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安徽省2013届高三模拟考试卷(一)文科数学


安徽省 2013 届高三模拟考试卷(一) 数学试题(文)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题只有一个正确答案,每小题 5 分) 2 1.设 z ? 1 ? i (i 为虚数单位),则 z 2 ? ? ( ) z A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i
? 6?

? 2. 若对 ?a ? (??,0), ?x0 ? R, 使 a cos x0 ? a 成立,则 cos ? x 0 ? ? ? ( ? ?



A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2


3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.2 B.1 C.
2 3

D.

4.已知集合 M ? a a ? (1,2) ? ? (3,4), ? ? R ,

?

?

1 3

N ? a a ? (?2,?2) ? ? (4,5), ? ? R ,则 M ? N 等于(
A.{(1,1)} C.{(-2,-2)}

?

?

)

B.{(1,1),(-2,-2)} D. ?

?(a ? 2) x( x ? 2) ? , an ? f (n) ,若数列 {an } 是单调递减数列,则实数 5.设函数 f ( x) ? ? 1 x ?( 2 ) ? 1( x ? 2) ?

a的
取值范围为( )
7 13 ) C.(- ? , ] 4 8

A.(- ? ,2) B.(- ? ,

D. [

13 , 2) 8

6.已知三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直,且 SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的外接球的半径 为( )

A.36

B.6

C.3

D.9

7.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 M、N、P 三点共线,O 为坐标原点,且

ON ? a1006 OM ? a1008 OP (直线 MP 不过点 O),则 S 2013 等于(
A.1008 B.2013 C.1006.5

) D.1006

1/8

8.某流程如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的 函数是( ) A. f ( x) ? x 2 B. f ( x) ?
1 x
3

开始

输入函数

f ( x)


C. f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 D. f ( x) ? sin x ? x 2 9.已知点 P 是抛物线 y ? ?8x 上一点,设 P 到此抛物线准线的距 f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ? 离是 d1 ,到直线 x ? y ? 10 ? 0 的距离是 d 2 ,则 d1 ? d 2 的最小值 是 是( ) 存在零点? A. 3 B. 2 3 C. 6 2 D.3 10.函数 f ( x) ? x ? 3sin x 2 在 [0,??) 上的零点个数是( ) 是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 输出函数 f ( x)



第 II 卷

(非选择题

共 100 分)

结束

二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 设双曲线 x 2 ? y 2 ? ? (? ? 0) 的两条渐近线与直线 x ? 含边 界)为 ? , P( x, y )为 ? 内的一个动点,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值 为 .
2 围成的三角形区域 (包 2

12.从原点 O 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 作两条切线,切点为 A, B ,则 OA? OB 的值为 13.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,

m ? (b cosC, ?1) , n ? ((c ? 3a) cos B, 1) ,且 m ∥ n ,则 cos B 值为

.

14.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20-80 mg/100ml(不含 80)之间,属 于酒后驾车;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾 车.据《法制晚报》报道,2013 年 1 月 1 日至 1 月 7 日, 全国查处酒后驾车 和醉酒驾车共 38800 人,如图是对这 38800 人酒后驾车血液中酒精含量进行 检测所得结果的频率分布直方图, 则属 于醉酒驾车的人数约为___________. 15.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出命题: ① 当 c ? 0 时, y ? f ( x) 是奇函数;
0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 图1 0.02 0.015 0.01 0.005 酒精含量 mg/100ml 频率 组距

2/8

② 当 b ? 0 , c ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根; ③ 函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (0, c ) 对称; ④ 方程 f ( x) ? 0 至多有两个实根. 其中正确命题为______ (填序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) A、B 是单位圆 ? 上的动点,且 A、B 分别在第一、二象 限,点 C 是圆 ? 与 x 轴正半轴的交点, ?AOB 为正三角形。记 ?AOC ? ?
3 4 sin 2 ? ? sin 2? (1)若 A 点的坐标为 ( , ) ,求 的值 5 5 cos2 ? ? cos 2?

