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3.1.3概率的基本性质 (1)


〖教学情境设计〗
(1)集合有相等、包含关系, 如{1,3}={3,1},{2,4} ?{2,3,4,5}等; (2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如: C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现1点 或2点},C4={出现的点数为偶数}…… 观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你 能发现事件的关系与运算吗?

事件的关系和运算:

(1)包含关系
一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则 事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事 件A包含于事件B),记作 B ? A (或A ? B) 如图:

B

A

例.事件C1 ={出现1点 }发生,则事件 H ={出现的 点数为奇数}也一定会发生,所以 H ? C1 注:不可能事件记作

?,任何事件都包括不可能事件。

事件的关系和运算: (2)相等关系
一般地,对事件A与事件B,若 B ? A且A ? B , 那么称事件A与事件B相等,记作A=B 。 如图:

B

A

例.事件C1={出现1点}发生,则事件D1={出现的点数不 大于1}就一定会发生,反过来也一样,所以C1=D1。

例:从一批产品中抽取30件进行检查, 记 A =30件产品中至少有1件次品, B =30 件产品中有次品。 说出A与B之间的关系。
显然事件 A 与事件 B 等价 记为:A = B

事件的关系和运算: (3)并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则 称此事件为事件A和事件B的并事件(或和事件), 记作 A ? B (或A ? B )。 如图:

B A? B

A

例.若事件K={出现1点或5点} 发生,则事件C1 = {出现1点}与事件C5 ={出现 5 点 }中至少有一个会 发生,则K .

事件的关系和运算: (4)交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生, 则称此事件为事件A和事件B的交事件(或积事 件),记作 A ? B 。 (或AB ) 如图:

B A? B

A

例.若事件 M={出现1点且5点}发生,则事件C1 ={出现1点}与事件C5 ={出现5点}同时发生, 则 M ? C1 ? C5 .

例:某项工作对视力的要求是两眼视力都在1.0 以上。记事件 A = “左眼视力在1.0以上” 事件 B =“右眼视力在1.0以上” 事件 C =“视力合格” 说出事件A、B、C的关系。

显然,C = A ? B

事件的关系和运算: (5)互斥事件
若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ),那么称事件A 与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试 验中都不会同时发生。
如图:

A

B

例.因为事件C1={出现1点}与事件C2={出现2点}不可能 同时发生,故这两个事件互斥。

事件的关系和运算: (6)互为对立事件
若 A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,那么称事 件A与事件B互为对立事件,其含义是:事件A与事件B在 任何一次试验中有且仅有一个发生。

如图:

注:(1)事件A与事件B在任何一次试验中 有且仅有一个发生。

A

B

(2)事件A的对立事件记为

A

例. 事件G ={出现的点数为偶数}与事件H ={出现的点 数为奇数} 即为互为对立事件。

事件的关系和运算
事件 关系 事件 运算

3.事件的并 (或和)

1.包含关系 2.等价关系

4.事件的交 (或积) 5.事件的互斥 (或互不相容) 6.对立事件 (逆事件)

思考:你能说说互斥事件和对立事件的区别吗?

对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不 一定是对立事件。
投掷一枚硬币,考察正面还是反面朝上。 A={正面朝上} ,B={反面朝上}
A,B是对立事件 A,B是互斥(事件)

某人对靶射击一次,观察命中环数 A =“命中偶数环” B =“命中奇数环” C =“命中 0 数环”
A,B是互斥 事件 A,B是对立事件

例:从某班级中随机抽查一名学生,测量他的身高, 记事件 A =“身高在1.70m 以上”, B =“身高不多于1. 7m ” 说出事件A与B的关系。

显然,事件A 与 B互为对立事件

练习:一名学生独立解答两道物理习题, 考察这两道习题的解答情况。 记 A = “该学生会解答第一题,不会解 答第二题” B = “该学生会解答第一题,还会解答 第二题” 试回答: 1. 事件A 与事件B 互斥吗?为什么? 2. 事件A 与事件B 互为对立事件吗?为 什么?

3.例题分析: 例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是 互斥事件?哪些是对立事件? 事件A:命中环数大于7环; 事件B:命中环数为10环; 事件C:命中环数小于6环; 事件D:命中环数为6、7、8、9、10环. 分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先 将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可 能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件 的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生。

解:互斥事件有:A和C、B和C、C和D. 对立事件有:C和D.

