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2016上海立达职业技术学院自主招生数学模拟试题及答案


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2016 上海立达职业技术学院自主招生语文模拟试题及答案
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。) 1.已知 sin? ? 3 ,则 sin( ? ? ? ) ? ( )

5

2

A. ? 4 ;

5

B. ? 4 ;

5

C. 4 ;

5

D. ? 3

5

1? i 2.在复平面内,复数 i 对应的点位于





A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、设 a>1,且 m ? loga (a 2 ? 1)n ? loga (a ? 1), p ? loga (2a) ,则 m, n, p 的大小关系为 ( ) (A) n>m>p 4、已知函数 A. (??, 2) (B) m>p>n 的反函数为 (C) m>n>p
f ?1 ( x)

(D) p>m>n 的解集为 ( )

f ( x) ? 2x ? 1

,则

f ?1 ( x) ? 0

B. (1, 2)

C. (2, ? )

D. (??, 1) )

0?) 的单调递增区间是( 5.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? ? ? π,

A. ? ?π, ?

? ?

5π ? 6? ?
? π ? ? 6 ?

B. ? ?

? 5π π ? , ? ? 6? ? 6

C. ? ? , 0?

? π ? ? 3 ?

D. ? ? , 0?

6、等差数列 A. 15

?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a7 ? a9 ? 16, S7 ? 7 ,则 a12 的值是(



B. 30 C. 31 D. 64

7.设 O 为平行四边形 ABCD 的对称中心, ( )

AB ? 4e1 , BC ? 6e2 , 则2e1 ? 3e2 等于

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A. OA
?x ?

B. OB
π? ?

C. OC
? π ?

D. OD
? ?

? 2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为 8.将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , 3 6 4




?x ? π? ? ?x ? π? ?

A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 3 4
?x ?3 π? ??2 12 ?

B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 3 4
?x ?3 π? ??2 12 ?

C. y ? 2 cos ? ?

D. y ? 2 cos ? ?

9.若 m,n 是两条不同的直线, ?,?,? 是三个不同的平面,则下列命题中的真命题 是( ) B.若 ? ? ? ? m ? ? ? ? n , m ∥ n ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? , ? ⊥ ? ,则 ? ? ?

A.若 m ? ?,? ? ? ,则 m ? ? C.若 m ? ? , m ∥ ? ,则 ? ? ?

10.已知 P 是函数 y=f(x)的图象上的点,若 P 点的横坐标为 2,且函数 y=f(x)的图象在 点 P 处的切线方程是 y=-2x+3,则 f (2) + f ' (2) 的值是( A.-2 B.25 D.不能确定 的焦点为 ,则有( B. D. ) ,点 , ) C.-3

11.已知抛物线 抛物线上,且 A. C.



12.设

为双曲线 ,则

上的一点, 的面积为( C.

是该双曲线的两个焦点,若 ) D.

A.

B.

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、在数列{an}中,若 a1=1, an+1=2an+3 (n≥1), 则该数列的通项

an=_______________.
14. 设函数 为偶函数,则 .

? x3 ?1 ,x ?1 ? f ( x) ? ? x ? 1 , 若f ( x) ?a, x ? 1 ? 15.已知函数 在 R 上连续,则

lim(
n ??

an ? 1 2a ? )? n 3n .

16、已知 ?ABC 的三个顶点在同一球面上, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 ,若球心 O 到 平面 ABC 的距离为 1 ,则该球的半径为 三.解答题:共 6 小题,共 70 分. 17.(10 分).设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及最小正周期;

(Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值.

4 5

18.(本小题满分 12 分)某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问 题者进入下一轮考试,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题 的概率分别为 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.

(Ⅰ)求该选手被淘汰的概率;

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(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ ,求随机变量ξ 的分布列与数数期望.(注: 本小题结果可用分数表示)

? 19.(12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A ; 1B 1C1 中, ?ACB ? 90 , AC ? BC ? CC 1 ?2

①求证: AB1 ? BC1 ; ②求点 B 到平面 AB1C1 的距离; ③求二面角 C1 ? AB1 ? A 1 的大小。

C1 A1 B1

C

A

B

20、(本小题满分 12 分)

已知数列

?an ?满足an

? 2a n ?1 ? 2 n ? 1(n ? 2), a1 ? 5, bn ?

an ? 1 . 2n

(Ⅰ)证明:

?bn ? 为等差数列;(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn.

