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2015年乌市文科一模word解析版


乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第一次诊断性测验 文科数学(问卷) (卷面分值:150 分 考试时间:120 分钟) 一、选择题(每小题 4 分,共 12 小题) 1.已知集合 M={x|x≤0},N={-2,0,1},则 M∩N= A.{x|x≤0} 【考点】集合 【解析】∵ M ? ?x x ? 0? , N ? ??2,0,1? ,∴ M 2.在复平面内复数 z ? A.

第一象限
1 ? 2i 对应的点在 1? i
N ? ??2,0? ,故选 B.

B. {-2,0,1}

C. {x|-2≤x≤0}

D.{0,1}

B.第二象限

C. 第三象限

D.第四象限

【考点】复数运算 【解析】∵ z ?
故选 B.

1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? i ? 1 3 ? 1 3? ? ? ? ? i ,对应的点为 ? ? , ? 在第二象限, 1? i 2 2 ?1 ? i ??1 ? i ? ? 2 2?

3.设函数 f(x)满足 f(sinα+cosα)=sinαcosα,则 f(0)= A. 1 2

B.0

C.

1 2

D.1

【考点】三角函数,复合函数
2 2 【解析】 【解析】依题意,令 sin ? ? cos ? ? 0 ,∴ sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? ? 0 ,

∴ 1 ? 2sin ? cos ? ? 0 ,故 sin ? cos ? ? ?

1 1 ,∴ f ? 0 ? ? ? ,故选 A. 2 2

4. ?x ? R, e x ? 2 ? m是log2m2 ? 1的 A. 充分不必要 C. 充要条件 【考点】逻辑 B. 必要不充分 D.既不充分也不必要条件

2 x 【解析】 ∵e ? 0 , ∴e -

2> - 2, 又 ?x ? R, e x ? 2 ? m , ∴ m ? ?2 ; 由o lg

2

m2 1 ? ,

得 m ? ? 2 ,或 m ? 2 ;故选 A.

5.将函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π/2)的图像向左平移 π/6 个单位后的图形 关于原点对称,那么函数 f(x)在[0,π/2]上的最小值为 A.
3 2

B.

1 2

C. -

1 2

D. -

3 2

【考点】三角函数图像变换 【解析】 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? 的图象向左平移
的图象关于原点对称,∴

? ? ? ? 个单位得 g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,它 3 6 ? ?
?
3
,又 ? ?

?
3

? ? ? k? ? k ? Z ? ,即 ? ? k? ?

?
2

,∴ ? ? ?

?
3



∴f

? x ? ? sin ? ? 2x ?
?

??

? ? ? 2? ? ? ?? ? ?? ? ∵ x ? ?0, ? ,∴ 2 x ? ? ? ? , ? ,∴ f ? x ? 在 ?0, 2 ? 上的 3? 3 ? 3 3 ? ? ? ? 2?

最小值为 f ? 0 ? ? ?

3 ,故选 D. 2

6.一个几何体的三视图及部分数据如图所示,侧视图为等腰三角形, 俯视图为正方形,则这个几何体的体积为 A.
1 3

B.

2 3

C. 1

D.

4 3

【考点】空间几何体及三视图 【解析】该几何体的直观图如图所示:为一四棱锥,其底

面 ABCD 是正方形, PC ? 平面 AC , AC = 1, PC = 2 .

AD 2 + DC 2 = AC 2 ,又 AD = DC ,∴ AD 2 =

1 ,∴正方形 2

ABCD 的面积 S =
P

1 1 1 1 1 ,∴ V ? Sh ? ? ? 2 ? .故选 A. 2 3 3 2 3

D

A B

C

7.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中,随机取出两个数字,剩下三个数字的和 是奇数的概率是 A.0.3 B. 0.4 C. 0.5 D.0.6