(2)用 ? 的函数关系式表示 BC ,
2

并求 BC 的取值范围。

2

17.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形, DA ? 平面 ABE ,
AE ? EB ? BC ? 2 , BF ? 平面 ACE 于点 F ,且点 F 在 CE 上. D (1)求证: DE ? BE ; C

(2)求四棱锥 E ? ABCD 的体积; (3)设点 M 在线段 AB 上,且 AM ? MB , 试在线段 CE 上确定一点 N ,使得 MN // 平面 DAE .
A E M . F B

18.(本题满分 12 分)

随着经济的发展,人们生活水平的提高,中学生的营养与健康问题越来越得 到学校与家长的重视。从学生体检评价报告单了解到我校 3000 名学生的体重发育 评价情况,得下表: 女生(人) 男生(人) 偏瘦 300 x 正常 865 885 肥胖 y

z

已知从这批学生中随机抽取 1 名学生,抽到偏瘦男生的概率为 0.15。 (1)求 x 的值; (2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取 60 名,问应在肥胖学生中抽 多少名? (3)已知 y ? 243, z ? 243 ,肥胖学生中男生不少于女生的概率。

3/8

x x 19.(本题满分 12 分).将函数 f ( x) ? sin cos ? 2013 在区间(0,+∞)内的全 2 2

部极值点按从小到大的顺序排成数列 ?an ? (n∈N*). (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2 n an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的表达式. 20.(本小题满分 13 分)
3 2 2 已知 f ( x) ? x ? ax ? a x ? 2 .

(1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 , 求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若不等式 2 x ln x ? f ?( x) ? a ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上下焦点分别为 F1 , F2 , a2 b2 短轴两个端点为 A, B ,且四边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形。

21. (本小题满分 14 分)已知椭圆

(1)求椭圆方程; (2)已知直线 l 的方向向量为(1, 2 ),若直线 l 与椭圆交于 P、Q 两点, O 为坐标原 点,求 ?OPQ 面积的最大值. (3)过点 T (1,0) 作直线 l 与椭圆交于 M、N 两点,与 y 轴交于点 R ,若

RM ? ? MT , RN ? ? NT .证明: ? ? ? 为定值。

安徽省 2013 届高三模拟考试卷(一) 数学试题(文)参考答案
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 选项 1 D 2 B 3 C 4 C 5 B 6 C 7 C 8 D 9 C 10 C

4/8

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 3 1 2 11. ? 12. 13. 14.5820 2 3 2 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 4 解:(1) tan ? ? 3

15.①②③

原式=

tan2? ? 2 tan ? ? 20 2 ? tan2?

?? 6 分

? ? ( 0) (2) A( x, y ), B(cos(? ? ),sin(? ? )), 且C 1, 3 3

? ? ? 2 ? ? BC ? ?cos(? ? ) 1? ? sin 2 (? ? ) ? 2 ? 2cos(? ? ) ? 3 3 3 ? ?
2

而A,B分别在第一、二象限,

??

?

? 5? ? 3 ? , ), cos(? ? ) ? ? ( ? ( , 0) 3 2 6 3 2
2

D

C

BC 的范围(2,? 3) ?? 2

12 分
F

17 (本小题满分 12 分) (1) 解 因为 DA ? 平面 ABE ,
BC ∥ DA

A

HM .
P E

B

所以 AE ? BC , DA ? BE

因为 BF ? 平面 ACE 于点 F, AE ? BF 因为 BC ? BF ? B ,所以 AE ? 面 BEC ,则 AE ? BE 因为 AE ? AD ? A ,所以 BE ? 面 DAE ,则 DE ? BE ??4 分 (2)作 EH ? AB ,因为面 ABCD 平面 ABE ,所以 EH ? 面 AC 因为 AE ? BE , AE ? EB ? BC ? 2 ,所以 EH ? 2
1 1 8 VE ? ABCD ? EH ? S ABCD ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 3 3 ??8 分

(3)因为 BE ? BC , BF ? 平面 ACE 于点 F,所以 F 是 EC 的中点 设是 BE 的中点,连接 MP, FP 所以 MP ∥ AE , FP ∥ DA ,因为 AE ? DA ? A ,

所以面 MPF ∥面 DAE ,则 MF ∥面 DAE ,则点 N 就是点 F??12 分 18(本小题满分 12 分) x ? 0.15 ,∴ x =450(人); (1)由题意可知, 3000
5/8

?????3 分

(2) 由题意可知, 肥胖学生人数为 y ? z ? 500 (人) 设应在肥胖学生中抽取 m 人, 。
m 60 ? ,∴ m ? 10 (人) 500 3000 答: 应在肥胖学生中抽 10 名。 6分



????????????

