ? ab ? 6

?a ? 2 ? ?b ? 3 ?c ? 4 ?

???12 分

21.解: (1)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB . 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2 CD ? 2 BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED . ??????4 分

(2)解法 1:因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 AB ? BC 所以 BC⊥平面 ABE 则 ? CEB 即为直线 EC 与平面 A B E 所成的角 设 BC=a,则 AB=2a, BE ?
2 a ,所以 CE ?

3a
3 3

则直角三角形 CBE 中, sin ? CEB ?

CB CE

?

1 3

?

?

??
??????8 分

即直线 EC 与平面 A B E 所成角的正弦值为

3 3



(3)解:存在点 F ,且 证明如下:由 EF ?
1 3

EF EA

?

1 3 1 3

时,有 EC // 平面 FBD .
,0 , ? 1 3
?v ? ?v ?

EA ? ( ?

) , F (?

1

,0 ,

2

) ,所以 FB ? (

4 3

,0 , ?

2 3

).

设平面 FBD 的法向量为 v ? ( a , b , c ) ,则有 ?
? ? a ? b ? 0, ? 所以 ? 4 2 ? a ? z ? 0. 3 ?3

3 3 ???? ? B D ? 0, ??? ? ? FB ? 0.

取 a ? 1 ,得 v ? (1,1, 2 ) .

因为 EC ? v ? (1,1, ? 1) ? (1,1, 2 ) ? 0 ,且 EC ? 平面 FBD ,所以 EC // 平面 FBD . 即点 F 满足 22.解:
a? 1 a ? x 1 x
2

EF EA

?

1 3

时,有 EC // 平面 FBD .

??????12 分

x ? (a ?
2

1 a

)x ? 1 ? ?

( x ? a )( x ? x
2

1 a

)

(1)由已知 x ? 0 , f ? ( x ) ?

?1 ? ? x

2

.

?

??
1 a ? 1 ,且 a ? 1 a

由 f ?( x ) ? 0 ,得 x1 ? 所以在区间 (0 ,
1

1 a

, x2 ? a .

因为 a ? 1 ,所以 0 ?
1



, 1) 上, f ? ( x ) ? 0 . a a 1 1 故 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , 1) 上单调递增. a a

) 上, f ? ( x ) ? 0 ;在区间 (

?????6 分


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