当前位置:首页 >> 数学 >>

2.3.2 抛物线的简单几何性质


高中数学· 选修1-1· 人教A版

2.3.2

抛物线的简单几何性质

2.3.2 抛物线的简单几何性质

预习导学

课堂讲义

当堂检测

预习导学

2.3.2

抛物线的简单几何性质

[学习目标] 1 .了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性

质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

预习导学
[知识链接]

2.3.2

抛物线的简单几何性质

类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图象,说出抛物线y2=2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证? 答案 (1)范围:x≥0,y∈R; (2)对称性:抛物线y2=2px (p>0)关于x轴对称;

(3)顶点:抛物线的顶点是坐标原点;
(4) 离心率:抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离的 比叫抛物线的离心率.用e表示,由定义可知e=1.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

预习导学
[预习导引] 1.抛物线的几何性质
标准 方程 y2 = 2px(p>0) y2 =

2.3.2

抛物线的简单几何性质

x2 = 2py(p>0)

x2 = -2py(p>0)

-2px(p>0)

图形

预习导学

课堂讲义

当堂检测

预习导学

2.3.2

抛物线的简单几何性质

范围 性 对称轴 质 顶点

x≥0 y∈R x轴

x≤0 , y∈R x轴

y≥0 x∈R, y轴 (0,0)

x∈R,y≤0 y轴

离心率

e =1

预习导学

课堂讲义

当堂检测

预习导学

2.3.2

抛物线的简单几何性质

2.焦点弦 直线过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F,与抛物线交于 A(x1,y1)、 p p B(x2,y2)两点,由抛物线的定义知,|AF|=x1+2,|BF|=x2+2, 故|AB|= x1+x2+p .

预习导学

课堂讲义

当堂检测

预习导学

2.3.2

抛物线的简单几何性质

3.直线与抛物线的位置关系 直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程 k2x2+2(kb-p)x+b2=0 的解的个数.当k≠0时,若

Δ>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点;当Δ=0时,直
线与抛物线有一个公共点;当Δ<0时,直线与抛物线 ,此时直线与抛物线有 一 个公共点. 没有 公共点.当k=0时,直线与抛物线的对称轴 平行或重合

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义

2.3.2

抛物线的简单几何性质

要点一 抛物线的几何性质 例1 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 9x2 + 4y2=36短

轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方
程及抛物线的准线方程.

x2 y2 解 椭圆的方程可化为 4 + 9 =1, 其短轴在 x 轴上, ∴抛物线的对称轴为 x 轴,
预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义

2.3.2

抛物线的简单几何性质

∴设抛物线的方程为 y2=2px 或 y2=-2px(p>0). p ∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3,即2=3, ∴p=6. ∴抛物线的标准方程为 y2=12x 或 y2=-12x, 其准线方程分别为 x=-3 和 x=3.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义

2.3.2

抛物线的简单几何性质

规律方法

(1)注意抛物线各元素间的关系:抛物线的焦点始终

在对称轴上,抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点,抛物 线的准线始终与对称轴垂直,抛物线的准线与对称轴的交点和 焦点关于抛物线的顶点对称. (2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中,通过定义的

运用,实现两个距离之间的转化,简化解题过程.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义

2.3.2

抛物线的简单几何性质

跟踪演练 1

x2 y2 已知双曲线方程是 8 - 9 =1,求以双曲线的右顶

点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
解 x2 y2 p 因为双曲线 8 - 9 =1 的右顶点坐标为(2 2,0),所以2=

2 2,且抛物线的焦点在 x 轴正半轴上,所以,所求抛物线方 程为 y2=8 2x,其准线方程为 x=-2 2.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义
要点二 抛物线的焦点弦问题 例2

2.3.2

抛物线的简单几何性质

已知抛物线y2=6x,过点 P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被
设直线上任意一点坐标为(x, y), 弦两端点 P1(x1, y1), P2(x2,

点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
解 y2 ) .
2 ∵P1,P2 在抛物线上,∴y2 = 6 x , y 1 1 2=6x2.

两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). y 1 -y 2 6 ∵y1+y2=2,∴k= = =3, x 1 -x 2 y 1 +y 2
预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义

2.3.2

抛物线的简单几何性质

∴直线的方程为 y-1=3(x-4),即 3x-y-11=0.
2 ? ?y =6x, 由? ? ?y=3x-11,

得 y2-2y-22=0,

∴y1+y2=2,y1· y2=-22. ∴|P1P2|= 1 2 2 230 1+9 2 -4×?-22?= 3 .

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义

2.3.2

抛物线的简单几何性质

规律方法

(1)解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义

在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问
题,从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义

2.3.2

抛物线的简单几何性质

跟踪演练2

已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线

相交于A、B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;

(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
解 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60° , 所以其斜率 k=tan 60° = 3, 3 又 F(2,0).

