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【精品推荐】北京2013届高三最新文科试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题7:立体几何


【精品推荐】北京 2013 届高三最新文科试题分类汇编(含 9 区一模及上学期 期末试题精选)专题 7:立体几何
一、选择题 1 . (2013 届北京市延庆县一模数学文)一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大

的面积是

(7 题图)

( A. 2 个几何体的侧面积是 . A. (1+ 2)cm

2 C. (4 + 2)cm2 B . D. (5 + 2)cm2 B. 2 2 C. 3 D. 2 3 (



2 . (2013 届北京东城区一模数学文科)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm), 那么这



(3+ 2)cm2

3 . (2013 届北京丰台区一模文科)某四面体三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三

角形的面积和是 A.2 B.4 C. 2 ? 5 D. 4 ? 2 5





4 . (2013 届北京门头沟区一模文科数学)如图所示,为一几何体的三视图,则该几何体的体积是

( A. 1 B.



1 2
1

C.

1 3

D.

5 6

1

主视图

左视图

俯视图

5 . (2013 届北京大兴区一模文科)已知平面 ? , ? ,直线 m, n ,下列命题中不正确的是 .





A.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? B.若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? C.若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? .
6 (2013 届北京西城区一模文科) . 某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长为 2 的

正方形,该正三棱柱的表面积是 A. 6 ? 3 B. 12 ? 3 C. 12 ? 2 3 D. 24 ? 2 3





7 . (2013 届北京西城区一模文科)如图,正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 是棱 B1C1 的中点,动 1

点 P 在底面 ABCD 内,且 PA1 ? A1E ,则点 P 运动形成的图形是 A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分





8 . (2013 届房山区一模文科数学)某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,

最大的是 A. 4 3 B. 8 C. 4 7 D. 8 3





9 . (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(文)试题)若一

个直六棱柱的三视图如图所示,则这个直六棱柱的体积为 ( A. 4 B . )

9 2
学 文 试

C.

10. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数 题)设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平

面,下列 ( )

命题中正确的是 A . 若 m / /? , n ? ? , m ? n , 则

? ??
D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ?

? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ⊥

11. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)某三棱锥的三视图如图所示,该

三棱锥的体积是 A.

( B .



8 3

4

C. 2

D.

4 3

12. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)已知一个空间几何体的三视图如图

所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为 A. 4 B. 8 C. 12 D. 24





13. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)已知三棱锥的底面是边长为 1 的正

三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为

3

1
正视图

正 视 图
俯视图

( B.
3 2



A.

3 4

C.

3 4

D. 1

14 . 北 京 市 朝 阳 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 文 试 题 ) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 (

中, ABCD 1 1 C D P1 , P2 分别为线段 AB , BD1 (不包括端点)上的动点,且线段 ? AB1 1

P 1 P2 平行于平面 A1 ADD1 ,则四面体 PP2 AB1 的体积的最大值是 1





A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 2
( )

15. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)如图,某三棱锥的三视图都是直角

边为 2 的等腰直角三角形,则该三棱锥的体积是 A.

4 3

B.

8 3

C.4

D.8

16. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)如图,在棱长为 1 的正方体

ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E , F 分别是棱 BC, CC1 的中点, P 是侧面 BCC1 B1 内一点,若

A1P / / 平面 AEF , 则线段 A1 P 长度的取值范围是
A. [1,





5 ] 2
C1 B1 F

B. [

3 2 5 , ] 4 2

C. [

5 , 2] 2

D. [ 2, 3]

D1 A1

D A E B

C

17. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)一个几何体的三视图如图所示,该

几何体的体积是

( A. 16 ? 4 2 B. 12 ? 4 2 C.8 D.4



18. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)某四棱锥的三视图如图所示,该

四棱锥的体积是(







A. 5 3

B. 2 3

C.

5 3 3

D.

2 3 3

19. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版) 若正三棱柱的三视图如 )

图所示,该三棱柱的表面积是





A. 3
二、填空题

9 3 B. 2

C. 6 ? 3

D. 6 ? 2 3

20 . 2013 届 北 京 海 滨 一 模 文 ) 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 它 的 体 积 为 (
2 4 2 2 侧视图 4

4 主视图 2

______.

俯视图

21. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)一个几何体的三视图如图所示,

则该几何体的体积为



22. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的
D

4

A

C

2 主视图

2

2 3 左视图

主视图和左视图如图所示, 则棱 BD 的长为______.
三、解答题

B

23 . 2013 届 北 京 市 延 庆 县 一 模 数 学 文 ) 如 图 , 四 棱 锥 (

P ? ABCD 的 底 面 ABCD 为 菱

形, ?ABC ? 60 ? , PA ? 底面 ABCD , PA ? AB ? 2 , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC // 平面 EBD ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? PAD 的体积 VC ? PAD ; (Ⅲ )在侧棱 PC 上是否存在一点 M ,满足 PC ? 平面 MBD ,若存在,求 PM 的长;若不存 在,说明理由.

