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正弦函数图像变换(修改后)


函数y=Asin(?x+?)的图象 数学组:闵定义

新课引入:
物理中的简谐运动(弹簧振子)位移 和时间的函数关系的图像是怎样的呢? 让我们拭目以待:演 示

1它的图像是怎样形成的呢? 2它的图象与正弦曲线有何关系?

复习回顾

? 3? 关键点 : (0,0), ( ,1), (? ,0), ( ,?1), ( 2? ,0) 2 2 y
1

y ? sin x, x ?[0,2? ]的图象

?
? 2

0

?

? ?

3? 2

? 2? x

?1

?

五点作图法

? 对 y ? sin(x ? ? ) 的图象的影响 探究一: ? ? 例1作出y=sin(x- )和y=sin(x+ 3 )的图像 3 5? ? 11? 4? x y 6 3 6 3 ? 3? ? ?
y=sin(x+ 3 )
1
? ?

7? 3

x-

3

0 0

sin( x-

?
3

2
1 x

?

2

2?
0

)

0

-1

? ? 3

?

? o ?

?

?

? ?

?

2?

?

3

y=sinx

-1

?

? y=sin(x- 3 )

左加右减 平移变换
函数
y=sin(x+π /3)

与y=sinx的图象的关系
(各点)沿x轴方向向左平移π /3 个单位

y=sin(x-π /3) (各点)沿x轴方向向右平移π /3 个单位

y=sin(x+φ )
(φ ≠0)

1.当φ >0时,各点沿x轴方向向左平移 |φ |个单位
2.当φ <0时,各点沿x轴方向向右平移 |φ |个单位

1 例2、作出函数y ? sin 2 x和y ? sin x的图象 2
2x
0
?

探究二: ? 对函数图象的影响
?
2
3? 2

x

0

?

2

2?

?

4

sin 2 x 0 1
x 2

0 ?1 0
3? 2

3? 4

?

y
1 ?

y ? sin 2 x
? ? ? ? ?

1 y ? sin x 2

0

?

x sin 0 2

x

0

?
1

2

?

2?

0

2? 3? 4?

? ?? 2

2?

3?

? 4? x

?1

0 ?1 0

?

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? sin 2 x 、 2

间的变化关系. y 1

O

? 2

?

2?

4? x
1 y ? sin x 2

-1

y ? sin 2 x

y

y ? sin 2 x
y ? sin

函数

与y=sinx的图象的关系
各点横坐标缩短为原来的1/2 倍

1

1 x 2

y=sin2x

0 ?
2
?1

?

2?

3?

4?

(纵坐标不变) 倍

y=sin(x/2) 各点横坐标伸长为原来的2
(纵坐标不变)

y=sinω x 1.ω >1时,各点横坐标缩短 (ω >0且 为原来的1/ω 倍 ω ≠1) 2.0<ω <1时,各点横坐标伸长
为原来的1/ω 倍 (纵坐标不变)

大缩小伸
图象演示

周期变换

探究三: A 对函数图象的影响

1 例1、作出函数y ? 2sin x和y ? sin x的图象 2
y

x

0

?
2

?

3? 2

2?

2
1

?

y ? 2sin x
y? 1 sin x 2 3? 2

sin x 0 1
2sin x 0
1 sin x 2

0 ?1 0 0 ?2 0 0
1 ? 2

2
1 2

0

0

0.5 ? 0 ?0.5
?1

?

? 2

?

?

?

? 2? x

?2

?

1 函数 y ? 2 sinx 、 y ? sin x 与 y ? sinx 的图象间的变化关系。 2
y
3

2
1

y=2sinx

y=sinx
? 2

o
-1

1 y= 2
3? 2

sinx

2?

x

-2

y ? 2sin x
函数
y=2sinx

与y=sinx的图象的关系
各点纵坐标伸长为原来的2倍 (横坐标不变)

y?

1 sin x 2

y=1/2sinx 各点纵坐标缩短为原来的1/2倍 (横坐标不变) y=Asinx (A>0且 A≠1) 1.A>1时,各点纵坐标伸长为 原来的A倍 2.0<A<1时,各点纵坐标缩短为 原来的A倍 (横坐标不变)

大伸 小缩
A叫做y ? A sin x的振幅,

图像演示

振幅变换

例题:用图象变换法作y=3sin(2x+π/3)的图象的方法步骤

向左平移π /3个单位长度 y=sin(x+π/3)的图象 y=sinx 的图象 第1步 横坐标缩短到原来的1/2 : y=sin(x+π/3) 的图象 y=sin(2x+ π/3)的图象 第2步 倍 (纵坐标不变) : 纵坐标伸长到原来的3倍 y=3sin(2x+ π/3)的图象 第3步y=sin(2x+ π/3)的图象 (横坐标不变) y : 3 y=3sin(2x+ π/3) 2

y=sin(x+π/3)
?
?

1
?

y=sinx o
?
2

?
3

?
6

?

-1 -2 -3

3? 2

2?

x

y=sin(2x+ π/3)

函数y=Asin(ω x+? ),x∈R的图像可 由如下步骤得到: 步骤1 :画出y=sinx,x∈[0,2π ] ↓ 沿x轴平行移动︱? ︱个单位 步骤2 :得y=sin(x+? ),(一个周期) 1 ↓ 横坐标伸长或缩短到原来的 倍 步骤3 :得y=sin(ω x+? ),(一个周期) ↓ 纵坐标伸长或缩短到原来的A倍 步骤4 :得y=Asin(ω x+? ),(一个周期) ↓ 沿x轴扩展 步骤5 :得y=Asin(ω x+? ),x∈R

?

巩固练习:
1.如何由y=sinx的图象得到y= 3sin( 1 x 2

? )的图象? 4
y=sin(x -? )的图象 4

解:
向右平移π /4个单位长度

第1步: y=sinx 的图象

第2步: y=sin(x - ? )的图象 4

各点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变)

y=sin( 2 x - ? )的图象 4
1

各点的纵坐标伸长到原来的3倍

第3步:

1 y=sin( 2 x - ? )的图象 4

(横坐标不变)

1 y=3sin( 2

? x - 4 )的图象

【小结】
(一)参数A、ω、φ对函数图象的 影响 (二)函数y=Asin(?x+?)解析式作图:

(1)五点作图法 (2) 利用函数图象的变换

函数y=Asin(ω x+? ),x∈R的图像可 由如下步骤得到: 步骤1 :画出y=sinx,x∈[0,2π ] ↓ 沿x轴平行移动︱? ︱个单位 步骤2 :得y=sin(x+? ),(一个周期) 1 ↓ 横坐标伸长或缩短到原来的 步骤3 :得y=sin(ω x+? ),(一个周期) ↓ 纵坐标伸长或缩短到原来的A倍 步骤4 :得y=Asin(ω x+? ),(一个周期) ↓ 沿x轴扩展 步骤5 :得y=Asin(ω x+? ),x∈R

?

方法总结
(一)有特殊到一般,有具体到抽
象的思维过程

(二)加强数形结合思想的应用

布置作业
? 课本P58

1. 2.

第1题 第2题(1)(3)


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