判断下列事件是不是互斥事件?是不是 对立事件?
1)某射手射击一次,命中的环数大于8与命 中的环数小于8; 2)统计一个班级数学期末考试成绩,平均 分不低于75分与平均分不高于75分; 3)从装有3个红球和3个白球的口袋内任取2 个球,至少有一个白球和都是红球。

1.在某次考试成绩中(满分为100分),下列事件的关系是什么? ① A1={大于70分小于80分},A2={70分以上}; ② B1={不及格},B2={60分以下} ; ③ C1={90分以上},C2={95分以上},C3={大于90分小于等于95分}; ④ D1={大于60分小于80分},D2={大于70分小于90分}, D3={大于70分小于80分}; 2.判断下面给出的每对事件是否是互斥事件或互为对立事件。 从40张扑克牌(四种花色从1~10 各10 张)中任取一张 ①“抽出红桃”和“抽出黑桃” ②“抽出红色牌”和“抽出黑色牌” ③“抽出的牌点数为 5 的倍数”和“抽出的牌点数大于 9”

3、某检查员从一批产品中抽取8件进行检查, 观察其中的次品数,记: A ={次品数少于5件} ; B ={次品数恰有2件} C ={次品数多于3件} ; 试写出下列事件的基本事件组成: A∪ B , A ∩C, B∩ C ;
A∪B = A A∩C= {有4件次品} B∩C =

?

4.抽查10件产品,设事件A:至少有两件
次品,则A的对立事件为( B ) A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C. 至多两件正品

D. 至少两件正品

5.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙
两级均属次品,若生产中出现乙级品的概 率为0.03、丙级品的概率为0.01,则对成 品抽查一件抽得正品的概率为( D A.0.09 B.0.98 )

C.0.97

D.0.96

6.一个人打靶时连续射击两次 事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( D ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都不中靶

7.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分 给甲、乙、丙、丁四人,每人分得一 张,那么事件“甲分得红牌”与事件 “乙分得红牌”是 ( )B A.对立事件 B. 互斥但不对立事件 C.必然事件 D. 不可能事件

P121练习 4、一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有 一次中靶”的互斥事件是(D ) (A)至少有一次中靶。(B)两次都中靶。 (C)只有一次中靶。 (D)两次都不中靶。 5、把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、 丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得 红牌”与事件“乙分得红牌”是( B) (A)对立事件 。 (B)互斥但不对立事件。 (C)不可能事件 。( D)以上都不是。

? 练习:从1,2,…,9中任取两个数,其中 (1)恰有一个是偶数和恰有一个是奇数; (2)至少有一个是奇数和两个数都是奇数; (3)至少有一个奇数和两个都是偶数; (4)至少有一个偶数和至少有一个奇数。 在上述事件中是对立事件的是 ( C ) A.(1) B.(2) (4) C.(3) D.(1) (3)

? 练习:判断下列给出的每对事件,是否为互 斥事件,是否为对立事件,并说明理由。 从40张扑克牌(红桃,黑桃,方块,梅花点 数从1-10各10张)中,任取一张。 (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; 是互斥事件,不是对立事件 (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; 既是互斥事件,又是对立事件 (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出 的牌点数大于9”。 不是互斥事件,也不是对立事件

2.概率的几个基本性质: (1)任何事件的概率在0~1之间,即 0≤P(A)≤1 (2)必然事件的概率为1,即 P(Ω)=1 (3)不可能事件的概率为0,即 P(?) ? 0 (4)如果事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B) (5)如果事件B与事件A是互为对立事件,则 P(B)=1-P(A)

例1 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机 抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是 0.25,取到方块(事件B)的概率是0.25,问: (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

分析:事件C=A∪B,且A与B互斥,因此 可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事 件D是对立事件,因此P(D)=1-P(C).
解:(1)P(C)=P(A)+ P(B)=0.25+0.25=0.5; (2)P(D)=1-P(C)=1-0.5=0.5.

例2、抛掷骰子,事件A= “朝上一面的数是奇数”, 事件B = “朝上一面的数不超过3”, 求P(A∪B)
解法一: 因为P(A)=3/6=1/2,P(B)=3/6=1/2 所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1 解法二: A∪B这一事件包括4种结果,即出现1,2,3和5 所以P(A∪B)= 4/6=2/3 请判断那种正确!