P E A B M D

C

24. (2013 届北京东城区一模数学文科)如图,已知 AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , F 为

BC 的中点,若

1 AB ? AC ? AD ? CE . 2 (Ⅰ)求证: AF // 平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE .
E D

A C F B

25. (2013 届北京丰台区一模文科)如图,四棱锥 P-ABCD 中, BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平

面 PCD⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:AC⊥PD; (Ⅱ)在线段 PA 上,是否存在点 E,使 BE∥平面 PCD?若存在,求 理由.
P E

PE 的值;若不存在,请说明 PA

A

D C

B

26 . (2013 届北京海滨一模文) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角

形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 ?CAD ? 30? , PA ? AB ? 4 ,点 N 在线段 PB 上,且

PN 1 ? . NB 3 (Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC ; (Ⅲ)设平面 PAB ? 平面 PCD = l ,试问直线 l 是否与直线 CD 平行,请说明理由.
P

N

A D M B C

27. (2013 届北京门头沟区一模文科数学)如图,已知平面 ? , ? ,且

? ? ? ? AB, PC ? ? , PD ? ? , C , D 是垂足.
(Ⅰ)求证: AB ? 平面 PCD ;

(Ⅱ)若 PC ? PD ? 1, CD ?

2 ,试判断平面 ? 与平面 ? 是否垂直,并证明你的结论.
P B

?
C

?
D

[来源:Z+xx+k.Com]

A

28. (2013 届北京大兴区一模文科)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, DABC 是等边三角形,D 是 BC

的中点. (Ⅰ)求证:直线 A1D⊥B1C1; (Ⅱ)判断 A1B 与平面 ADC1 的位置关系,并证明你的结论.

29. (2013 届北京西城区一模文科)在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等

腰梯形, AB // CD , AC ? 3 , AB ? 2 BC ? 2 , AC ? FB . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 FBC ; (Ⅱ)求四面体 FBCD 的体积; (Ⅲ)线段 AC 上是否存在点 M ,使 EA //平面 FDM ?证明你的结论.

30 . 2013 届 房 山 区 一 模 文 科 数 学 ) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C D为 直 角 梯 (

形, BC // AD , ?ADC ? 90? , BC ? CD ?

1 AD , PA ? PD , 2

E ,F 为 AD,PC 的中点.
(Ⅰ)求证:PA//平面 BEF;
P

(Ⅱ)求证: AD ? PB .

F

D E B A

C

31. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(文)试题)如图,

四边形 ABCD 为矩形, AD ? 平面 ABE , AE ? BE ? 2 , AB ? 2 2 . (Ⅰ)求证: AE ? CE ; (Ⅱ)设 M 是线段 AB 的中点,试在线段 CE 上确定一点 N ,使得 MN // 平面 ADE .

32. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文试 题)

如 图 1 , 在 Rt ?ABC 中 , ?C ? 90? ,

E A M B

BC ? 3,AC ? 6 .D、E 分别是 AC、AB 上的点,且

DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1DE 的位置,
使 A1D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC // 平面 A DE ; 1 (Ⅱ)求证: BC ? 平面 A1DC ;

D

C

(Ⅲ) 当 D 点在何处时, A1B 的长度最小,并求出最小值. A1

A

D

C D C

33. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)在四棱锥 E - ABCD 中,底面

ABCD 是正方形, AC与BD交于O, EC ^ 底面ABCD,F 为 BE 的中点.
(Ⅰ)求证: DE ∥平面 ACF ; (Ⅱ)求证: BD ^ AE ; (Ⅲ)若 AB = 出

2CE, 在线段 EO 上是否存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ?若存在,求

EG 的值,若不存在,请说明理由. EO
E F

C O D A

B

34. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)在长方体 ABCD-A B C1 D 中, 1 1 1

AA1=AD=2 , E 是棱 CD 上的一点.
(Ⅰ)求证: AD1 ? 平面 A1B1D ;