【考点】概率 【解析】取出两个数字后剩下的数是:
1, 2,31, ;2, 41, ;2,51,3, ; 41,3,51, ; ;4,5; 2,3, 4; 2,3,5; 2, 4,5; 3, 4,5 共 10 种情形,其中和是奇数
1,3,5; 2,3, 4; 2, 4,5 共 4 种情形,所以概率为 0.4 .故选 B. 的有 1, 2, 4;

8.设{an}是公差不为 0 的等差数列,a2=2,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 数列{an}的前 n 项和 Sn= A.
n2 7 ? 4 4

B.

n 2 3n ? 2 2

C.

n 2 3n ? 4 4

D.

n2 n ? 2 2

【考点】数列 【解析】设 ?an ? 的公差为 d ,∴ a1 ? 2 ? d , a3 ? 2 ? d , a9 ? 2 ? 7d ,又 a1 , a3 , a9 成等比
2 数列,∴ a3 ? a1a9 ,即 ? 2 ? d ? ? ?2 ? d ??2 ? 7 d ? , d ? 0 ,故 d ? 1 , a1 ? a2 ? d ? 1 ,
2

∴ Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? n2 n d ? ? ,故选 D. 2 2 2

9.执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印出的点在

圆 x2+y2=10 内的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D.5

【考点】程序框图
1? 【解析】执行第 1 次运算打印点 (1,1) , i = 5 ;执行第 2 次运算打印点 ? ? 2, ? , i = 4 ; ? 2?
? 1? ? 1? 执行第 3 次运算打印点 ? 3, ? , i = 3 ;执行第 4 次运算打印点 ? 4, ? , i = 2 ;执行第 5 次 ? 3? ? 4? ? 1? ? 1? 运算打印点 ? 5, ? , i = 1 ;执行第 6 次运算打印点 ? 6, ? , i = 0 ;结束循环,其中在圆 ? 5? ? 6?

x 2 ? y 2 ? 10 内的点有 (1,1) , ? 2, ? , ? 3, ? 共 3 个,故选 B. 3 2
?

? ?

1?

? 1? ? ?

10.若双曲线

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 (x - 2) ? y 2 ? 1 相离,则 2 a b

其离心率 e 的取值范围是 A. e>1 B. e ?
1? 5 2

C. e ?

2 3 3

D. e ?

5 2

【考点】双曲线的离心率 【解析】双曲线
x2 y2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线是 y = a2 b 2
b x ,圆 a

?x

? 2 ? ? y 2 ? 1 的圆心是 (2,0) ,半径是 1 ,依题意,有
2

2b a2 + b 2

> 1 ,∴

4(c 2 - a 2 ) c2

>1

化简得

2 3 c2 4 .故选 C. > ,即 e ? 2 a 3 3

11.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B,交 其准点于 C,若 BC ? -2 BF,则 AF =3,则抛物线的方程为 A.y2=12x B.y2=9x C.y2=6x D.y2=3x

【考点】抛物线 【解析】分别过 A , B 点作准线的垂线,垂足分别为 A 1 , B1 ,


BF ? BB1 AA1 ? AF
,

.又∵

BC ? 2 BF
FD ?
,∴

,∴

BC ? 2 BB 1

,∴

?CBB1 ? 60 ∴

?AFD ? ?CFO ? 60? ,又
2

AF = 3

3 3 3 AA1 ? p ? ? 3 p? 2 ,∴ 2 2 ,∴抛 ,∴

物线方程为 y ? 3x .故选 D.

12.设数列{an}的前 n 项和为 sn,且满足 an+sn=1,则 sn 的取值范围 是 A.(0,1) 【考点】数列 【解析】已知 an ? S n ? 1 ,当 n = 1时,得 a1 =
1 ;当 n ? 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? 1 ,两式相 2
an 1 = ( n ? 2 ), an - 1 2

B.(0, ? ? )

C. [ ,1)

1 2

D.[ , ? ? )

1 2

减,得 an - an - 1 + an = 0 , 2an = an - 1 ,由题意知, an ?1 ? 0 ,∴

n 1? ?1? ? ?1 ? ? ? ? n 2? ? ?2? ? ? 1 1 ?1? ?1? ? ? , ∴数列 ?an ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,∴ S n ? 1 2 2 ?2? 1? 2

∴ S n ? ? ,1? .故选 C. ?2 ?