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义

2.3.2

抛物线的简单几何性质

3 所以直线 l 的方程为 y= 3(x-2). y2=6x, ? ? 联立? 3 y= 3?x-2? ? ?
预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义
9 消去 y 得 x -5x+4=0.
2

2.3.2

抛物线的简单几何性质

若设 A(x1,y1),B(x2,y2).则 x1+x2=5, p p 而|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+p. ∴|AB|=5+3=8. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知 p p |AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2 =x1+x2+p=x1+x2+3=9,

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义

2.3.2

抛物线的简单几何性质

所以 x1+x2=6,于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3, 3 又准线方程是 x=-2, 3 9 所以 M 到准线的距离等于 3+2=2.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义

2.3.2

抛物线的简单几何性质

要点三 直线与抛物线的位置关系 例3 已知抛物线的方程为 y2=4x ,直线l过定点 P( -2,1) ,斜率

为 k ,k 为何值时,直线 l 与抛物线 y2 = 4x :只有一个公共点;有

两个公共点;没有公共点?
解 由题意,设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2).
? ?y-1=k?x+2?, 由方程组? 2 ? ?y =4x,

(*)

可得 ky2-4y+4(2k+1)=0.①
预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义
1 把 y=1 代入 y =4x,得 x=4.
2

2.3.2

抛物线的简单几何性质

(1)当 k=0 时,由方程①得 y=1.

1 这时,直线 l 与抛物线只有一个公共点(4,1). (2)当 k≠0 时,方程①的判别式为 Δ=-16(2k2+k-1). 1° 由 Δ=0,即 2k2+k-1=0, 1 解得 k=-1,或 k=2.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义

2.3.2

抛物线的简单几何性质

1 于是,当 k=-1,或 k=2时,方程①只有一个解,从而方程组 (*)只有一个解.这时,直线 l 与抛物线只有一个公共点. 2° 由 Δ>0,得 2k2+k-1<0, 1 解得-1<k<2. 1 于是,当-1<k<2,且 k≠0 时,方程①有两个解,从而方程组 (*)有两个解.这时,直线 l 与抛物线有两个公共点.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义
3° 由 Δ<0,即 2k2+k-1>0, 1 解得 k<-1,或 k>2.

2.3.2

抛物线的简单几何性质

1 于是,当 k<-1,或 k>2时,方程①没有实数解,从而方程组(*) 没有解.这时,直线 l 与抛物线没有公共点. 综上,我们可得 1 当 k=-1,或 k=2,或 k=0 时,直线 l 与抛物线只有一个公 共点;
预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义

2.3.2

抛物线的简单几何性质

1 当-1<k<2,且 k≠0 时,直线 l 与抛物线有两个公共点; 1 当 k<-1,或 k>2时,直线 l 与抛物线没有公共点.

规律方法

直线与抛物线交点的个数,等价于直线方程、抛物

线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得 到的方程二次项系数为 0 的情况.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义
跟踪演练 3

2.3.2

抛物线的简单几何性质

如图,过抛物线 y2=x 上一点 A(4,2)作倾斜角互

补的两条直线 AB,AC 交抛物线于 B,C 两 点,求证:直线 BC 的斜率是定值.

证明 设 kAB=k(k≠0), ∵直线 AB,AC 的倾斜角互补, ∴kAC=-k(k≠0), ∵AB 的方程是 y=k(x-4)+2.
? ?y=k?x-4?+2, 由方程组? 2 ? ?y =x,

预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义
消去 y 后,整理得

2.3.2

抛物线的简单几何性质

k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0. ∵A(4,2),B(xB,yB)是上述方程组的解. 16k2-16k+4 ∴4· xB= , k2 4k2-4k+1 即 xB= . k2 以-k 代换 xB 中的 k, 4k2+4k+1 得 xC= , k2
预习导学

课堂讲义

当堂检测

课堂讲义
yB-yC ∴kBC= xB-xC

2.3.2

抛物线的简单几何性质

k?xB-4?+2-[-k?xC-4?+2] = xB-xC k?xB+xC-8? = = xB-xC 1 =-4. 所以直线 BC 的斜率为定值.
预习导学

8k2+2 k? k2 -8? -8k k2

课堂讲义

当堂检测

当堂检测

2.3.2

抛物线的简单几何性质

1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长 为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( A.y2=8x C.y2=8x或y2=-8x B.y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y )

答案 C
解析 设抛物线y2=2px或y2=-2px(p>0),p=4.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

当堂检测

2.3.2

抛物线的简单几何性质

2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离, 则点P的坐标为( )

1 2 A.(4,± 4 ) 1 2 C.(4, 4 )
答案 B

1 2 B.(8,± 4 ) 1 2 D.(8, 4 )