(Ⅱ)求证: B1E ? AD1 ; (Ⅲ) E 是棱 CD 的中点, 若 在棱 AA1 上是否存在点 P , 使得 DP ∥平面 B1 AE ?若存在, 求出线段 AP 的长;若不存在,请说明理由.
D E C

A

B

D1

C1

A1

B1

35. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)如图,在菱形 ABCD 中, MA

⊥平面 ABCD ,且四边形 ADNM 是平行四边形. (Ⅰ)求证: AC ⊥ BN ; (Ⅱ)当点 E 在 AB 的什么位置时,使得 AN // 平面 MEC ,并加以证明. N M

D

C B

A

E

36. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)如图,三棱柱 ABC — A1 B1C1 中,

AA ? 平面 ABC,AB ? BC , 点 M , N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点. 1
(Ⅰ)求证:MN // 平面 BCC1B1; (Ⅱ)求证:平面 A1BC ? 平面 A1ABB1.

A1

M B1 N

C1

A B

C

37. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,且 E 是 BC 中点.
(I)求证: A1B / / 平面 AEC1 ; (Ⅱ)求证: B1C ? 平面 AEC1 .
A1 C1

B1

A E B

C

38. 北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) ( 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 1⊥ CC

底面 ABC,AC=BC=2, AB ? 2 2 ,CC1=4,M 是棱 CC1 上一点. (Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若 M,N 分别为 CC1,AB 的中点,求证:CN //平面 AB1M.

C1 A1 M

B1

C N A

B

39. 北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题) ( 如图, 直三棱柱 ABC ?

A1B1C1 中,

AC ? BC , AC ? BC ? CC1 ? 2 , M , N 分别
为 AC , B1C1 的中点. (Ⅰ)求线段 MN 的长; (Ⅱ)求证: MN // 平面 ABB A1 ; 1 (Ⅲ)线段 CC1 上是否存在点 Q ,使 A1B ? 平面 MNQ ?说明理由.

40. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版)(本小题满分 14 分)在 )

长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC , E 为棱 BB1 上一点. (Ⅰ)证明: AC ? D1 E ; (Ⅱ)是否存在一点 E ,使得 B1 D ∥平面 AEC ?若存在,求 明理由.

B1 E 的值;若不存在,说 BE

D1 A1 B1

C1

E D C

A

B

【精品推荐】北京 2013 届高三最新文科试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选) 专题 7:立体几何参考答案 一、选择题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

D C C D C C; B. C A

10. 【答案】C

解:C 中,当 m / /? , m / / n ,所以, n / /? , 或 n ? ? , 当 n ? ? ,所以 ? ⊥ ? ,所以正确。
11. 【答案】B

解:由三视图可知该几何体为三棱锥,三棱锥的高为 2,底面三角形的高为 3,底面边长 为 3,所以底面积为
12. 【答案】A

1 1 ? 4 ? 3 ? 6 ,所以该几何体的体积为 ? 6 ? 2 ? 4 ,选 B. 2 3

解: 根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形,一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱 锥 其中 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD, AB=AD=2,BC=4,即 PA⊥平面 ABCD,PA=2。 且底面梯形的面积为
13. 【答案】C

(2 ? 4) ? 2 1 ? 6 ,所以 V ? ? 6 ? 2 ? 4 .选 A. 2 3

解:由正视图与俯视图可知,该几何体为正三棱锥,侧视图为

,侧视图

的高为

3 1 3 3 ,高为 3 ,所以侧视图的面积为 ? ? 3 ? 。选 C. 2 2 2 4

14. 【答案】A

解:过 P 做 P O ? 底面于 O,连结 OP , 则 OP ? AB ,即 OP 为三棱锥 P ? P AB1 的高, 2 1 2 2 1 1 1

0 设 AP ? x,? x ? 1 ,则由题意知 OP / / AD ,所以有 1 1


OP BP 1 ? 1 ,即 OP ? 1 ? x 。三角 1 AD AB

1 x , 所 以 四 面 体 的 P P2 A 1 B体 积 为 1 2 1 1 1 1 1 x ?1? x 2 1 S?AP1B1 ? OP ? ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? ( ) ? ,当且仅当 x ? 1 ? x ,即 1 3 3 2 6 6 2 24 1 1 x ? 时,取等号,所以四面体 PP2 AB1 的体积的最大值为 ,选 A. 1 2 24 S ?AP1B1 ?

