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辽宁省沈阳市第二中学2017届高三上学期期中考试理数试题Word版含答案.doc


数学(理)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1. 设集合 A ? ? x | x ? 2? , B ? ? x | y ?

? ? ? ?

x ? ? ? ,则 A ? B ? x ?1 ? ?
<

br />(



A. ?1, 2?

B. ? 0, 2?

C. ?1, 2?

D. ? ?1,0? )

2. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S5 ? 25 ,则 a3 的值为 ( A. 2 B. 5 C. 10 D. 15

3. 已知 a ? ? 2,1? , b ? ? 3, m ? ,若 a ? a ? b ,则 a ? b ? ( A. 3 B. 4 C. 5 ) B.奇函数,在 D.偶函数,在 D. 9

?

?

?

?

? ?

?

? ?



4. 下列关于函数 y ? ln x 的叙述正确的是 ( A.奇函数,在 C. 偶函数,在

?0, ??? 上是增函数 ?0, ???
上是减函数

?0, ??? 上是减函数 ?0, ???
上是增函数

y 2 x2 5. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两条渐近线与直线 y ? ?1 所围成的三角形 a b
面积为 4 , 则双曲线 C 的离心率为 A. 15 B. ( )

17 15 C. 17 D. 2 2 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? b ? , ? a ? c, b ? c ? 60? , 6. 设向量 a, b, c 满足:a ? b ? 1, a ? 则 c 的最大值为 ( 2
A. 2 B. 3 C.



2

D. 1

?x ? y ?1 ? 0 2 ? 1 1? 1 ? ? 7. 若不等式组 ? y ? ? 0 表示的区域为 ? ,不等式 ? x ? ? ? y 2 ? 表示的区域为 2 2? 4 ? ? ? ?x ? y ?1 ? 0

? ,向 ? 区域均匀随机撒 360 颗芝麻,则落在区域 ? 中芝麻数约为(
A. 114 B. 10 C. 150 D. 50



8. 已知函数 f ? x ? ? 2 cos ?? x ? ? ? ? ? 0, ? ? ? 0, ? ? 的部分图象如图所示,若

?

?

?? ? ? 3? ? A ? , 2 ? , B ? , 2 ? 则下列说法错误的是 ?2 ? ? 2 ?
A. ? ?





3 ? 4

B.函数 f ? x ? 的一条对称轴为 x ?

15 ? 8

C. 为了得到函数 f ? x ? 的图象,只需要将函数 y ? 2sin 2 x 的图象向右平移 D.函数 f ? x ? 的一个单调递减区间为 ?

? 个单位 8

? 9 13 ? ?, ? ?8 8 ? ?


9.若 x, y, z 均为正实数,则

xy ? zy 的最大值为 ( x ? y2 ? z2
2

A.

2 2

B.

2 3

C. 1

D. 2

10. 函数 f ? x ? ? A sin ??x ? ? ? 满足: f ?

?? ? ? x? ? ? f ?3 ?

?? ? ? ? x ? ,且 ?3 ?
) D. 5

?? ? ?? ? f ? ? x ? ? f ? ? x ? ,则 ? 的一个可能取值是 ( ?6 ? ?6 ?
A. 2 B. 3 C. 4

2 11. 抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F , 斜率为 k 的直线 l 的直线与抛物线 C 交于 M , N 两

点,若线段 MN 的垂直平分线与 x 轴交点的横坐标为 a ? a ? 0? , n ? MF ? NF ,则

2a ? n ? (
A. 2

) B. 3
2

C. 4
3

D. 5

12. 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? a ln x ? a ? R ? , g ? x ? ? ? x ?

5 2 x ? 2 x ? 6, g ? x ? 在 ?1, 4? 2
( )

上的最大值为 b ,当 x ??1, ?? ? 时, f ? x ? ? b 恒成立,则 a 的取值范围是 A. a ? 2 B. a ? 1 C.

a ? ?1

D. a ? 0

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
2 ? ? x ? 3x ? 4, x ? 1 13. 已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? f ? ?1? ? ? __________. ? ?log 2 ?1 ? x ? , x ? 1

14. 等比数列

?an ? 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 ?lg an ? 的前 8 项和为

__________.

15.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 若 a, b, c 成等差数列,则 sin A ? sin C ? _________.