预习导学

课堂讲义

当堂检测

当堂检测

2.3.2

抛物线的简单几何性质

解析

由题意知, 点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的距离,

1 因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线上,而 F(4,0),所以 P 点 1 2 1 的横坐标为8,代入抛物线方程得 y=± 4 ,故点 P 的坐标为(8, 2 ± 4 ),故选 B.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

当堂检测

2.3.2

抛物线的简单几何性质

3.抛物线 y=4x2 上一点到直线 y=4x-5 的距离最短,则该点坐 标为( A.(1,2) 1 C.(2,1)
答案 C

) B.(0,0) D.(1,4)

预习导学

课堂讲义

当堂检测

当堂检测
解析

2.3.2

抛物线的简单几何性质

因为 y=4x2 与 y=4x-5 不相交,设与 y=4x-5 平行的

直线方程为 y=4x+m.
2 ? ?y=4x , 则? ? ?y=4x+m

?4x2-4x-m=0.①

设此直线与抛物线相切有 Δ=0, 即 Δ=16+16m=0,∴m=-1. 1 将 m=-1 代入①式,x=2,y=1, 1 所求点的坐标为(2,1).
预习导学

课堂讲义

当堂检测

当堂检测

2.3.2

抛物线的简单几何性质

4.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l 的方程是( )

A.6x-4y-3=0
C.2x+3y-2=0 答案 A
解析

B.3x-2y-3=0
D.2x+3y-1=0

设直线 l 的方程为 3x-2y+c=0,抛物线 y2=2x 的焦点

1 1 F(2,0),所以 3×2-2×0+c=0, 3 所以 c=-2,故直线 l 的方程是 6x-4y-3=0.选 A.
预习导学

课堂讲义

当堂检测

当堂检测

2.3.2

抛物线的简单几何性质

1.讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程;利
用几何性质,也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.直线与抛物线有一个交点,是直线与抛物线相切的必要不充 分条件.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

当堂检测

2.3.2

抛物线的简单几何性质

3.直线与抛物线的相交弦问题共有两类,一类是过焦点的弦, 一类是不过焦点的弦.解决弦的问题,大多涉及到抛物线的 弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线

联立,转化为关于x或y的一元二次方程,然后利用根与系数
的关系,这样避免求交点.尤其是弦的中点问题,还应注意 “点差法”的运用.

预习导学

课堂讲义

当堂检测

2.3.2

抛物线的简单几何性质

再见
预习导学

课堂讲义

当堂检测


赞助商链接
相关文章:
2、3、2抛物线的简单几何性质
232 抛物线的简单几何性质(2 课时)学案编写者:丰都县职业教育中心数学教师秦红伟 一、 【学习目标】 (约 2 分钟) 1.掌握抛物线的简单几何性质和直线与...
2.3.2 抛物线的简单几何性质(一)
2.3.2 抛物线的简单几何性质(一)_数学_高中教育_教育专区。鸡西市第十九中学高一数学组 鸡西市第十九中学学案 2015 年( 学习 目标 重点 难点 )月( )日 班级...
2.3.2抛物线的简单几何性质
课题:2.3.2 抛物线的简单几何性质(1)最新 1.掌握抛物线定义与标准方程。 考纲 2.理解抛物线焦点、准线的意义。 3.掌握用定义法与待定系数法求抛物线的标准方程...
2.3.2抛物线的简单几何性质
2.3.2 抛物线的简单几何性质 1.顶点在原点,对称轴为 y 轴,顶点到准线的距离为 4 的抛物线方程是( ) 2 2 A.x =16y B.x =8y 2 C.x =±8y D.x...
《2.3.2抛物线的简单几何性质》教学案2
2.3.2抛物线的简单几何性质》教学案2 - 《抛物线的简单几何性质》教学案 教学目的: 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质; 2.能根据抛物线的...
2.3.2 抛物线的简单几何性质
2.3.2 抛物线的简单几何性质_数学_高中教育_教育专区。抛物线的简单几何性质今日推荐 89份文档 爆笑大撞脸 超爆笑笑话 有趣及爆笑图片汇集 绝对经典搞笑照片67份文...
2-3-2 抛物线的简单几何性质
2-3-2 抛物线的简单几何性质_数学_高中教育_教育专区。基础巩固强化 一、选择题 1.已知 P(8,a)在抛物线 y2=4px 上,且 P 到焦点的距离为 10, 则焦点到...
§2.3.2抛物线的简单几何性质学案
(0,0) 2014/10/8 §2.3.2 抛物线的简单集合性质学案 抛物线的简单几何性质学案坐标 离心率对称轴焦半径 准线 方程 p 的几 何意 义通径 e=1 e=1 e=1...
2.3.2抛物线的简单几何性质(1)
课题:抛物线的简单几何性质教学目的: 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质; 2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点...
2.3.2抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质(1) 20页 2财富值 §2.3.2抛物线的简单几何性... 8页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此...
更多相关文章: