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概率第一章第2节 离散型随机变量及其概率分布


§2.2 离散型随机变量及其概率分布

一、 离散型随机变量及其概率分布
二、 常用的离散分布

一、 离散型随机变量及其概率分布

Definition 1: 随机变量 X 称为离散型随机变量,
如果它全部的可能取值仅为有限个, 或者可数(可列)无穷个。

Definition 2: 设离散型随机变量X的所有可能取
值为

xi (i ? 1, 2,...) ,

P{X ? xi } ? pi ,(i ? 1, 2,....)
称为X的概率分布或分布律,亦或概率函数。

常用表格形式来表示 X 的概率分布:

x2 ? xn ? p2 ? pn ? 由概率的定义,pi ( i ? 1,2,?) 必然满足:
X pi

x1 p1

(1) pi ? 0, i ? 1,2,?;

(2)

?p
i

i

? 1.

例1 某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9, 求他两

次独立投篮投中次数 X 的概率分布.

解 X 可取 0, 1, 2 为值,

P{ X ? 0} ? (0.1)(0.1) ? 0.01 P{ X ? 1} ? 2(0.9)(0.1) ? 0.18 P{ X ? 2} ? (0.9)(0.9) ? 0.81


P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? P{ X ? 2} ? 1

于是, X 的概率分布可表示为

X Pi

0

1

2

0.01 0.18 0.81

.


关于分布律的说明 若已知一个离散型随机变量 X 的概率分布

X pi

x1 p1

x2 ? xn p2 ? pn

? ?

特别地, 则可以求得所生成的任何事件概率,

P{a ? X ? b} ? P ( ? { X ? xi })
?
a ? xi ? b

? P{ X ? x } ? ? p
i a ? xi ? b xi ?I

a ? xi ? b

i

一般地,若 I 是一个区间, 则
xi ?I

P{ X ? I } ? ? P{ X ? xi } ? ? pi

例如, 设 X 的概率分布由例1给出:

2 1 X 0 pi 0.01 0.18 0.81
则 P{ X ? 0} ? P{ X ? 0} ? 0.01,

P{ X ? 2} ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? 0.01 ? 0.18 ? 0.19, P{?2 ? X ? 6} ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? P{ X ? 2} ? 1.

二、常用的离散分布:
两点分布: 定义 若一个随机变量 X 只有两个可能的取值, 且其分布为

P{ X ? xi } ? p, P{ X ? x2 } ? 1 ? p, (0 ? p ? 1), 则称 X 服从 x1 , x2 处参数为 p 的两点分布.

0-1分布:
若 X 服从 x1 ? 1, x2 ? 0 处参数为 p 的两点分布, 即

X pi

0 1? p

1 p

( i ? 1,2)

则称 X 服从参数为 p 的 0 ? 1 分布; 记 q ? 1 ? p.

例2 200 件产品中, 有 196 件是正品, 4 件是次品, 今从中随机地抽取一件, 若规定

?1, 取到正品 X ?? , ?0, 取到次品


196 ? 0.98, P{ X ? 1} ? 200 4 P{ X ? 0} ? ? 0.02. 200

于是, X 服从参数为 0.98 的两点分布.

二项分布:
定义: 若随机变量X的可能取值为0,1,…,n,而X的分布律为

pk ? P?X ? k? ? Cnk p k qn? k , k ? 0,1,???,n,
其中0<p<1, p+q=1, 则称X服从参数为n,p的二项分布, 简记

X ? B ( n,。 p)

Remark:1) 当n=1,X服从0-1分布。 2) n重Bernoulli试验中,令X为A发生的次数,则

P?X ? k? ? b( k ; n, p) ? C p q
k n k

n? k

, k ? 0,1,???, n,

即X服从参数为n,p的二项分布。

3)

k k n? k n p ? C p q ? ( p ? q ) ?1 ? k ?n k ?0 k ?0

n

n

二项分布的图形特点
pk
pk

O

图 1 n ? 10 , p ? 0.7

n

O

n
图 2 n ? 13, p ? 0.5

从图易 看出: 对于固定 n 及 p, 当 k 增加时, 概率 P{ X ? k } 先是随之增加直至达到最大值,

随后单调减小。且有如下性质:
二项概率 1) ( n ? 1) p 不为整数时,

P{ X ? k } 在 k ? [( n ? 1) p] 达到最大值; ( n ? 1) p 为整数时, 二项概率 P{ X ? k } 2) 在 k ? ( n ? 1) p 和 k ? ( n ? 1) p ? 1 处达到最
大值. 注: [ x ] 为不超过 x 的最大整数.

例3 已知 100 个产品中有 5 个次品, 现从中有放回 地取 3 次, 每次任取 1 个, 求在所取的 3 个中恰有 2 个次品的概率. 解 因为这是有放回地取 3 次, 因此这 3 次试验的 条件完全相同且独立, 它是伯努利试验, 依题意,

每次试验取到次品的概率为 0.05.
设 X 为所取的 3 个中的次品数, 则

X ~ b( 3,0.05),
于是, 所求概率为:

P{ X ? 2} ? C (0.05) (0.95) ? 0.007125.
2 3 2

例4 某人进行射击, 设每次射击的命中率为 0.02, 独立射击400次,试求至少击中两次的概率.
解: 将一次射击看成是一次试验. 设击中的次数为 X , 则 X ~ b(400,0.02).

