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复数的表示(中职数学)


复数的表示:
复习: 1、复数的代数形式的定义:
i:虚数单位

对于? x, y ? R, 称 z ? x ? yi或 z ? x ? iy 为复数 .
实部(Real) 记做:Re(z)=x 虚部(Imaginary) 记做:Im(z)=y

当 x ? 0, y ? 0 时, z ? iy 称为纯虚数 ;

当 y ? 0 时, z ? x ? 0i ? x为实数.

2、复数的几何表示
(1) 复数的点表示及复平面

复数 z ? x ? iy 与有序实数对 ( x, y ) 成一一 对应,若把 有序实数对 ( x, y )作为平面上的坐标,建立直角坐标系oxy,

则可将复数与复平面上的点一一 对应起来, 建立数点等同 的观念,这称为复数的点表示法. 横轴即x轴上的点对应复数的实部, 所以也称x轴为实轴;
纵轴即y轴上的点对应复数的虚部, 所以也称y轴为虚轴;
由实轴和虚轴确定的平面称为复平面.

y

虚轴
z ? x ? iy

y
o

? ( x, y )

x
实轴

x

(2)复数的向量表示
复数z ? x ? iy也可用复平面上的向量 表示 OP

向量具有两个重要的属 性:长度、方向 .
(ⅰ)复数的模
该向量的长度称为z 的模或绝对值 y ,

记为 z ? r ? x 2 ? y 2 .
显然成立:

y

Pz ? x ? iy

r
z ? x ? y,

x ? z,

y ? z,

o

x

x

(ⅱ)复数的辐角(argument)
在 z ? 0 的情况下以正实轴为始边以表示 的 , , z 向量OP 为终边的角 称为 z 的辐角 记作 Argz ? ? . ? ,
y

说明

任何一个复数z ? 0有 无穷多个辐角 .

y

Pz ? x ? iy

?
o x

x

如果?1 是其中一个辐角 那么 z 的全部辐角为 ,
Argz ? ? 1 ? 2kπ (k为任意整数).
特殊地, 当 z ? 0 时, z ? 0,

辐角不确定.

辐角主值的定义:

在 z (? 0) 的辐角中, 把满足 ? π ? ? 0 ? π 的 ? 0 称为 Argz 的主值, 记作 ? 0 ? arg z.
z ? 0 辐角的主值
? ? ? ? arg z ? ? ? ? ? ?

y arctan , x π ? , 2 y arctan ? π , x π,

x ? 0,

x ? 0, y ? 0, x ? 0, y ? 0, x ? 0, y ? 0.

? y ? (其中? ? arctan ? ) 2 x 2

y ? arctan , ? x ? ?arctan y +π, ? x argz = ? ?arctan y ,-π, ? x ? y ?arctan , ? x

当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上

?? ?2 ? ? ? arg z ? ?? 2 ? ?0, ? ?? ,

当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上

(ⅲ) 复数模的三角不等式

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2

等号成立的充要条件是z1 , z2位于同一直线上.

y
几何意义如图:
z2
z1 ? z2

z1 ? z2

z1

o

x

3、 复数的三角表示法 利用直角坐标与极坐标的关系
? x ? r cos? ? ? y ? r sin ?

复数可以表示成

z ? x ? iy ? r (cos? ? i sin? )

例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:

(1) z ? ? 12 ? 2i;
(3) z ? sin


(2) z ? ? 12+2i;
?

? i cos ; 5 5 (1) r ? z ? 12 ? 4 ? 4,

?

? z 在第三象限,
? ?2 ? 3 5 ?? ? arctan ? ? ? π ? arctan 3 ? ? ? ? ? , ? ? 12 ? 6
? ? 5 ? ? 5 ?? ? z ? 4 ?cos ? ? ? ? ? i sin ? ? ? ? ? ? 6 ?? ? ? 6 ?

? 4e

5 ? ?i 6

.

(2) z ? ? 12 ? 2i

r ? z ? 12 ? 4 ? 4,
? z 在第二象限,
3 ? ?2 ? ?? ? arctan ? (- ) ? ? ? +π ? arctan 3 ? 12 ?

5 ? ?, 6

5 ? ? 5 ? z ? 4 ?cos ? ? i sin ? ? ? 4e 6 ? ? 6

5 ?i 6

.

(3) z ? sin

?
5

? i cos

?
5

显然 r ? z ? 1,
? ? ? ? ? cos 3? , sin ? cos? ? ? 10 5 ? 2 5? ? ? ? ? ? ? sin 3? , cos ? sin? ? ? 10 5 ? 2 5?

?

3? 3? ? z ? cos ? i sin ?e 10 10

3 ?i 10

.

例1:把下列复数代数式化成三角式:

?1?
解 ? r

3 ?i

3 ?1 ? 2 ? 3 ? i对应的点在第一象限

? cos ? ?
?

?2 ? ? i 1
? cos ? ?

3 ? 即? ? 2 6 ? ? ? ? 3 ? i ? 2? Cos ? iSin ? 6 6 ? ?

解?r ? 1 ?1 ?
1 2

2 而1 ? i对应的点在第四 2 7? ? ?? ?
2 4

?1 ? i ?

7? 7? ? ? 2 ? Cos ? iSin ? 4 4 ? ?

想一想:代数式化三角式的步骤
(1)先求复数的模 (2)决定辐角所在的象限 (3)根据象限求出辐角(4)求出复数三角式。 ?3? ? 1

解? r ? 1而? ? ? ? ?1 ? ?Cos ? ? iSin ? ?

?4? ? 4 ? 3i
解?r ?

9 ?16 ? 5

? ??4 ? 3i ? 5?Cos?? ? arctg3 ? ? iSin? ? arctg3 ?? 4 4
小结:一般在复数三角式中的辐角,常取它的主值这既 使表达式简便,又便于运算,但三角形式辐角不一定要 主值。

? 4 ? 3i对应点在第二象限 3 3 t g? ? ? ?? ? ? ? a r ct g 4 4

思考题
是否任意复数都有辐角?

参考答案
否.

唯有 z ? 0 的情况特殊 ,
它的模为零而辐角不确定.


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