? 4a ? 3c? cos B ? 3b cos C ,

16. 如图,在矩形 ABCD 中, E , F 分别为 AD 上的两点,已知

?CAD ? ? , ?CED ? 2? , ?CFD ? 4? , AE ? 600, EF ? 200 3 ,则 CD ?

_________.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

sin ?C ?

10 . 4

(1) 若 a ? b ? 5 ,求 ?ABC 的面积最大值 ; (2)若 a ? 2, 2sin A ? sin A sin C ? sin C ,求 b 和 c .
2 2

18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ? log 2 x ? ? 2a log 2 x ? b ? x ? 0 ? ,当 x ?
2

1 时, f ? x ? 4

有最小值 ?1 . (1)求 a 与 b 的值 ; (2)求满足 f ? x ? ? 0 的 x 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分)已知向量 m ? ? sin x,1? , n ? ? 3 A cos x,

??

?

? ?

A ? cos 2 x ? ? A ? 0 ? ,函数 2 ?

?? ? f ? x ? ? m ?n 的最大值为 6 .
(1)求 A ;

(2)将函数 y ? f ? x ? 的图象向左平移 为原来的

? 个单位,再将所得的图象上各点的横坐标缩短 12

1 ? 5? ? 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ? x ? 的图象,求 g ? x ? 在 ?0, 上的值域. 2 ? 24 ? ?

20.(本小题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 中,a1 ? 2 ,且 a2 ? 1 , a4 ? 1 , a ? 8 1 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式 ; (2)设数列 ?bn ? 满足 bn ? 值. 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 E :

45 3 ,求适合方程 b1b2 ? b2b3 ? ... ? bnbn ?1 ? 的正整数 n 的 32 an

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦距为 2 2 ,其上下顶点分 a 2 b2

别为 C1 , C2 ,点 A?1,0? , B ?3,2? , AC1 ? AC2 . (1)求椭圆 E 的方程以及离心率 ; (2) 点 P 的坐标为 设直线

? m, n?? m ? 3? ,过点 A

的任意作直线 l 与椭圆 E 相交于 M , N 两点,

MB, BP, NB 的斜率依次成等差数列, 探究 m, n 之间是否存在某种数量关系, 若是请给
出 m, n 的关系式,并证明;若不是,请说明理由. 22.(本小题满分 12 分)已知 x ? ?1, ?? ? ,函数 f ? x ? ? e ? 2ax ? a ? R ? ,函数
x

g ? x? ?

e ? ln x ? ln x ,其中 e 为自然对数的底数. x
e2 ,求函数 f ? x ? 单调区间; 2

(1)若 a ? ?

(2)证明:当 a ? ? 2, ??? 时, f ' ? x ?1? ? g ? x ? ? a .

辽宁省沈阳市第二中学 2017 届高三上学期期中数学(理)试题参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5. CBC DC 6-10. AADAB 11-12. AB

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 2 三、解答题 17.解: (1) S?ABC ?
2

14. 4

15.

7 2

16. 300

1 1 ? a ?b ? 25 10 5 ab sin ?C ? ? a?b? . ? ? sin ?C ? 2 2? 2 ? 32 2
2 2 2 2

2

(2) 2sin A ? sin A sin C ? sin C ? 2a ? ac ? c ? c ? 2c ? 8 ? 0 ? c ? 4

3 c a 10 6 ? ? sin A ? , c ? a 故 A 为锐角 cos ?A ? 1 ? sin 2 A ? 8 sin ?C sin A 8

b 2 ? 42 ? 22 3 102 ? 3 6 . ? 6 ?b? 2? b?4 8 2
2 18.解: (1) f ? x ? ? ? log 2 x ? ? 2a log 2 x ? b ? ? log 2 x ? a ? ? b ? a ,则 2 2

?a ? ?2 ?a ? ?2 ? . ? ? 2 ?b ? a ? ?1 ?b ? 3
(2) f ? x ? ? ? log 2 x ? ? 4 log 2 x ? 3 ? ? log 2 x ? 1?? log 2 x ? 3 ?
2

(2) g ? x ? ? 6sin ? 4 x ? 20.解: (1)由题知:

? ?