?1 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
?2 x ? y ? 4 ? 13.已知 x,y 满足条件 ? x ? y ? 1 ,则 z=x+2y 的 ?x ? 2 y ? 2 ?

2x+y=4 y

x-y=1 x-2y=2

最小值为 【考点】线性规划 【解析】如图可知 z ? x ? 2 y 的最小值是 2 .
o

x x+2y=z

14.正三角形 ABC 的边长为 2 3 ,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 3 ,则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 【考点】立体几何 【解析】由题意得四面体 A BCD
是底面边长为 3 的正三角形,侧棱 AD 垂直底面,且

AD ? 3 , AB ? AC ? 2 3 , BD ? BC ? DC ? 3 ,则外接球球心在过底面中心
垂直于底面的垂线上,且到底面的距离等于 AD 的一半,

13 ? 3? ∴ R ? ? ? ? 12 ? ,∴ S 球 =4p R 2 = 13p . 2 2 ? ?

2

15.在△PQR 中,若 PQ ? PR ? 7 , PQ ? PR ? 6 ,则△PQR 面积的最大值为 【考点】平面向量 【解析】在 ?PQR 中设 ?P, ?Q, ?R 所对的边分别为 p ,q , r
由题意知: qr cos ?P ? 7,

(PQ -

PR ) = 36 ,即 r 2 ? 2qr ? cos ?P ? q2 ? 36
2 2

2

? 7 ? 可知 r + q = 50 , 又 sin ?P ? 1 ? cos ?P ? 1 ? ? ? ? qr ?
2 2

∴ S D PQR =

1 rq sin ? P 2

1 49 1 2 rq 1= (qr ) - 49 2 2 (qr ) 2

而 2qr ? r 2 ? q 2 ? 50 ,当且仅当 q = r = 5 时等号成立
2 所以,当且仅当 q = r = 5 时 (S DPQR )max = 2 25 - 49 = 12

1

16.已知函数 f(x)=x3-3a2x-6a2+3a(a>0)有且仅有一个零点 x0,若 x0>0,则 a 的取值范围是 【考点】函数与导数 【解析】已知 f
(x ) = x 3 - 3a 2 x - 6a 2 + 3a (a > 0)

则 f? ( x) = 3x2 - 3a2 ① f ?( x) ? 0 恒成立,则 a = 0 ,这与 a > 0 矛盾. ②若 f ?( x) ? 0 恒成立,显然不可能. ③ f ?( x) ? 0 有两个根 a,- a ,而 a > 0 ,则 f ( x ) 在区间 (??, ?a) 单调递增,在区间

(- a, a) 单调递减,在区间 (a, ??) 单调递增.
故 f ( ?a) ? 0 即 2a 2 - 6a + 3 < 0 ,解得:

32

3

< a<

3+ 3 2

三、解答题:第 17-21 题每题 12 分,解答应在答卷的各题中写出文 字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c,且 acosB-bcosA= c. (Ⅰ)求证 tanA=3tanB; (Ⅱ)若 B=450,b= 5 ,求△ABC 的面积. 【考点】三角函数与解三角形 【解析】
(Ⅰ)∵ a cos B - b cos A =

1 2

1 c 由正弦定理得 2 1 1 sin Acos B ? sin B cos A ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) 2 2 1 ∴ sin A cos B - sin B cos A = (sin A cos B + cos A sin B ) 2 1 3 ? ? 即 sin A cos B = sin B cos A ,易知 A ? 且 B ? , 2 2 2 2 1 上式两边除以 cos A cos B ,得 tan A = 3tan B ………………………………… 6 分 2

(Ⅱ) ∵ tan A = 3 ,∴ sin A = 由

3 10 10 , cos A = , 10 10
5 , B = 45 ,得 a = 3

a b ,又 b = = sin A sin B

而 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? ∴ S ?ABC ?

