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一、 函数的单调性
1.单调函数的定义 (1)增函数:一般地,设函数 f ( x ) 的定义域为 I :如果对于属于 I 内某个区间上的任意 两个自变量的值 x1 、 x2 ,当 x1 ? x2 时都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f ( x ) 在这个区间上 是增函数。 (2)减函数:如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、 x2 ,当 x1 ? x2 时 (3)单调性:如果函数 y ? f ( x) 在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数 y ? f ( x) 在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做 y ? f ( x) 的单调区间。 2、单调性的判定方法 (1)定义法: 判断下列函数的单调区间: y ? 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f ( x ) 在这个区间上是减函数。

1 x2

(2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (3)复合函数的单调性的判断: 设 y ? f (x) ,u ? g (x) ,x ? [a, b] ,u ? [m, n] 都是单调函数, y ? f [ g ( x)] 在 [ a, b] 则 上也是单调函数。 ①若 y ? f (x) 是 [m, n] 上的增函数,则 y ? f [ g ( x)] 与定义在 [ a, b] 上的函数 u ? g (x) 的单调性相 同。 ②若 y ? f (x) 是[m, n] 上的减函数,则 y ? f [ g ( x)] 与定义在[ a, b] 上的函数 u ? g (x) 的单调性相 同。 即复合函数的单调性: 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数; 当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正” ) 练习: 1)函数 y ? ( 为 . (2) y ?

4 ? x2 的 单 调 递 减 区 间 是
的单调递增区间为

,单调递增区间

1 x 2 ? 4x ? 5



3、函数单调性应注意的问题:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间, 可以是整个定义域(如一次函数), 可以是定义域内某个区 间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在 是增(或减)函数 4.例题分析 上

1 在 (0, ??) 上是减函数。 x 证明:设任意 x1 , x2 ∈(0,+∞)且 x1 ? x2 , 1 1 x2 ? x1 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? , ? x1 x2 x1 x2 由 x1 , x2 ∈(0,+∞) ,得 x1 x2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ,得 x2 ? x1 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 所以, f ( x) ? 在 (0, ??) 上是减函数。 x 1 说明:一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如: y ? 不能说 x (??,0) ? (0,??) 是原函数的单调递减区间;
证明:函数 f ( x) ? 练习:1. .根据单调函数的定义,判断函数 f ( x) ? x3 ? 1 的单调性。 2.根据单调函数的定义,判断函数 f ( x) ?

x 的单调性。

二、函数的奇偶性
1.奇偶性的定义: (1)偶函数:一般地,如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) , 那么函数 f ( x ) 就叫做偶函数。例如:函数 f ( x) ? x2 ? 1 , f ( x) ? x4 ? 2 等都是偶函 数。 (2)奇函数:一般地,如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) , 那么函数 f ( x ) 就叫做奇函数。例如:函数 f ( x) ? x , f ( x) ?

1 都是奇函数。 x

(3)奇偶性:如果函数 f ( x ) 是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f ( x ) 具有奇偶性。 说明:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称; (2) f (? x) ? f ( x) 或 f (? x) ? ? f ( x) 必有一成立。 因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计 算 f (? x) , 看是等于 f ( x ) 还是等于 ? f ( x) , 然后下结论; 若定义域关于原点不对称, 则函数没有奇偶性。 (3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。 ( 4 ) 函 数 f ( x) ? 0 既 是 奇 函 数 也 是 偶 函 数 , 因 为 其 定 义 域 关 于 原 点 对 称 且 既 满 足

f ( x) ? f (? x) 也满足 f ( x) ? ? f (? x) 。
(5)一般的,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数。 偶函数的图象关于 y 轴对称, 反过来, 如果一个函数的图形关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数。 (6)奇函数若在 x ? 0 时有定义,则 f (0) ? 0 .

2、函数的奇偶性判定方法 (1)定义法 (2)图像法 (3)性质罚 3.例题分析: 判断下列函数的奇偶性:

1 ? x2 (1) f ( x) ?| x | ? x ( ) (2) f ( x) ? ( ) 2? | x ? 2 | 说 明 : 在 判 断 f (? x) 与 f ( x ) 的 关 系 时 , 可 以 从 f (? x) 开 始 化 简 ; 也 可 以 去 考 虑 f (? x) 与 1 或 ?1 的关系。 f ( x)? f ( x) f ( x) ? f (? x) ;当 f ( x) 不等于 0 时也可以考虑 ? 或 f ( x)
2

五.小结:1.函数奇偶性的定义; 2.判断函数奇偶性的方法; 3.特别要注意判断函数奇偶性时,一定要首先看其定义域是否关于原点对称, 否则将会导致结论错误或做无用功。


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