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21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 6 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 2 3 a b

3.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 积的最大值.

3 ,求△AOB 面 2

22.(12 分) A, B, C 是直线 l 上三点,向量 OA, OB, OC 满足

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ???? 2 OA ? (2ax 2 ? 3x ? 1)OB ? ( y ? x 3 )OC ,其中 a ? R 3
(Ⅰ)写出函数 y ? f ( x) 的表达式 (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax2 ? x ? a ? 0 恰有三个不等实数根,求 a 的取值范围。

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参考答案
一、 二、 选择题:ACBBD ABACC CB 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. an ? 2n?1 ? 3 14.a=-1 15.3 16.√3 三.解答题:共 6 小题,共 70 分 17.解:(Ⅰ) f ( x) ? 6

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x 2

? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3
? 3 ? 1 ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2 ??3 2 ? ?

?? ? ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 . 6? ?
故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ;

最小正周期 T ?

2? ? ?. 2

(Ⅱ)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos ? 2? ?

? ?

?? ?? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ,故 cos ? 2? ? ? ? ?1 . 6? 6? ?

又由 0 ? ? ?

? ? ? ? ? 5 ?. 得 ? 2? ? ? ? ? ,故 2? ? ? ? ,解得 ? ? 2 6 6 6 6 12 ? ? 3. 3

从而 tan ? ? tan

4 5

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18. 解法一:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第 轮的问题”的事件为 , 该选手被淘汰的概率 , , ,则



(Ⅱ) 的可能值为







. 的分布列为 1 2 3

. 解法二:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第 轮的问题”的事件为 , 该选手被淘汰的概率 , . ,则

. (Ⅱ)同解法一.

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19.①略; ② 2;
? ③二面角 C1 ? AB ; 1?A 1为60

an ? 1 2an?1 ? 2 n ? 2 an ?1 ? 2 n?1 ? 1 ? bn ? ? ? 2n 2n 2 n?1 20. 解(Ⅰ)证明:
? a n ?1 ? 1 ? 1 ? bn ?1 ? 1(n ? 2), 2 n ?1 ………………………………………………4 分

?bn ? bn?1 ? 1(n ? 2),

??bn ? 是公差为 1,首项为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

b1 ?

a1 ? 1 ?2 2 的等差数列.………………6 分

bn ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1,

an ? 1 ? n ? 1,? a n ? (n ? 1)2 n ? 1 n 即 2 ,………………………………8 分

? S n ? [2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? (n ? 1)2n ] ? n,


Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 ? (n ? 1)2n ,

? 2Tn ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ? (n ? 1)2n?1 ,
?c 6 , ? ? 21.解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ? a ? 3, ?
? b ? 1 ,? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

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由已知

m 1? k 2

?

3 3 ,得 m 2 ? (k 2 ? 1) . 4 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?
2

3(m 2 ? 1) ?6km x x ? , . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 ) ?

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ? 2 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
? 3? 12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ?4. 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k
1 3 ,即 k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3 , 2 k 3

当且仅当 9 k 2 ?

综上所述 AB max ? 2 .

1 3 3 . ? ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2

22. (Ⅰ)? A, B, C 共线 由 OA ? (2ax 2 ? 3x ? 1)OB ? ( y ?

??? ?

??? ?

2 3 ???? 2 x )OC ? (2ax 2 ? 3x ? 1) ? ( y ? x 3 ) ? 1 3 3

? y ? f ( x) ?

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x ……………………4 分 3
2 3 x ? 2ax 2 ? 3x ? 2ax 2 ? x ? a ? 0 3

2 (Ⅱ) f ( x) ? 2ax ? x ? a ?

?

2 3 x ? 2x ? a ? 0 3

令 F ( x) ?

2 3 x ? 2 x ? a ? F ' ( x) ? 2 x 2 ? 2 ? 2( x ? 1)( x ? 1) …………6 分 3

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令 F ' ( x) ? 0 ? x ? ?1或 x ? 1 ,列表如下:

x
F ' ( x)

(??, ?1)


?1
0 极大值

(?1,1)


1
0 极小值

(1, ??)


F ( x)

?

4 ?a 3

?

?

4 ?a 3

?

…………8 分
?4 ?a ?0 ? 4 4 ?3 ?? ?a? ? 方程有 3 个不同实根 ? ? 3 3 ?? 4 ? a ? 0 ? ? 3
故 a 的取值范围是: ( ? , ? ) ……………………12 分

4 3

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