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高中数学1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球课件苏教版必修


1.1.2
【课标要求】

圆柱、圆锥、圆台和球

1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的概念. 2. 通过与棱柱、 棱锥、 棱台的类比进一步认识圆柱、 圆锥、 圆台和球的结构特征. 【核心扫描】 1.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(重点) 2.全面理解圆柱、圆锥、圆台和球的定义和相关概念及其 简单性质.(难点)

自学导引 1.圆柱、圆锥、圆台及其概念 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它

一直角边 的 一边 、

垂直于底边的腰所在的直线 旋转一周, 、

形成的几何体分别叫做圆柱、 圆锥、 圆台, 这条直线叫做 轴 , 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做 底面 , 不垂直于轴的边旋 转而成的曲面叫做 侧面 ,无论旋转到什么位置,这条边都叫 做 母线 (如图所示).

2.球面、球体的概念 半圆绕着 它的直径所在的直线 旋转一周所形成的曲面叫做 球面,球面 围成的几何体叫做球体. 3.旋转面、旋转体的概念 一般地,一条平面曲线绕它所在的平面内的一条定直 线 旋转 所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面 围

成的几何体称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋 转体.

想一想:1.圆绕着它的一条直径所在的直线旋转多少度可 得到一个球面.

提示 旋转 α 度,且 α 满足 α≥180° .
2.直角三角形绕其一边所在的直线旋转,所得几何体一定 是圆锥吗? 提示 绕直角边所在直线旋转是圆锥,绕斜边所在直线旋 转是两个圆锥构成的组合体.

名师点睛 1.圆柱、圆锥、圆台可看做由运动圆面而形成的.圆柱可 以看做圆面沿着圆面的铅垂方向平移形成的空间几何体.圆锥 可看做圆柱的一个底面收缩为圆心时形成的空间几何体.圆台 可以看做圆锥被平行于底面的平面所截后,截面与底面之间的 空间几何体.而球面的定义可类比圆的定义即空间中和一个定 点的距离等于定长的点的集合是一个球面.
2.解决组合体时要准确分清是由哪几个几何体组成的,借 助其结构特征,注意立体图形与平面图形的转化.

题型一 圆柱、圆锥、圆台和球及其相关概念 【例 1】 (1)判断下列几何体是不是圆台,为什么?

(2)铅球和乒乓球都是球吗?
[ 思路探索] 根据圆台的定义及球的定义进行判断是否符 合.

解 (1)①是圆台,因为上、下两底面平行,侧面是由直角 梯形的一腰绕轴旋转一周形成的. ②不是圆台,因为上、下两个底面不平行. ③不是圆台,因为它是由两个圆台组合而成的,不符合圆 台的结构特征. (2)根据球的定义,铅球是一个球,而乒乓球不是球,这是 因为铅球是实心球符合球的定义,而乒乓球是空心球不符合球 的定义.

规律方法 正确理解球的含义.球是一个几何体,它不仅包 括球的表面,而且还包括球的内部,空心球应该理解为球的组 合体,即从一个大球里面挖掉一个与它共球心的小球形成的几 何体, 因此生活中我们看到的各种球不一定是数学中定义的球.

【训练 1】 下列命题中,正确命题的个数是________. (1)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转 体是圆锥. (2)以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转 体是圆台. (3)圆柱、圆锥、圆台的底面是圆. (4)一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.

解析

(1)应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转

才可以得到圆锥;(2)应以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线 为轴旋转才可得到圆台;(3)圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面, 而不是圆;(4)用平行于底面的平面截圆锥,才能得到一圆锥和 一个圆台.

答案 0

题型二 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 【例 2】 如图所示的四个几何体中,哪些是圆柱与圆锥, 哪些不是,并指出圆柱与圆锥的结构名称.

[思路探索] 对照圆柱、圆锥的定义及结构特征进行判断.
解 由圆柱定义知③是圆柱,①不是圆柱,因为其不符合 圆柱的定义. ③圆柱 OO′,其轴为 OO′;底面为⊙O 与⊙O′,侧面 为曲面 A′B′BA;母线为 A′A,B′B 等. 由圆锥定义知②为圆锥,④不是圆锥,因为其不符合圆锥 的定义. ②为圆锥 SO,其轴为 SO;底面为⊙O;母线为 SA、SB 等.

规律方法 圆柱与圆锥定义中的关键特点是: 以矩形或直角 三角形旋转而形成的曲面为侧面;由此可以排除①与④,虽然 两者与圆柱、圆锥类似,但不符合圆柱与圆锥的定义.

【训练 2】 有下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连 线是圆柱的母线; ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线; ③在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是 圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中为真命题的序号是________.

解析 由于圆柱的母线互相平行且与轴平行,故上、下底 面中任意两点的连线不一定是母线;由圆锥母线的定义可知② 是真命题;与①相似,可知③是假命题;易知④是真命题.故 为②④.

答案 ②④

题型三 空间几何体的侧面展开图
【例 3】 在如图所示的长方体中,AB=a,BC=b,BB1= c,并且 a>b>c>0,求沿着长方体的表面自点 A 到点 C1 的最短 路线的长度.

审题指导

求几何体表面上两点间的最短距离可以将几何

体的侧面展开,利用平面内两点之间线段最短来解答. [规范解答] 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能,如 图所示.

图 1,图 2,图 3 中线段 AC1 的长度分别为: ?a+b?2+c2= a2+b2+c2+2ab, a2+?b+c?2= a2+b2+c2+2bc, ?a+c?2+b2= a2+b2+c2+2ac. ∵a>b>c>0,∴ab>ac>bc>0. 故最短路线的长度为 a2+b2+c2+2bc. (14 分) (8 分) (10 分) (12 分)

【题后反思】 本题考查几何体上两点间的路径问题,解题 方法是将长方体的相邻两个面展开.本题易出现只画一个图就 下结论或者认为长方体的对角线 AC1= a2+b2+c2是最短距离 的错误.

【训练 3】 圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边 长为 5 cm 的正方形 ABCD, 则圆柱侧面上从点 A 到点 C 的最短 距离为________.

解析 如图,是圆柱的侧面展开图,侧面展开图中 BC 的 5 长度为圆柱底面圆周长的一半,即 BC= π cm,∴侧面展开图 2 中 AC 的长度即为所求, AC= AB +BC = 4+π2cm.
2 2

5

2

?5 ? ? ?2 5 +?2π? = 2 ? ?

5 答案 4+π2cm 2

误区警示 空间想象力差致误 【示例】 以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴,其 余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些?

[错解]

求解不全面, 漏掉以 AC 与 AB 所在直线为旋转 轴的情况.

[正解] 假设直角三角形 ABC 中,∠C=90° .以 AC 边所在 的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图 (1)所示.

(1)

(2)

(3)

当以 BC 边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面 所围成的旋转体如图(2)所示. 当以 AB 边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面 所围成的旋转体如图(3)所示.
以平面图形某边所在直线为旋转轴旋转,在要 求不明确的情况下,要注意分情况讨论.


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