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6.函数的奇偶性及周期性


6.函数的奇偶性及周期性

一、函数的奇偶性

1.奇、偶函数的有关性质
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;

(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y轴对称 反之亦然; (3)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0;

(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两 侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关于y轴 对称可知,偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反

(5)若函数f(x)的定义域关于原点对称, 则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和: 1 1 f ( x) ? [ f ( x) ? f (? x)] ? [ f ( x) ? f (? x)] 2 2
(6)奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇 [两函数的定义域D1∩D2要关于原点对称]

(7)对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数,则F(x)是偶函数 若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数,则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数,则F(x)是偶函数

题型一:函数奇偶性的判断
?1,x∈Q, 例 1.设 Q 为有理数集, 函数 f(x)=? ?-1,x∈?RQ,

ex-1 g(x)= x ,则函数 h(x)=f(x)· g(x)( e +1 A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是偶函数也不是奇函数

)

[解析] ∵当 x∈Q 时, -x∈Q, ∴f(-x)=f(x)=1; 当 x∈? RQ 时, -x∈?RQ,∴f(-x)=f(x)=-1.综上,对任意 x∈R,都有 f(-x)=f(x), e-x-1 1-ex ex-1 故函数 f(x)为偶函数.∵g(-x)= -x = =- =-g(x),∴函 e +1 1+ex 1+ex 数 g(x)为奇函数.∴h(-x)=f(-x)· g(-x)=f(x)· [-g(x)]=-f(x)g(x)=- e-1 h(x),∴函数 h(x)=f(x)· g(x)是奇函数.∴h(1)=f(1)· g(1)= ,h(-1) e+1 e-1-1 1-e =f(-1)· g(-1)=1× -1 = , h(-1)≠h(1), ∴函数 h(x)不是偶函数. e +1 1+e

? [答案] A

练习: 1.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 1-x + x -1; (2)f(x)=3 -3 ; 4 -x 2 (3)f(x)= ; |x+3|-3 x +2,x>0, ? ? (4)f(x)=?0,x=0, ? ?-x2-2,x<0.
2 x
-x

2

2

?x2-1≥0, 解析:(1)∵由? 得 x=± 1,∴f(x)的定义域为{-1,1}. 2 ?1-x ≥0,

又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0,即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)∵f(x)的定义域为 R,∴f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x), 所以 f(x)为奇函数.
?4-x2≥0, (3)∵由? 得-2≤x≤2 且 x≠0. ?|x+3|-3≠0,

4-x2 4-x2 4-x2 ∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],∴f(x)= = = x , |x+3|-3 ?x+3?-3 ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (4)f(x)的定义域为 R,关于原点对称,当 x>0 时,f(-x)=-(-x)2-2= -(x2+2)=-f(x); 当 x<0 时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当 x=0 时,f(0)=0,也满足 f(-x)=-f(x).故该函数为奇函数.

题型二:函数奇偶性的应用
例 2.(1)(2013 年高考湖南卷)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( A.4 B.3 C.2 D .1 )

(2)设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0, f?x?+f?-x? 则不等式 >0 的解集为( x A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) )

B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2)

[解答] (1)∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 又 g(x)是偶函数,∴g(-1)=g(1).∵f(-1)+g(1)=2,∴g(1)-f(1)=2.① 又 f(1)+g(-1)=4,∴f(1)+g(1)=4.②,由①②,得 g(1)=3. (2)∵f(x)为偶函数, f?x?+f?-x? 2f?x? ∴ = x >0.∴xf(x)>0. x

[答案] (1)B (2)B

?x>0, ?x<0, ∴? 或? 又 f(-2)=f(2)=0,f(x)在(0,+∞)上为减函数, ?f?x?>0 ?f?x?<0.

故 x∈(0,2)或 x∈(-∞,-2).

互动探究:∵f(x)为偶函数,所以f(-n)=f(n),f(1-n)=f(n-1). 又∵函数y=f(x)在(0,+∞)为减函数,且0<n-1<n<n+1, ∴f(n+1)<f(n)<f(n-1).∴f(n+1)<f(-n)<f(n-1)=f(1-n).