15. 【答案】A

解:由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形,

,所以 VC ? BCD ?
16. 【答案】B

1 1 4 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ,选 A. 3 2 3

解:取 B1C1 的中点 M, BB1 的中点 N,连结 A M , A N , MN ,可以证明平面 A1MN / / 平面 1 1

AEF , 所 以 点 P 位 于 线 段 MN 上 , 把 三 角 形 A1 M N拿 到 平 面 上 , 则 有

1 5 1 2 1 2 2 , MN ? ( ) ? ( ) ? 所以当点 P 位于 M , N 时, A1M ? A1 N ? 1 ? ( )2 ? 2 2 2 2 2

A1 P 最大,当 P 位于中点 O 时, A1 P 最小,此时 A1O ? (

5 2 2 3 2 ) ? ( )2 ? ,所以 2 4 4

3 2 5 [ , ] 3 2 5 A1 P 长度的取值范围是 4 2 ,选 ? A1 P ? A1O ? A1 P ? A1M ,即 ,所以线段 4 2

B.
17. 【答案】D

解:由三视图可知,该几何体是一个平放的直三棱柱,棱柱的底面为等腰直角三角形, 棱柱的高为 2,所以该几何体的体积为

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ,选 D. 2

18. 【答案】C

解 : 由 三 视 图 可 知 , 四 棱 锥 的 高 为 2 , 底 面 为 直 角 梯 形 ABCD. 其 中

1 (2 ? 3) ? 3 5 3 ,选 C. ?2 ? D C? 2 , A B 3 , B ? ,所以四棱锥的体积为 ? ? C 3 3 2 3
19.答案 D 由三视图可知,三棱柱的高为 1,底面正三角形的高为

3 ,所以正三角形的边长为

2,所以三棱柱的侧面积为 2 ? 3 ?1 ? 6 ,两底面积为 2 ? 为 6 ? 2 3 ,选 D.
二、填空题 20. 16 21. 【答案】 54

1 ? 2 ? 3 ? 2 3 ,所以表面积 2

解:由三视图可知,该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为 4,

,底面梯形的上底为 4,下底为 5,腰 CD ? 32 ?1 ? 10 ,所以 梯形的面积为 S ?
22. 【答案】 4 2

(4 ? 5) ? 3 27 27 ? ? 4 ? 54 。 ,所以该几何体的体积为 2 2 2

解:取 AC 的中点,连结 BE,DE 由主视图可知 BE ? AC, BE ? DE . DC ? ABC 且

DC ? 4, BE ? 2 3, AE ? EC ? 2
B ?
2

.
2





C

(

?

B2

?

E3

2



) E?

2



C2 ?

B ?

2

D

4

?

2

B 。 4

?

2

C

3

?

2

D

2

?C

三、解答题 23. (Ⅰ)证明:设 AC 、 BD 相交于点 F ,连结 EF ,

? 底面 ABCD 为菱形,? F 为 AC 的中点, 又? E 为 PA 的中点,? EF // PC
P

E
A M D

F
又? EF ? 平面 EBD , PC ? 平面 EBD , ? PC // 平面 EBD

B

C

(Ⅱ)解:因为底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ? ,所以 ?ACD 是边长为 2 正三角形, 又因为 PA ? 底面 ABCD ,所以 PA 为三棱锥 P ? ACD 的高,

1 1 3 2 2 3 ? VC ? PAD ? VP ? ACD ? S ?ACD ? PA ? ? ?2 ?2 ? 3 3 4 3

(Ⅲ)解:因为 PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? BD , 又? 底面 ABCD 为菱形,? AC ? BD , PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC ,

? BD ? 平面 PAC ,? BD ? PC
在 ?PBC 内,易求 PB ? PC ? 2 2 , BC ? 2 , 在平面 PBC 内,作 BM ? PC ,垂足为 M , 设 PM ? x ,则有 8 ? x 2 ? 4 ? (2 2 ? x) 2 ,解得 x ?

3 2 ?2 2 2

连结 MD ,? PC ? BD , BM ? PC , BM ? BD ? B , BM ? 平面 BDM ,

BD ? 平面 BDM ,? PC ? 平面 BDM .
所以满足条件的点 M 存在,此时 PM 的长为
24. (共 14 分)

3 2 2
E D

证明:(Ⅰ)取 BE 的中点 G ,连结 GF , GD . 因为 F 是 BC 的中点, 则 GF 为△ BCE 的中位线.