(3)由题意可知, y ? z ? 500,且 y ? 243, z ? 243 ,满足条件的 ( y , z )有(243,257),(244,256),?,(257,243),共有 15 组。 设事件 A:“肥胖学生中男生不少于女生”,即 y ? z ,满足条件的( y , z ) (243,257),(244,256),?,(250,250),共有 8 组,所以 8 8 P ( A) ? 。答:肥胖学生中女生少于男生的概率为 。 ??12 分 15 15 19(本小题满分 12 分) π 1 1 解:(1)f(x)= sin x ? 2013 , f , ( x) ? cos x , f ' ( x) ? 0 其极值点为 x=kπ + (k 2 2 2 ∈Z).又它在(0,+∞)内的全部极值点构成以 ∴an= π 为首项,π 为公差的等差数列, 2

π 2n-1 +(n-1)·π = π (n∈N*).??.6 分 2 2 π (2n-1)·2n, 2

(2)∵bn=2nan= ∴Tn= 2Tn=

π [1·2+3·22+?+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n], 2

π [1·22+3·23+?+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1], 2 -Tn= π [1·2+2·22+2·23+?+2·2n-(2n-1)·2n+1], 2

两式相减,得

∴Tn=π [(2n-3)·2n+3].???????????12 分 20. (本小题满分 13 分) 解:(1) ∵ a ? 1 ∴ f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ? 2 ∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 2x ? 1 ∴ k ? f ?(1) ? 4 , 又 f (1) ? 3 ,所以切点坐标为 (1,3) ????4 分

即 ∴ 所求切线方程为 y ? 3 ? 4( x ? 1) , 4 x ? y ? 1 ? 0 . (2) f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 ? ( x ? a)(3x ? a)

6/8

a 3 a a ? a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ?a .由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ?a 3 3 a a 此时 f ( x) 的单调递减区间为 ( , ?a) ,单调递增区间为 (??, ) 和 3 3

由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a 或 x ?

(?a, ??) ……8 分

(3)依题意 x ? (0,??) ,不等式 2x ln x ? f ?( x) ? a2 ? 1 恒成立, 等价于
2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立

3 1 x? 在 (0, ??) 上恒成立 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 3x 1 ? 设 h? x ? ? ln x ? , 则 h ' ?x ? ? ? ? 2 ? ? x 2 2x 2 2x 2x 2 1 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1, x ? - (舍)当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 3

可得 a ? ln x ?

当 x 变化时, h?( x), h( x) 变化情况如下表:

x
h?(x)

(0,1)

1

(1,??)

+ 单调递增

0

单调递减
? a ? ?2

h(x)

-2

∴ 当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2 ∴ a 的取值范围是 ?? 2,??? . 分 21.(本小题满分 14 分)

???13

2 2 a ? 2, b ? c, a 2 ? b 2 ? c 2 ?b 2 ? 2 ,? 椭圆方程为 y ? x ? 1 ??4 分 解:(1) 4 2

(2)设直线 l 的方程为 y ? 2x ? m ,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 )
2 2 代入椭圆方程并化简得 4x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 ,
2 2 2 2 由 ? ? 8m ? 16(m ? 4) ? 8(8 ? m ) ? 0,可得 m ? 8 .

( ?)

7/8

PQ ? 3 x1 ? x2 .

又点 O 到 PQ 的距离为 d ?

m 3

,

S ?OPQ ?

m 2 (16 ? 2m 2 ) 1 1 2m 2 ? (16 ? 2m 2 ) PQ ? d ? ? ? ? 2 2 4 2 4 2

2 2 故,当且仅当 2m ? 16 ? 2m ,即 m ? ?2 时取等号(满足 ? 式)

所以 ?ABC面积的最大值为 2 .

??10 分

(3)依题意知,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 设 M ( x3 , y3 ), N ( x4 , y4 ), R(0, y5 )

? y ? k ( x ? 1) ? 则 M、N 满足 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?2

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0

? RM ? ? MT ? ( x3 , y3 ? y5 ) ? ? (1 ? x3 ,? y3 )
又? x3 ? 1,? ? ?

x3 ( x3 ? x4 ) ? 2 x3 x4 x ,同理? ? 4 ? ? ? ? ? ? ?4 ?14 分 1 ? x3 1 ? x4 1 ? ( x3 ? x 4 ) ? x 3 x 4

8/8


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