例3. 已知定义域为R的函数f(x)= (1)求a,b的值;

?2 x ? b 2 x ?1 ? a

是奇函数.

(2) 若对任意的 t∈R, 不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求k的取值范围.

分析 本题主要考查函数的综合应用,利
用函数的奇偶性、单调性解决问题.

(1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
b ?1 即 a?2

=0,得b=1,所以f(x)=
=

1? 2 又由f(1)=-f(-1),知 a?4

故a=2,b=1.

1 1? 2,得a=2. a ?1

1 ? 2x x ?1 . a?2

(2)(方法一)由(1)知f(x)=

1 ? 2x a ? 2 x ?1

1 =? 2

1 + 2x ? 1

,

易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.又因为f(x) 是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2). 因为f(x)为减函数,由上式推得:

t2-2t>k-2t2,即对一切t∈R,3t2-2t-k>0,
从而判别式Δ=4+12k<0? k<?

故k的取值范围为(-∞,

1 ? ). 3

1 ? . 3

(方法二)由(1)知f(x)= 又由题设条件得
2 2 3 t 整理得2 -2t-k>1.

1? 2
2

2t 2 ? k

1 ? 2x a ? 2 x ?1

.
2

2?2 2?2 2 2 2 t k +1 t -2 t t -2 t +1 2 t 即(2 +2)(1-2 )+(2 +2)(1-2 -k)<0,

2t 2 ? k ?1

+

1 ? 2t

? 2t

t 2 ? 2 t ?1

<0,

因为底数2>1,故3t2-2t-k>0. 上式对一切t∈R均成立, 从而判别式Δ=4+12k<0? k< ?
1 ?. 3

故k的取值范围为(-∞,

1 ? ). 3

练习 2. (1)(2014 年浙江十校联考)偶函数 f(x)在[0,+∞)上为增函数,若 不等式 f(ax-1)<f(2+x2)恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.(-2 3,2) C.(-2 3,2 ) B.(-2,2) D.(-2,2 3) )

?x2+x,x≤0, (2)已知函数 f(x)=? 2 为奇函数, 则 a+b=________. ?ax +bx,x>0

解析:(1)偶函数f(x)在 [0,+∞)上为增函数,f(x)在 (-∞,0]为减 函数,所以f(ax-1)<f(2+ x2)恒成立,等价于 |ax-1|<2+x2恒成立,即 - x2-2<ax-1<x2+2,所以x2+ax+1>0且x2-ax+3>0,
?a2-4<0, 所以? 2 解得-2<a<2. ?a -12<0.

(2)当 x<0时,则-x>0,所以f(x)= x2+ x,f(-x)=ax2-bx,而f(-x) =-f(x),即-x2-x=ax2-bx, 所以a=-1,b=1,故a+b=0.

? 答案:(1)B (2)0

题型三.抽象函数的奇偶性
例3.已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)+f(x-y) =2f(x)· f(y),且f(0)≠0,求证:f(x)是偶函数.

[证明] 取x=0,y=0,得2f(0)=2f2(0),因为f(0)≠0,所 以f(0)=1;再取x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)· f(y)= 2f(y).所以f(y)=f(-y),所以函数f(x)是偶函数.

补充例题:

已知

f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ,
3 2

(1)若f(x)为奇函数,则b=

, d=

,

(2)若f(x)为偶函数,则a=

,c=

,

二、函数的周期性

1.周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取 定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称 函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

2.若函数满足f(x+T)=f(x),由定义可知T是函数的一个 周期;那么nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期.
3.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数,那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.

4.周期性常用的结论: 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; 1 (2)若 f(x+a)= ,则 T=2a; f? x? 1 (3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a. f? x?

(4)若函数 f ( x)的图象同时关于直线 x ? a与 x 对称,那么函数 f ( x) 的周期为 2(b ? a)
? f ?2(b ? a) ? x? ? f ?b ? (b ? 2a ? x)?
证: 由已知得 f (a ? x) ? f (a ? x) , f (b ? x) ? f (b ? x)

?b

? f ?b ? (b ? 2a ? x)? ? f (2a ? x) ?T ? 2(b ? a) ? f ?a ? (a ? x)?