1 CE . 2 因为 AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , 所以 GF // EC // AD . 1 又因为 AD ? CE , 2 所以 GF ? AD . 所以四边形 GFAD 为平行四边形. 所以 AF // DG . 因为 DG ? 平面 BDE , AF ? 平面 BDE , 所以 AF // 平面 BDE . (Ⅱ)因为 AB ? AC , F 为 BC 的中点, 所以 AF ? BC . 因为 EC // GF , EC ? 平面 ABC , 所以 GF ? 平面 ABC . 又 AF ? 平面 ABC , 所以 GF ? AF . 因为 GF ? BC ? F , 所以 AF ? 平面 BCE . 因为 AF // DG , 所以 DG ? 平面 BCE . 又 DG ? 平面 BDE , 所以平面 BDE ? 平面 BCE .
所以 GF // EC , GF ?

G A C F B

25.如图,四棱锥 P-ABCD 中, BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面 PCD⊥平面 ABCD.

(Ⅰ)求证:AC⊥PD; (Ⅱ)在线段 PA 上,是否存在点 E,使 BE∥平面 PCD?若存在, 求

PE 的值;若不存在,请说明理由. PA
E

P F

解:(Ⅰ)∵平面 PCD⊥平面 ABCD,平面 PCD∩平面 ABCD=CD, AC⊥CD , AC? 平面 ABCD , ∴AC⊥平面 PCD, A ∵PD? 平面 PCD , ∴AC⊥PD (Ⅱ)线段 PA 上,存在点 E,使 BE∥平面 PCD, ∵AD=3, ∴在△PAD 中,存在 EF//AD(E,F 分别在 AP,PD 上),且使 EF=1, 又∵ BC∥AD,∴BC∥EF,且 BC=EF, ∴四边形 BCFE 是平行四边形, ∴BE//CF, BE ? 平面PC D , F ? 平面PC D , C ∴BE∥平面 PCD, ∵EF =1,AD=3, ∴

D C

B

EF PE 1 ? ? AD PA 3

26.解:(I)证明:(I) 因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点,

所以 BM ? AC ,即 BD ? AC 又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC (Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD ,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD

?CAD ? 30 ,所以,
?

DM ?

2 3 3 ,所以 BM : MD ? 3 :1

所以 BN : NP ? BM : MD ,所以 MN / / PD 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所 以 MN / / 平面 PDC (Ⅲ)假设直线 l / / CD ,因为 l ? 平面 PAB , CD ? 平面 PAB , 所以 CD / / 平面 PAB

又 CD ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB ,所以 CD / / AB 这与 CD 与 AB 不平行,矛盾 所以直线 l 与直线 CD 不平行

27.

(Ⅰ)证明:因为 PC ? ? , AB ? ? ,所以 PC ? AB . 同理 PD ? AB . 又 PC ? PD ? P ,故 AB ? 平面 PCD (Ⅱ)平面 ? 与平面 ? 垂直 证明:设 AB 与平面 PCD 的交点为 H ,连结 CH 、 DH . 因为 PC ? ? ,所以 PC ? CH , 在 ?PCD 中, PC ? PD ? 1, CD ?

2,

所以 CD 2 ? PC 2 ? PD 2 ? 2 ,即 ?CPD ? 900 在平面四边形 PCHD 中, PC ? PD, PC ? CH ,所以 PD // CH 又 PD ? ? ,所以 CH ? ? , 所以平面 ? ? 平面 ?

28.解: (Ⅰ)在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, AA ? 面ABC ,所以 AA ? BC , 1 1

在等边 ?ABC 中,D 是 BC 中点,所以 AD ? BC 因为 在平面 A1 AD 中, A1 A ? AD ? A ,所以 BC ? 面A1 AD 又因为 A1D ? 面A1AD ,所以, A1 D ? BC 在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,四边形 BCC1 B1 是平行四边形,所以 B1C1 // BC 所以, A1 D ? B1C1 (Ⅱ) 在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,四边形 ACC1 A1 是平行四边形, 在平行四边形 ACC1 A1 中联结 A1C ,交于 AC1 点 O,联结 DO. 故 O 为 A1C 中点. 在三角形 A1CB 中,D 为 BC 中点,O 为 A1C 中点,故 DO // A1 B .