X 的分布律为

? 400 ? k 400? k P{ X ? k } ? ? , ? k ? ?(0.02) (0.98) ? ?
k ? 0,1,?,400. 于是所求概率为

P{ X ? 2} ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? 1 ? (0.98)400 ? 400(0.02)( 0.98)399

? 0.9972.
注: 若 X ? B( n, p), 则有

X ? ? Xi 。
i ?1

n

Xi ? B(1, p),( i ? 1,2 ,..., n)

泊松分布 定义 若一个随机变量 X 的概率分布为

P{ X ? k } ? e ? , k ? 0,1,2,?, k! 则称 X 服从参数为 ? 的泊松分布, 记为 X ~ P (? ) 或 X ~ ? (? ).
?? k

泊松分布的图形
特征如右图所示. 注: 历史上, 泊松 分布是作为二

P(? )
0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02

O

1 2 3 4 5 6 7 8 910 12 14 16 18 20 22 24

于1837年由法国数学家泊松引入的. 项分布的近似,

泊松分布 P ( ? ) (? ? 12 )

k

泊松分布产生的一般条件:

常遇到在随机时刻出 在自然界和现实生活中, 现的某种事件. 把在随机时刻相继出现的事件 所形成的序列称为随机事件流. 若随机事件流 具有平稳性、无后效性、普通性,则称该事件
流为泊松事件流(泊松流). 这里, 平稳性—在任意时间区间内, 事件发生 k 次 ( k ? 0) 的概率只依赖于区间长度而与区间端 点无关. 无后效性—在不相重叠的时间段内,事件的发 生相互独立.

普通性 —如果时间区间充分小, 事件出现两次 或两次以上的概率可忽略不计. 下列事件都可视为泊松流: 某电话交换台一定时间内收到的用户的呼叫数; 到某机场降落的飞机数; 某售票窗口接待的顾客数; 一纺锭在某一时段内发生断头的次数;…… 对泊松流,在任意时间间隔 ( 0, t ) 内,事件发 生的次数服从参数为 ?t 的泊松分布,? 称为 泊松流的强度.

例5 某一城市每天发生火灾的次数 X 服从参数

? ? 0.8 的泊松分布, 求该城市一天内发生 3 次
或 3 次以上火灾的概率.

解 由概率的性质, 得

P{ X ? 3} ? 1 ? P{ X ? 3} ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? P{ X ? 2}

0.8 ? 0.8 ? 0.8 ? ? 1 ? e ?0.8 ? ? 0! ? 1! 2! ? ? ? 0.0474.
0 1 2

4. 二项分布的泊松近似: 对二项分布 b( n, p), 当试验次数 n 很大时, 计 算其概率很麻烦. 例如, 要计算

P{ X ? 5}

? ? P{ X ? k } ? ? C
k ?6 k ?6

5000

5000

k 5000

1 ? ? ? ? ? 1000 ?

k

999 ? ? ? ? ? 1000 ?

5000? k

,

故须寻求近似计算方法. 这里先介绍二项分布的

泊松近似, 在本章第四节中还将介绍二项分布的
的正态近似. 事件 A 在 泊松定理 在 n 重伯努利实验中,

事件 A 在 Possion定理 在 n 重伯努利实验中, 每次试验中发生的概率为 pn , 若当 n ? ? 时, npn ? ? (? ? 0 为常数), 则有

lim b ( k ; n , p ) ? lim C p ( 1 ? p ) n n n?? n??
k n k n

n? k

k ? ? e ?? ,

k ? 0,1,2,?

k!

注: (i): 定理的条件意味着当 n 很大时,pn

必定很小. 因此,泊松定理表明, 当 n 很大,

p 很小时有下列近似公式: k k k n? k ? C n p (1 ? p) ? e ?? , k!

? ? np

(ii) 把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀 有事件, 此类事件如:地震、火山爆发、特大洪 水、意外事故等, 则由泊松定理知,n 重伯努利试 验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布. 例9 某公司生产一种产品 300 件, 根据历史生产记 录知废品率为 0.01, 问现在这 300 件产品经检验 废 品数大于 5 的概率是多少?

例9 某公司生产一种产品 300 件, 根据历史生产记
录知废品率为 0.01, 问现在这 300 件产品经检验 品数大于 5 的概率是多少? 解 把每件产品的检验看作一次伯努利试验, 它有 两个结果: A ? {正品}, A ? {废品}. 检验 300 件产 品 就是作 300 次独立的伯努利试验. 用 X 表示检验 出的废品数, 则

X ~ b( 300,0.01),

我们要计算 P{ X ? 5}. 对 n ? 300, p ? 0.01, 有 ? ? np ? 3, 于是, 得

P{ X ? 5} ? ? b( k;300,0.01)
k ?6

?

查泊松分布表,

k 3 ? 1 ? ? b( k;300,0.01) ? 1 ? ? e ?3 . k ?0 k ?0 k !

5

5



P{ X ? 5} ? 1 ? 0.916082 ? 0.08.

例10 一家商店采用科学管理, 由该商店过去的销 售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数

? ? 5 的泊松分布来描述, 为了以 95%以上的把
握保证不脱销, 问商店在月底至少应进该种商品
多少件?

解 设该商品每月的销售数为 X , 已知 X 服从参数

? ? 5 的泊松分布. 设商店在月底应进该种商品 m
件, 求满足 P{ X ? m } ? 0.95 的最小的 m , 即

e ?5 5k ? 0.95 ? k! k ?0

m

查泊松分布表, 得

e 5 ? 0.968172, ? k! k ?0
于是得 m ? 9 件.

9

?5

k

e ?5 5k ? 0.931906 ? k! k ?0

8


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