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江苏省如皋中学201606阶段练习高二数学(理科)附加题


江苏省如皋中学 2015—2016 学年度第二学期阶段练习 高二数学(理 科) 2016.5
Ⅱ试题(附加题)
(时间:30 分钟 满分:40 分)
21.(本题满分 10 分)
?1? 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 3 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的变换将 ?1?

23. (本题

满分 10 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形,且 AB ? 1 , BC ? 2 , ?ABC ? 60? , E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面 ABCD . (1)若 DE ? A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值; (2)在(1)的条件下,试求二面角 C ? A1D ? E 的余弦值.

点 (?1, 2) 变换成 (9,15) ,求矩阵 M .

22. (本题满分 10 分)
?1 0 ? ?0 m ? 已知曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1 ,对它先作矩阵 A ? ? 对应的变换,再作矩阵 B ? ? ? ?对 ?0 2? ?1 0 ?

24. (本题满分 10 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABEF ? 平面 ABCD , EF // AB , ?BAF ? 90? , AD ? 2 , AB ? AF ? 2EF ? 1,点 P 在棱 DF 上. (1)若 P 是 DF 的中点,求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (2)若二面角 D ? AP ? C 的余弦值为
F E P

应的变换,得到曲线 C2 : x ? y 2 ? 1 ,求实数 m 的值. 4

2

6 ,求 PF 的长度. 3

A

D

B

C

1

三、附加题: ?a 21.设 M ? ? ?c

b? ?a + b ? 3, ? a b ? ?1? ?1? ?3 ? ,则 ? -------------------------------------3 分 ? ?1? ? 3 ?1? ? ?3 ? ,故 ? d? c d ? ?? ? ?? ? ? ? ?c + d ? 3 . ??a + 2b ? 9, ? a b ? ? ?1? ? 9 ? ---------------------------------------6 分 ? c d ? ? 2 ? ? ?15? ,故 ? ? ?? ? ? ? ??c + 2d ? 15 . ? ?1 4? 联 立以上两方程组解得 a ? ?1, b ? 4, c ? ?3, d ? 6 ,故 M = ? ? ------------10 分 ? ?3 6 ?

??? ? ???? ? AE ? A1 D ??? ? ???? ? 6 设异面直线 AE 与 A1 D 所成角为 ? ,则 cos ? ? cos ? AE , A1 D ? ? ??? ? ???? ? ? 6 AE ? A1 D

所以异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值为 分

6 . 6

----------------------------------5

???? ???? ? 3 3 (2)由(1)可知 DE ? ( , ? , 0) , A1D ? (0,2, ? 2) , 2 2

?0 m ? ?1 0 ? ?0 2 m ? 22.解:BA ? ? ?? ??? ? ?1 0 ? ?0 2 ? ?1 0 ?

------------------------------2 分

???? ? ? ? ? 3x 3 y ? ? ? ? ? ?0 ? DE ? n1 ? 0 ? 设平面 A1 DE 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 ????? 即? 2 , 2 ? ? ? ? ? ? A1 D ? n1 ? 0 ? 2 y ? 2 z ? 0 ?

设 P ? x0 , y0 ? 是曲线 C1 上的任一点,它在矩阵 BA 变换作用下变成点 P? ? x?, y? ? ,则
? x? ? ?0 2m ? ? x0 ? ? 2my0 ? ? y ? ? ? ?1 0 ? ? y ? ? ? x ? ? ? ? ?? 0? ? 0 ?

? ? ? 令 y ? 1 得平面 A1 DE 的一个法向量为 n1 ? ( 3,1, 2) .
???? ???? ? 3 1 , , 0) , A1D ? (0,2, ? 2) , 又 CD ? ( ? 2 2

---------------------------------5


x ? y ?, ? x ? ? 2my0 , ? ? 0 则? 即? y ? 1 x ?, ? y ? ? x0 , ? ? 0 2m

----------------------------------------8

??? ? ?? ? ? ?? ? ? CD ? n2 ? 0 ?? 3x ? y ? 0 ? 设平面 CA1 D 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,则 ????? 即? 2 , 2 ? ?? ? ? ? A1 D ? n2 ? 0 ? 2 y ? 2 z ? 0 ?


? 又点 P 在曲线 C1 上,则 y ?2 ? x 2 ? 1 , m2 ? 1 ,所以, m ? ?1 . 4m 分
2

?? ? 令 y ? 3 得平面 A1 DE 的一个法向量为 n2 ? (1, 3, 6) ,
-------------------------10
?? ? ?? ? n1 ? n2 ?? ? ?? ? 2 5 二面角 C ? A1D ? E 的大小为 ? ,且 ? 为锐角,则 cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ? ?? , ? ?? ? ? 5 n1 ? n2

所以二面角 C ? A1D ? E 的余弦值为 23.解:以 A 为原点,过 A 且垂直与 BC 的直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AA1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz . 设 AA1 ? a(a ? 0) ,则 A(0,0,0) , D(0, 2,0) , A1 (0,0, a) , E ( (1)由 DE ? A1 E 即 (
3 1 , , 0) . 2 2

2 5 . 5

-------------------------------------10 分

24.解:(1)因为 ?BAF ? 90? ,所以 AF ⊥ AB ,因为平面 ABEF ? 平面 ABCD , 且平面 ABEF ? 平面 ABCD ? AB , 所以 AF ⊥平面 ABCD , ??? ? ???? ???? z 因为四边形 ABCD 为矩形,所以以 AB , AD , AF 为

?

?

3 2 1 3 1 ) ? (2 ? ) 2 ? 0 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? a 2 ,解得 a ? 2 . 2 2 2 2

??? ? ???? ? 3 1 故 AE ? ( , , 0) , A1D ? (0,2, ? 2) , 2 2

正交基底建立如图所示空间直角坐标系 A ? xyz . 1 1 所以 B(1,0,0) , E ( ,0,1) , P(0,1, ) , C (1, 2,0) . 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 所以 BE ? (? ,0,1) , CP ? (?1, ?1, ) , 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BE ? CP 4 5 ? ??? ? ? 所以 cos ? BE, CP ?? ??? 15 , BE ? CP

F E P

A B x C

D y

2

即异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值为

? ? ? (2)因为 AB ? 平面 ADF ,所以平面 APF 的法向量为 n1 ? (1,0,0) . ??? ? ???? 设 P 点坐标为 (0, 2 ? 2t , t ) ,在平面 APC 中, AP ? (0,2 ? 2t, t ) , AC ? (1,2,0) , ?? ? 2t ? 2 ), 所以平面 APC 的法向量为 n2 ? (?2,1, t ?? ? ?? ? 所以, n1 ? n2 ?? ? ?? ? 2 6 cos ? n1 , n2 ?? ?? ? ? ?? ? ? 3 2t ? 2 2 n1 ? n2 (?2)2 ? 1 ? ( ) t
解得 t ?
2 ,或 t ? 2 (舍) . 3

4 5 . 15

--------------------------5 分

所以 PF ?

5 . 3

-------------------------10 分

3


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