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优秀教案14-直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质


2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
教材分析 直线与平面、平面与平面平行的性质属于立体几何初步的知识.在此之前,学生已经学 习了点、直线、平面之间的位置关系,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.本节内容是学 生学过的直线与平面平行及平面与平面平行的判定的延续, 它是立体几何中起承上启下作用 的核心知识之一,因此,在立体几何中占据重要的位置. 课时分配 本节需要 1 课时 教学目标 重点:直线与平面、平面与平面平行的性质定理的探索、理解、表达和应用. 难点:直线与平面、平面与平面平行的性质定理的证明与应用. 知识点:掌握两性质定理,并能用数学符号语言表示,理解两个平行平面的公垂线、公垂线 段、距离的定义,同时掌握性质定理的应用. 能力点:学生通过观察,借助实物模型,推理论证后整理得到两性质定理,并能用该定理来 解决一些问题. 教育点:体会探究的乐趣,激发学习的热情,进一步提高学生的空间想象能力. 自主探究点: 直线与平面、平面与平面平行的性质定理. 考试点: 两性质定理的应用. 易错易混点: 对平行的意义理解不深刻. 拓展点:平面问题与空间问题之间的转化. 教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课: 1、 复习引入 请同学们回顾一下: (1)直线与平面平行的判定定理? (2)直线与平面的位置关系? (3)思考:如果直线和平面平行、那么这条直线与这个平面内的直线是有什么位置关 系? 【师生活动】投影幻灯片,师生共同复习,并讨论思考题. 【设计意图】复习巩固前面所学知识,为本节课的学习奠定基础. 二、探究新知 (一)思考题: (1)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的直线有哪些位置关系? (2)黑板的下底边沿所在的直线与水平面平行,那么如何在水平面内找与黑板下底边沿所 在直线平行? 【师生活动】学生独立思考2~3分钟,再小组讨论、交流、分享,教师适时点拨学生. 【设计意图】通过讨论板书加深学生对知识的理解.培养学生书写的能力. 师生共同归纳得出结论:如果一条直线 a 与一个平面 ? 平行,那么在这个平面 ? 内一 定可以找到直线与该直线 a 平行. (二)直线与平面平行的性质定理 直线与平面平行的性质: 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行.

符号表示:

? ? a?? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
数学思想: (线面平行 ? 线线平行)

a // ?

【师生活动】学生讨论,老师点拨. 【设计意图】总结出直线与平面平行的性质定理,并能借助数学符号进行深入理解,体 会数学思想在数学中的应用. (三)平面与平面平行的性质定理 思考: 如果平面 ? // ? ,那么平面 ? 内的直线 a 和平面 ? 内的哪些直线平行?怎么找出这 些直线? 【师生活动】学生独立思考,接下来小组讨论、交流,教师适时点拨. 【设计意图】在教师的启发下,师生共同概括完成上述结论及证明过程,从而得到两个 平面平行的性质定理. 结论:过直线 a 做平面与平面 ? 相交,则交线和直线 a 平行.

平面与平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交 线平行. 符号表示:

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
证明: 因为 ? ? ? ? a , ? ? ? ? b , 所以 a ? ? , b ? ? , 又因为 ? // ? , 所以 a, b 没有公共点, 又因为 a, b 同在平面 ? 内, 所以 a ? b . 【师生活动】学生讨论,老师点拨. 【设计意图】总结出平面与平面平行的性质定理,并能借助数学符号进行深入理解,体

会数学思想在数学中的应用. (四)面面距离的有关概念 1、两个平行平面的公垂线:和两个平行平面同时垂直的直线. 2、两个平行平面的公垂线段:两个平行平面的公垂线夹在这两个平行平面间的部分. 3、两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线段的长度. 【师生活动】学生讨论,老师点拨. 【设计意图】 面面距离实质上是点面距离, 面面距离也是这两个平行平面内两个动点间 的最短距离. 三、理解新知 1)两定理中三个条件缺一不可. 2)作用:两性质定理可以作为判断直线与直线平行的重要依据. 3)提供了过已知平面内一点作与该平面的平行线相平行的直线的方法,即:辅助平面法. 四、运用新知 例 1.木工小罗在处理如图所示的一块木料时,发现该木料表面 ABCD 内有一条裂纹 DP ,已知 BC ∥平面 AC .他打算经过点 P 和 BC 将木料锯开,却不知如何画线,你能帮 助他解决这个问题吗? D′ A′ D A P· D B B ′ C C′

探索:1)怎样确定截面(由哪些条件确定)? 2)所画的线与平面 AC 是什么位置关系? 师分析: 经过木料表面 A?C ? 内一点 P 和棱 BC 将木锯开, 实际上是经过 BC 及 BC 外一点 P 作截面, 也就是作出平面与平面的交线, 现在请大家思考截面与平面 A?C ? 的交线 EF 与 BC 的位置关系如何?怎样作? 生 : 由 直 线 与 平 面 平 行 的 性 质 定 理 知 BC ∥ EF , 又 BC ∥ B?C ? , 故 只 须 过 点 P 作 EF ∥ B?C ? 即可. 解: 如图, (1) 在平面 A?C ? 内, 过点 P 作直线 EF , EF ∥ B?C ? , 使 并分别交棱 A?B? ,C ?D ? 于点 E , F .连接 BE , CF ,则 EF 、 BE 、 CF 就是应画的线.(2)因为棱 BC 平行于平面 A?C ? ,平面 BC ? 与平面 A?C ? 交于 B?C ? ,所以, BC ∥ B?C ? .由(1)知, EF ∥ BC ,因 此 BE 、 CF 显然都与平面 AC 相交. 教师板书第一问,学生完成第二问,教师给予点评.巩固所学知识培养学生空间想象能力, 转化化归能力及书写表达能力. 变式训练 1: 如图:四面体 A ? BCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一个矩形, 求证: CD //平面 EFGH .

证明:∵截面 EFGH 是一个矩形,

∴ EF // GH ,又 GH ? 平面 BCD , EF ? 平面 BCD , ∴ EF //平面 BCD ,而 EF ? 平面 ACD ,平面 ACD ∩平面 BCD = CD ∴ EF // CD ,∴ CD //平面 EFGH .

【师生活动】例1让学生独立进行,然后师生交流分享;变式题师生交流后教师讲解板书. 【设计意图】培养学生解题能力及灵活思考的方法和习惯. 师投影例2并读题,学生思考. 例 2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平 面. 变式训练 2: .求证:如果一条直线和两个相交平面平行,那么这条直线和它们的交线平行. 分析: 1)用数学符号语言描述上述命题,写出已知和求证; ? 2)用图形语言描述上述命题,即画出相应图形; δ a β 3)综合利用线面平行的性质定理与判定定理解答本题.

d
α 已知:如图: a // ? , a // ? , ? ? ? ? b ,求证: a // b . 解析: 本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行. 证明: 如图,过 a 作平面 ? 、 ? ,使得 ? ∩ ? = c , ? ∩ ? = d ,那么有 bα

c

α α

? ? ? ? c? ? d ? ?? c ?? ? ? ? ? ? ? ? a // ? ? ? a // c ? ? c // d ? ? c // ? ? ? c // b ? ? a // b ? 同理a // d ? c ? ? ? ? ? ? ? b ? 同理a // c ? a?? ? ? ? ? ?
【师生活动】 学生思考, 教师点拨, 体会直线与平面平行的性质定理和判定定理的综合使用. 【设计意图】培养学生应用性质定理解题的能力. 例 3.求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言: 已知: ? // ? , AB∥CD , A ?? , D ?? , B ? ? , C ? ? . 求证: AB ? CD . 解析:利用什么定理?(平面与平面平行性质定理)关键是如何得到第三个相交平面. 证明:因为 AB∥CD , 所以过 AB 、 CD 可作平面 ? ,且平面 ? 与平面 ? 、平面 ? 分别交于 AD 和 BC , 因为 ? // ? ,所以 AD // BC . 所以四边形 ABCD 是平行四边形 所以 AB ? CD 点评:面面平行 ? 线线平行. 变式训练 3: 判断下列结论是否成立: ① 过平面外一点,有且仅有一个平面与已知平面平行; ) ( ② 若?∥?,?∥? ,则?∥? ; ( ) ③ 平行于同一个平面的两条直线平行; ) ( ④ 两个平面都与一条直线平行,则这两个平面平行; ) ( ⑤一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交.( ) 【师生活动】例 1 学生交流讨论形成结果,变式题让学生独立进行. 【设计意图】 加深巩固平面与平面平行性质定理的应用, 引导学生学会寻找第三个相交平面. S ? ABCD 底面为平行四边形, E、 F 分别为边 AD 、 SB 中 例题 4.已知:如下图,四棱锥 点.

求证: EF ∥平面 SDC . 解析:证线面平行,需证线线平行.

变式训练 4: 已知:正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , E、 F 分别为棱 BC 、 C1D1 中点, 求证: EF //平面 BB1D1D

【师生活动】 学生思考, 教师点拨, 体会平面与平面平行的性质定理和判定定理的综合使用. 【设计意图】培养学生应用性质定理解题的能力. 五、课堂小结 教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想与方法? 学生回答:知识上 直线与平面平行的性质定理及其应用; 思想上 空间问题与平面问题之间的相互转化; 方法上 辅助平面法,即构造辅助平面,以实现线线平行与线面平行间的相互转 化. 教师总结:转化的数学思想,即线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化. 转化的关系如下: 线线平行 判定 定理 判定 定理 线面平行 性质 定理 性质 定理 线线平行

线面平行

面面平行

线线平行

【师生活动】学生总结,教师板书. 【设计意图】提高学生的概括能力. 六、布置作业 必做题:(1)书面作业课本第 62 页习题 2.2A 组题 5、6;

(2)丛书第 136-137 页. 选做题:学习丛书第138页. 七、教后反思 本节课主要运用了探究性教学.对于性质定理的学习,不是生硬地直接告诉学生线面 平行、面面平行的性质定理,而是通过设置一个个问题,层层不断地分析处理,最后让学生 归纳出两个性质定理, 这样不但让学生对定理有准确的把握, 而且对他们也进行了学习方法 和思维方法的指导,即尝试用从特殊到一般、转化等思想解决问题,使他们掌握了处理问题 的方法.从实际教学效果来看,设计探究与思考,激起了学生的思维;培养学生团结合作意 识,调动了学生的积极性,培养了学生的分析归纳能力,体现了学生主体性,使课堂教学成 为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思维活动的场所. 另外, 学生做题不够规范, 符号语 言表示不太准确 ,应加强学生做题规范性的训练. 八、板书设计

2.2.3 -2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 一、直线与平面平行的性质定理 二、例题 例1 例2 三、小结

? ? a?? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
二、平面与平面平行的性质定理

a // ?

例3 例4

四、作业布置

变式

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?


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