因为 DO ? 平面DAC1 , A1B ? 平面DAC1 ,所以, A1 B // 面 ADC1 故, A1 B与面 ADC1 平行
29. (Ⅰ)证明:在△ ABC 中,

因为 AC ? 3 , AB ? 2 , BC ? 1 , 所以 AC ? BC 又因为 AC ? FB , 所以 AC ? 平面 FBC (Ⅱ)解:因为 AC ? 平面 FBC ,所以 AC ? FC . 因为 CD ? FC ,所以 FC ? 平面 ABCD 在等腰梯形 ABCD 中可得 CB ? DC ? 1 ,所以 FC ? 1 . 所以△ BCD 的面积为 S ?

3 4 1 3 S ? FC ? 3 12

所以四面体 FBCD 的体积为: VF ? BCD ?

(Ⅲ)解:线段 AC 上存在点 M ,且 M 为 AC 中点时,有 EA // 平面 FDM ,证明如下: 连结 CE ,与 DF 交于点 N ,连接 MN . 因为 CDEF 为正方形,所以 N 为 CE 中点 所以 EA // MN 因为 MN ? 平面 FDM , EA ? 平面 FDM , 所以 EA //平面 FDM . 所以线段 AC 上存在点 M ,使得 EA //平面 FDM 成立
30. (Ⅰ)证明:连接 AC 交 BE 于 O,并连接 EC,FO

?

BC // AD

, BC ?

1 AD , 2

E 为 AD 中点

? AE//BC,且 AE=BC ? 四边形 ABCE 为平行四边形 ? O 为 AC 中点
又? F 为 AD 中点

? OF // PA
PA // 平面BEF

? OF ? 平面BEF, PA ? 平面BEF ?

P

F

D E O B A

C

(Ⅱ)连接 PE

? PA ? PD, E为AD中点

? AD ? PE

1 AD,E为AD中点 2 ? BCDE为平行四边形 ? BC// AD,BC ?
? BE// CD

? AD ? CD ? AD ? BE
......12 分

? PE ? BE ? E

? AD ? 平面PBE

? PB ? 平面PBE ? AD ? PB
31. (共 13 分)

.14 分

证明:(Ⅰ)∵ AE ? EB ? 2, AB ? 2 2 , ∴ AE ? BE ? AB ,
2 2 2

E F A M N B

∴ AE ? BE ∵ AD ? 平面 ABE , ∴ AD ? AE ,又 BC // AD , ∴ BC ? AE , 又 BC ? BE ? E , ∴ AE ? 平面 BCE , ∴ AE ? CE

D

C

(Ⅱ)设 BE 的中点为 F , CE 的中点为 N ,连接 MN , MF , NF , 又 M 是 AB 的中点, ∴ MF // AE , NF // BC // AD . ∵ MF ? 平面 ADE , AE ? 平面 ADE , ∴ MF // 平面 ADE 同理可证 NF // 平面 ADE , 又 MF ? NF ? F , ∴平面 MNF // 平面 ADE ,

∴ MN // 平面 ADE 所以,当 N 为 CE 中点时, MN // 平面 ADE
32. (Ⅰ)证明:? DE // BC, DE ? 面A DE, BC ? 面A DE 1 1

? BC // 面A1DE

…………………………4 分

(Ⅱ)证明: 在△ ABC 中, ?C ? 90?, DE // BC ,? AD ? DE

? A1D ? DE .又 A1D ? CD, CD ? DE ? D,? A1D ? 面BCDE .
由 BC ? 面BCDE,? A D ? BC. 1

BC ? CD, CD ? BC ? C,? BC ? 面A1DC .
(Ⅲ)设 DC ? x 则 A D ? 6 ? x 1

…………………………9 分

由(Ⅱ)知,△ A1CB ,△ A DC 均为直角三角形. 1

A1B = A1C 2 ? BC 2 ?
A1B ?

A1D 2 ? DC 2 ? BC 2
………………12 分

x 2 ? 32 ? (6 ? x ) 2 ? 2 x2 ? 12 x ? 45

当 x =3 时, A B 的最小值是 3 3 . 1 即当 D 为 AC 中点时, A B 的长度最小,最小值为 3 3 .…………………14 分 1
33. 解: (I)连接 OF .
E F G C B O A

由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点. 又 F 为 BE 的中点, 所以 OF ∥ DE ………………….2 分 又 OF 趟平面ACF , DE

平面ACF ,
D

所以 DE ∥平面 ACF ………….4 分 (II) 证明:由 EC ^ 底面ABCD,BD 所以 EC ^ BD, 由 ABCD 是正方形可知, AC ^ BD, 又 AC 翘 =C, AC,EC EC