? f ?a ? (a ? x)? ? f ( x)

特例:若函数 f ( x) 是偶函数,其图象关于直线 x ? a 对称, 那么其周期为 T=2a

(5)若函数 f ( x) 关于直线 x ? a对称,又关于点 (b,0) 对称,那么函数 f ( x) 的周期是4(b-a)
证:由已知得 f (a ? x) ? f (a ? x) , f ( x) ? ? f (2b ? x)
? f ? x ? 2(b ? a)? ? f ?b ? (b ? 2a ? x)?
f (b ? x) ? ? f (b ? x)

? ? f ?b ? (b ? 2a ? x)?

? ? f (2a ? x) ? ? f ?a ? (a ? x)?
? ? f ?a ? (a ? x)? ? ? f ( x)

?T ? 4(b ? a)

? f ?x ? 4(b ? a)? ? f ?x ? 2(b ? a) ? 2(b ? a)? ? ? f ?x ? 2(b ? a)? ? f ( x)

特例:若函数 f ( x) 是奇函数,又其图象关于直线 x ? a 对称, 那么其周期为T=4a

题型一:函数的周期性及其应用
例 1.(1)(2014 年绍兴模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x) 3? 满足 f(x)=-f x+2? ?,且 f(1)=2,则 f(2 014)=________. ? 1+f?x? (2)(2014 年金华模拟)已知函数 f(x)满足 f(x+1)= , 1-f?x? 若 f(1)=2 014,则 f(103)=________.
3 [解答] (1)∵f(x)=-f x+2 , ∴f(x+3)=f
?? ?? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

∴f(x)是以 3 为周期的周期函数.

1+f?x? 1 + 3 3? 3 1-f?x? 1+f?x+1? 1 x+2 + ?=-f x+ =f(x). ∴ f ( x + 2) = = =- . 2 2? f?x? 1-f?x+1? 1+f?x? 1- 1-f?x?
? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

1+f?x? (2)∵f(x+1)= , 1-f?x?

则 f(2 014)=f(671×3+1)=f(1)=2. 1 答案:(1)2 (2)-2 014

∴f(x+4)=f(x),即函数 f(x)的周期为 4. ∵f(1)=2 014. 1 1 ∴f(103)=f(25×4+3)=f(3)=- =-2 014. f?1?

例2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒 有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
解析:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2],∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. 又∵f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

1 练习:已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) 4 (x,y∈R),则 f(2 014)=_______.
[解析] 取x=n, y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)= f(n+2)+f(n), 联立,得f(n+2)=-f(n-1),所以f(n+3)=-f(n),f(n+6)=-f(n 1 +3)=f(n),所以函数的周期为T=6,故f(2 014)=f(4)=-f(1)=- . 4
1 [答案] -4

变式探究 4 已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 2 时,f(x)=x+x . (1)求 x<0 时,f(x)的解析式; (2)问是否存在这样的非负数 a,b,当 x∈[a,b]时,f(x) 的值域为[4a-2,6b-6]?若存在,求出所有 a,b 的值;若不 存在,请说明理由.

解析:(1)设 x<0,则-x>0,于是 f(-x)=-x+x2, 2 又 f(x)为奇函数,即 x<0 时,f(x)=x-x . (2)假设存在这样的数 a,b. ∵a≥0,且 f(x)=x+x2 在 x≥0 时为增函数, ∴x∈[a,b]时,f(x)∈[f(a),f(b)]=[4a-2,6b-6], 2 2 ? ? 6 b - 6 = f ? b ? = b + b , b ? ? -5b+6=0, ∴? ?? 2 ? 2 ? ? ?4a-2=f?a?=a +a ?a -3a+2=0

? ?b=2或b=3, ? ? ?a=1或a=2, ? ?a=2, ? ? ?b=3,

? ?a=1, 即? ? ?b=2,

? ?a=1, 或? ? ?b=3,

? ?a=2, 或? ? ?b=2,



考虑到 0≤a<b,且 4a-2<6b-6,
? ?a=1, 值分别为? ? ?b=2, ? ?a=1, 或? ? ?b=3,

可得符合条件的 a ,b
? ?a=2, ? ? ?b=3.



题型二 函数的性质的综合运用
且当 x ?[0,1]时,f ( x) ? 3
?x

例3.已知定义在R上的偶函数 f ( x)满足f ( x ? 2) ? f ( x),
1 ?1,求 f (log 1 32 ) 的值 3

解:? f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1) ? f ( x),?T ? 2 , 又
log 1
3

1 ? log3 32, 且3 ? log 3 32 ? 4 32

变式一: 已知 f ( x )是定义在R上的偶函数,且 1 f ( x ? 2) ? ? ,当2 ? x ? 3, f ( x) ? x, 求f (5.5) f ( x)
解:由已知得 T=4,

1 49 log3 32? 4 ? f (log 1 ) ? f (log3 32) ? f (log3 32 ? 4) ? 3 ?1 ? ? 81 3 32

? f (5.5) ? f (5.5 ? 8) ? f (?2.5) ? f (2.5) ? 2.5

例4

(1)求f(x)的解析式;

a 已知a>0,且a≠1,f(logax)= 2 ( a ?1

1 x ? ). x

(2)判断f(x)的奇偶性和单调性; (3)若函数f(x)定义在(-1,1)时,有f(1m)+f(1-m2)<0,求m的集合M.

a 1 代入f(logax)= 2 ( x ? )可得, a ?1 x a

(1)令t=logax,则x=at, (at-a-t).

f(t)=

所以函数的解析式为

a2 ?1

a f(x)= 2 ? (ax-a-x)(x∈R). a 1

a a (2)因为f(-x)= a 2 ? 1 (a-x-ax)=- a 2 ? 1 (ax-a-x)=-f(x),

所以f(x)为奇函数.设x1、x2∈R,且x1<x2,
a 则f(x1)-f(x2)= 2 [(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)] a ?1 a

=

当a>1时,a2-1>0,ax1-ax2<0,

a2 ?1

(ax1-ax2)(1+ x 1 x ).
a 1a
2

所以f(x1)<f(x2),
当0<a<1时,a2-1<0,ax1-ax2>0,
a 所以f(x1)<f(x2),2 a ?1

所以当a>0且a≠1时,f(x)总是增函数.

(3)当x∈(-1,1)时,有 -1<1-m<1 -1<1-m2<1? -2<m<2且m≠0
?

0<m<2

?0<m< 2 .

由f(1-m)+f(1-m2)<0,得f(1-m)<-f(1-m2). 而f(x)为奇函数,所以f(1-m)<f(m2-1). 又f(x)为增函数,所以1-m<m2-1, 本例中第( 3 )小题属抽象函数 点评 即m2+m-2>0,解得m>1或m<-2. 的单调性应用问题 . 解题时一要注意定 综上所述,可知 1<m< 2 . 义域,二要注意函数值之间的大小关 所以集合 M={m|1<m< 2 }. 系与自变量的大小关系的转化 .

例5.设函数 f ( x) 的定义域关于原点对称,且满足
f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 )
解: ⑴对任意的 x, 设x ? x1 ? x2 , 则

②存在正常数a,使得 f (a) ? 1

f ( x)为奇函数;⑵求证:f ( x) 为周期函数. ⑴求证:
f ( x2 ) f ( x1 ) ? 1 ? ? f ( x1 ? x2 ) ? ? f ( x) ,故 f ( x ) 为奇函数 f ( x1 ) ? f ( x2 )

f (? x) ? f ( x2 ? x1 ) ?

f ( x ) f ( ?a ) ? 1 ? f ( x ) ? 1 f ( x ) ? 1 f ( x ? a) ? f [ x ? (?a)] ? ? ? ⑵ f (?a) ? f ( x) ?1 ? f ( x) f ( x) ? 1
f ( x) ? 1 ?1 f ( x ? a ) ? 1 f ( x) ? 1 1 f ( x ? 2a ) ? ? ?? f ( x ? a ) ? 1 f ( x) ? 1 ? 1 f ( x) , f ( x) ? 1

? f ( x ? 4a) ? f ( x),?T ? 4a


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