例3 甲,乙两人下棋,和棋的概率为1/2,乙获 胜的概率为1/3,求: (1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率。

分析:甲乙两人下棋,其结果有甲胜,和棋, 乙胜三种,它们是互斥事件。 解(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜” 的对立事件,所以甲获胜的概率是P=11/2-1/3=1/6。 (2)解法1,“甲不输”看作是“甲胜”, “和棋”这两个事件的并事件所以 P=1/6+1/2=2/3。解法2,“甲不输”看作是 “乙胜”的对立事件,P=1-1/3=2/3。

例 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、 黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的 1 概率为 ,得到黑球或黄球的概率是 , 3 5 5 得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到 12 12 黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多 少?

分析:利用方程的思想及互斥事件、 对立事件的概率公式求解.
解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球”、“摸 到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、 5 C、D,则有P(B∪C)=P(B)+P(C)= ; 12 P(C∪D)=P(C)+P(D)=
5 12

; ,

1 2 P(B∪C∪D)=1-P(A)=1- = 3 3

1 1 1 解得P(B)= ,P(C)= ,P(D)= 6 4 4

? 练习 某射手射击一次射中10环,9环,8环, 7环的概率是0.24,0.28,0.19,0.16,计 算这名射手射击一次 (1)射中10环或9环的概率; (2)至少射中7环的概率。 (1) P(A∪B)=P(A)+P(B) =0.24+0.28=0.52。 (2) 因为它们是互斥事件,所以至少射 中7环的概率是 0.24+0.28+0.19+0.16=0.87

由经验得知,在某建设银行营业窗口排队等候存取款的 人数及其概率如下:

排队 人数 概率

0 ~ 10 人 0.12

11 ~ 20 人 0.27

21 ~ 30 人 0.30

31 ~ 40 人 0.23

41人以 上 0.08

计算:(1)至多20人排队的概率; (2)至少11人排队的概率。

? 练习:某地区的年降水量在下列范围内的概率如 下表所示:

年降水 [100,150) [150,200) [200,250) [250,300) 量(mm) 概率 0.12 0.25 0.16 0.14

(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围 内的概率; P=0.12+0.25=0.37 (2)求年降水量在[150,300)(mm)范 围内的概率。 P=0.25+0.16+0.14=0.55

例4 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄 球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为1/3, 得到黑球或黄球的概率是5/12,得到黄球或绿球的概 率也是5/12,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的 概率各是多少? 分析:利用方程的思想及互斥事件、对立事 件的概率公式求解. 解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球”、 “摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、 则有 P(B∪C)=P(B)+P(C) =5/12; C 、D , P(C∪D)=P(C)+P(D) =5/12; P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A) =1-1/3=2/3; 解的P(B)=1/4,P(C)=1/6,P(D)=1/4.

答:得到黑球、黄球、绿球的概率分别是1/4,1/6,1/4.

例5. 某公务员去开会,他乘火车、轮船、 汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、 0.4, (1)求他乘火车或乘飞机去的概率; (2)求他不乘轮船去的概率; (3)如果他乘某种交通工具去开会的概 率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具 去的?

解:记“他乘火车去”为事件A,,“他 乘轮船去”为事件B,“他乘汽车去”为 事件C,“他乘飞机去”为事件D,这四 个事件不可能同时发生,故它们彼此互 斥, (1)故P(A∪C)=0.4; (2)设他不乘轮船去的概率为P,则 P=1-P(B)=0.8; (3)由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3,故他有 可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽 车或乘飞机去。

已知:诸葛亮的成功概率为0.90.三个臭皮

匠的成功概率分别为:0.6,0.5,0.5.
证明:三个臭皮匠抵个诸葛亮.

课堂小结
1.概率的基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0, 因此0≤P(A)≤1; 2)当事件A与B互斥时,满足加法公式: P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事 件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1-P(B);

2.互斥事件与对立事件的区别与联系: 互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中 不会同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不 发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不 发生. 对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个 发生,其包括两种情形;(1)事件A发生且B不 发生;(2)事件B发生事件A不发生. 对立事件是互斥事件的特殊情形。

作业:p124

6题


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