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一道数学奥林匹克问题的简解


20

中 等 数 学

短  论  集  锦
≤ θ≤ 所以 ,2215° 6715° .

一道数学奥林匹克问题的简解
夏新桥
( 华南师大附中番禺学校 ,511442)

再作 DQ ⊥BC 于点 Q . 于是 ,
1
S △CBD b 2 = = a S △CAD 1 BC? DQ

=
AC? DP

DQ 1 = . DP tan θ

2

   题目   在 △ABC 中 , ∠ACB = 90° , AC =
BC , D 是边 AB 上的一点 ,线段 CD 的垂直平

故 2- 1≤
参考文献 :

b ≤ 2 + 1. a

分线分别交边 AC 、 BC 于点 M 、 N . 若 AD = a ,
BD = b ( a 、 b 是给定的正数 ) , 试求 CM 、 CN

[1 ]   吴伟朝 . 数学奥林匹克问题 ( 初 152) [J ] . 中等数学 , 2005 (4) .

的长度 ( 用关于 a 、 b 的最简式子表示) , 并确
b [1] 定 的取值范围 . a

几道初中数学竞赛题的另解
王  毅
( 湖南省长沙市长郡中学 ,410002)

解 : 如图 1 , 设
CM = DM = x , 作 DP ⊥AM 于 点 P.

   题1  是否存在正整数 a 、 b ,使得等式
a + ( a + b) + b = b + a + 2
3 2 3


DP = a

2

= AP ,
a+ b

图1

成立 ? 如果存在 , 求出 a 、 b 的所有值 ; 如果 不存在 ,请说明理由 .
[1]

MP =
2

2
a
2

- x - a = 2 +
b
2

b

2

- x .

解 : 由原式得
a + ( a + b) - a = b - b + 2 ,
2 故 a ( a + 1) ( a - 1) + ( a + b) 3 2 3

由 x =
CM = x =

2
2

2
2

- x

,解出

a + b

= b ( b + 1) ( b - 1) + 2. .
a + b
2 2

2 2b

已知 a 、 b 为正整数 ,因此 ,
2 2a .
a ( a + 1 ) ( a - 1) , b ( b + 1) ( b - 1)

同理可得 CN = y =

必能被 3 整除 . 但 ( a + b) 除以 3 的余数不 可能为 2 ,矛盾 . 所以 ,不存在这样的 a 、 b 使原式成立 . 题2  已知实数 a 、 b、 c、 d 互不相等 ,且
http://www.cnki.net

2

设 ∠ACD = θ,则 ∠BCD = 90° -θ . θ= 2215° 当 BD = BC 时 , ,点 N 与 B 重合 ; θ= 6715° 当 AD = AC 时 , ,点 M 与 A 重合.

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