底面ABCD,

平面ACE,

所以 BD ^ 平面ACE, ………………………………..8 分 又 AE ? 平面ACE, 所以 BD ^ AE …………………………………………..9 分 (III) 在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 理由如下:

如图,取 EO 中点 G ,连接 CG . 在四棱锥 E - ABCD 中, AB =

2CE, CO =

2 AB = CE , 2

所以 CG ^ EO .…………………………………………………………………..11 分 由(II)可知, BD ^ 平面ACE, 而 BD ? 平面BDE, 所以, 平面ACE ^ 平面BDE, 且平面ACE ? 平面BDE 因为 CG ^ EO, CG

EO,

平面ACE,

所以 CG ^ 平面BDE …………………………………………………………. 13 分 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 由 G 为 EO 中点,得

EG 1 = . …………………………………………… 14 分 EO 2

34.解: (Ⅰ)在长方体 ABCD-A B1C1D1 中, 1

因为 A1B1 ? 面 A D1DA , 1 所以 A B1 ? AD1 . 1 ………………………………………………………………2 分

在矩形 A D1DA 中,因为 AA=AD=2 ,所以 AD1 ? A D .……………………4 分 1 1 1 所以 AD1 ? 面 A1B1D . ………………………………………………………5 分

(Ⅱ)因为 E ? CD ,所以 B1E ? 面 A B1CD , 1 由(Ⅰ)可知, AD1 ? 面 A B1CD , 1 …………………………………………7 分

所以 B1E ? AD1 . …………………………………………………………………8 分 (Ⅲ)当点 P 是棱 AA1 的中点时,有 DP ∥平面 B1 AE . ………………………9 分 理由如下: 在 AB1 上取中点 M ,连接 PM,ME . 因为 P 是棱 AA1 的中点, M 是 AB1 的中点, 所以 PM ∥ A1B1 ,且 PM ? 又 DE ∥ A1B1 ,且 DE ?
D E

C

1 A1B1 .……10 分 2
A B

1 A1 B1 . 2 所以 PM ∥ DE ,且 PM ? DE , 所以四边形 PMED 是平行四边形,

P

D1

M C1

A1

B1

所以 DP ∥ ME .…………………………11 分 又 DP ? 面 B1 AE , ME ? 面 B1 AE , 所以 DP ∥平面 B1 AE . …………………………………………………………13 分

1 A1 A ? 1 . …………………………………………………………14 分 2 35.解: (Ⅰ)连结 BD ,则 AC ? BD . 由已知 DN ? 平面 ABCD , 因为 DN ? DB ? D ,
此时, AP ? 所以 AC ? 平面 NDB . 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN . ………………………………………………6 分 (Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时,有 AN // 平面 MEC .……7 分

CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, F 是 BN 的中点, 因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN // EF .……………………10 分 又 EF ? 平面 MEC , AN ? 平面 MEC , 所以 AN // 平面 MEC .……………………13 分
36.解:(Ⅰ)连结 BC1

N

M F D A B C

E

∵点 M , N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点, ∴ MN ∥BC1.........................................................4 分 ∵ MN ? 平面 BCC1B1 , BC1 ? 平面 BCC1B1 , ∴MN∥平面 BCC1B1..................................... ....6 分 (Ⅱ)∵ AA ? 平面ABC , 1

BC ? 平面 ABC ,
∴ AA1 ? BC ....................................................................................................... 9 分 又∵AB ? BC,

AA1 ? AB ? A ,

∴ BC ? 平面A ABB1 ........................................................................................ 12 分 1 ∵ BC ? 平面A BC , 1 ∴平面 A1BC ? 平面 A1ABB1................................................................................ 13 分
37.解:(I) 连接 A C 交 AC 于点 O ,连接 EO 1 1

因为 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 ?A1BC 的中位线, 所以 EO / / A1B 又 EO ? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1 所以 A1B / / 平面 AEC1 (Ⅱ)因为 AB ? AC ,又 E 为 CB 中点,所以 AE ? BC 又因为在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 底面 ABC , 又 AE ? 底面 ABC , 所以 AE ? BB1 , 又因为 BB1 ? BC ? B ,所以 AE ? 平面 BCC1 B1 , 又 B1C ? 平面 BCC1 B1 ,所以 AE ? B1C 在矩形 BCC1 B1 中, tan ?CB1C1 ? tan ?EC1C ? 所以 ?CB1C1 ? ?EC1B ? 90 ,即 B1C ? EC1
?