??

? ? ? 7? ? ? 5? ? ? , x ? ?0, ? , 4 x ? ? ? , ? , g ? x ? ? ? ?3, 6? . 3? 3 ?3 6 ? ? 24 ?

? a2 ? 1?? a8 ? 1? ? ? a4 ? 1?
. (2)

2

? ? 3 ? d ?? 3 ? 7 d ? ? ? 3 ? 3d ? ? d ? 3, an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 3n ? 1
2

bn ?
,

n n n n 3 3 9 1 ? 1 ? ? 1 ?1 ? , ? bibi ?1 ?? ? ? bibi ?1 ?3? ? ? ? ? 3? ? ? an 3n ? 1 i ?1 3i ? 2 ? ? 2 3n ? 2 ? i ?1 ? 3i ? 1?? 3i ? 2 ? i ?1 i ?1 ? 3i ? 1

1 ? 45 ?1 3? ? ? n ? 10 . ?? ? 2 3n ? 2 ? 32
21.解: (1) C1 ? 0, b? , C2 ? 0, ?b? , AC1 ? AC2 ? b2 ? 1.又 c ? 椭圆方程为:

2, a 2 ? 3, e ?

c 6 ,则 ? a 3

x2 ? y 2 ? 1. 3
(2)取 l : y ? 0 ,则

M

?

3, 0 , N ? 3, 0 , kMB ?

? ?

?

2 2 2?n 2 2 , k NB ? , k PB ? , ? 2? m 3? 3 3? 3 3? 3 2? 3

? 2?

2?n ? m ? n ? 1 ,则 m, n 满足: m ? n ? 1 .设直线 MN : x ? my ? 1,且 2?m

M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,
2m ? ? x ? my ? 1 y1 ? y2 ? ? 2 ? ? 2 ? m ?3 ? ? m 2 ? 3? y 2 ? 2my ? 2 ? 0 ? ? , ?x 2 ? ? y ?1 ?y y ? ? 2 ?3 ? 1 2 m2 ? 3 ?

kMB ? kNB ?
而: k PB ?

y1 ? 2 y2 ? 2 8 ? ? 2m ? 2?? y1 ? y2 ? ? 2my1 y2 ? ? ? 2, x1 ? 3 x2 ? 3 4 ? 2m ? y1 ? y2 ? ? m2 y1 y2

2?n ? 1 ? m ? n ? 1 ,故 m, n 满足: m ? n ? 1 . 3? m

22.解: (1) f ? x ? ? ex ? e2 x, f ' ? x ? ? ex ? e2 ? 0 ? x ? 2 ,当

x ??1,2? , f ' ? x ? ? 0, f ? x ? ?

.

当 x ? ? 2, ??? , f ' ? x ? ? 0, f ? x ? ? , f ? x ? 单调递增区间为 ?1, 2 ? ,单调递减区间为

? 2, ??? .
(2) f ' ? x ? 1? ? g ? x ? ? a ? e x ?1 ? a ?

e ? ln x ? ln x .令 x

h ? x? ?

e e 1 ? ln x, h ' ? x ? ? ? 2 ? ? 0 , x x x

且 h ? e ? ? 0 .当 x ? ?1, e ? 时,

e x ?1 ? a ?

e e e ? ln x ? ln x ? e x ?1 ? a ? ? x ? 2 ? ? 2ln x ? 3 ? e ? 0 ; x x x

当 x ? ? e, ??? 时,

e x ?1 ? a ?

e e e ? ln x ? ln x ? e x ?1 ? a ? ? 2ln x ? x ? 2 ? ? 2ln x ? x ? 2 ? 2ln x ? e ? 0 . x x x


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