………………3 分

………………6 分 ………………8 分

………………10 分

2 ,所以 ?CB1C1 ? ?EC1C , 2
………………12 分 ………………14 分

又 AE ? EC1 ? E ,所以 B1C ? 平面 BCC1 B1
38.证明: (Ⅰ)因为

三棱柱 ABC-A1B1C1 中 CC1⊥ 平面 ABC, …………………………………………1 分

所以 CC1⊥ BC. 因为 AC=BC=2, AB ? 2 2 ,

所以 由勾股定理的逆定理知 BC⊥ AC. 又因为 AC∩CC1=C, 所以 BC⊥ 平面 ACC1A1. 因为 AM ? 平面 ACC1A1,

……………………………2 分

……………………4 分

所以 BC⊥ AM. ……………………6 分 (Ⅱ)过 N 作 NP∥BB1 交 AB1 于 P,连结 MP ,则 NP∥CC1. ………………8 分 因为 M,N 分别为 CC1, AB 中点, 所以
CM ? 1 2 CC1 , NP ? 1 2 BB1 .
C1 B1 A1 M P

…………9 分

因为 BB1=CC1, 所以 NP=CM. ……………………10 分

C N A

B

所以 四边形 MCNP 是平行四边形.…………11 分 所以 CN//MP. 因为 CN ? 平面 AB1M,MP ? 平面 AB1M, 所以 CN //平面 AB1 M.
39. (Ⅰ)证明:连接 CN .

……………………12 分 ……………………13 分 ……………………14 分

因为 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1 ? 平面 ABC , 所以 AC ? CC1 . ………………1 分 ………………2 分 ………………3 分

因为 AC ? BC , 所以 AC ? 平面 BCC1B1 . 因为 MC ? 1 , CN ? CC1 ? C1 N ? 5 ,
2 2



以 .

MN ? 6
………………4 分 (Ⅱ)证明:取 AB 中点 D ,连接 DM , DB . 1 5分

………………

1 BC . 2 1 在矩形 B1BCC1 中,因为 N 为 B1C1 中点,所以 B1 N // BC , B1 N ? BC . 2
在△ ABC 中,因为 M 为 AC 中点,所以 DM // BC , DM ? 所以 DM // B1N , DM ? B1N . 所以 四边形 MDB N 为平行四边形,所以 MN // DB1 . 1 因为 MN ? 平面 ABB A1 , DB1 ? 平面 ABB A1 , 1 1 ………………7 分 ………………8 分

所以 MN // 平面 ABB A1 . 1

………………9 分

(Ⅲ)解:线段 CC1 上存在点 Q ,且 Q 为 CC1 中点时,有 A1B ? 平面 MNQ . ……… 11 分 证明如下:连接 BC1 . 在正方形 BB C1C 中易证 QN ? BC1 . 1 又 A1C1 ? 平面 BB C1C ,所以 A C1 ? QN ,从而 NQ ? 平面 A1BC1 .…………12 分 1 1 所以 A1B ? QN . 同理可得 A1B ? MQ ,所以 A1B ? 平面 MNQ . 故线段 CC1 上存在点 Q ,使得 A1B ? 平面 MNQ .
40. (本小题满分 14)

………………13 分

………………14 分

(Ⅰ)证明:连接 BD ∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,
A1 D1 B1 C1

∴ D1 D ? 平面 ABCD ,………………1 分 又 AC ? 平面 ABCD ∴ D1 D ? AC ………………2 分
D O A B E C

在长方形 ABCD 中, AB ? BC ∴ BD ? AC 又 BD ? D1 D ? D ……………3 分 ………………4 分

∴ AC ? 平面 BB1 D1 D ,………………5 分 而 D1 E ? 平面 BB1 D1 D ………………6 分 ∴ AC ? D1 E ………………7 分

(Ⅱ)存在一点 E ,使得 B1 D ∥平面 AEC ,此时

B1 E ? 1 . ………………8 分 BE



B1 E ? 1 时, E 为 B1 B 中点 BE

设 BD 交 AC 于点 O ,则 O 为 BD 中点 连接 OE ,在三角形 BB1 D 中, OE ∥ B1 D ………………10 分 ………………13 分 ………………14 分

B1 D ? 平面 AEC , OE ? 平面 AEC
∴ B1 D ∥平面 AEC

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