3 10 2 10 2 2 5 ? ? ? ? 10 2 10 2 5

1 1 2 5 ab sin C ? ? 3 ? 5 ? ?3 2 2 5

………………………………… 12 分

18.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,? BCA=900,AC=BC=AA1=2, E、F 分别是 CC1,A1B1 的中点. (Ⅰ)求证 AE ? 平面 BCF; (Ⅱ)求点 F 到平面 ABE 的距离. 【考点】立体几何 【解析】
(Ⅰ)如图取 A1C 1 中点 M ,连结 FM ,CM ∵在正方形 CC1A1A 中, M , E 分别是 A1C 1 ,CC 1 的中点, 由平面几何知识可得 CM ? AE 又∵ ?BCA ? 90?, ∴ BC ? CA ,∵ AA ? 平面 ABC ,
C1 F B1 B C O A

E M A1

1

∴ AA1 ? BC ,∴ BC ? 平面 ACC 1A1 ,∴ BC ? AE

∴ AE ? 平面 BCMF ,∴ AE ? 平面 BCF ;…………………………………… 6 分 (Ⅱ)取 AB 的中点 O ,连结 CO , FO ,∵ CB = CA ,∴ CO ^ AB 平面 ABC ? 平面 BB1A1A ,∴ CO ? 平面 ABF ,而 CE // 平面 BB1A1A ∴ E 到平面 ABF 的距离就是 CO 的长, CO = ∴ SDABF ?

1 AB = 2

2,

1 1 4 AB ? OF ? 2 2 ,∴ VE ? ABF ? ? CO ? S?ABF ? 2 3 3
5 ,又 AB = 2 2

又 Rt D ECB 和 Rt D ECA 中,易知 EB = EA = 故 EO =

EB 2 - OB 2 =

3 ,∴ SDABE ?

1 AB ? OE ? 6 2

设 F 到平面 ABE 的距离为 d ,

2 6 1 4 由V F - ABE = V E - ABF ,得 S D ABE d = ,解得 d = .……………………… 12 分 3 3 3

19.某市现有居民 300 万人,每天有 1%的人选择乘出租车出行,记每 位乘客的里程为 x(km),1≤x≤21,由数据调查得到 x 的频率分布直方图 (如图) , 在直方图的里程分组中, 可以用各组的区间中点值代表该组的各个值,里程落 入该区间的频率作为里程取该区间中点值的概率.现规定 x≤3 时,乘 车费用为 10 元;当 x>3 时,每超出 1km(不足 1km 按 1km 计算), 乘车费用增加 1.3 元. (Ⅰ)试估算乘客的乘车费用不超过 15.2 元的概率; (Ⅱ)试估算出租车公司一天的总收入是多少(精确到 0.01 万元). 【考点】概率统计 【解析】根据题意得到 x
取的各组中点值依次为 3, 7,11,15,19 ; x 取这些中点值的概率

依次为 0.25,0.4,0.2,0.1,0.05 (Ⅰ)乘客乘车费用不超过 15.2 元,即乘客打车里程不超过 7 km,第二组的区间中点值恰 好为 7 ,∴乘车费用不超过 15.2 元的概率为 4 ? 0.0625+

1 ? 0.4 ? 0.1=0.45 … 5 分 2

(Ⅱ)答案一: 依题意乘客被简化为只有五类,其乘车里程依次为 3km,7km,11km,15km,19km. 乘车里程为 3km 的乘客其打车总费用 300 ?1% ? 0.25 ?10=7.5 (万元) 乘车里程为 7km 的乘客其打车总费用 300 ?1% ? 0.4 ? ?10+1.3? 4? =18.24 (万元) 乘车里程为 11km 的乘客其打车总费用 300 ?1% ? 0.2 ? ?10+1.3? 8? =12.24 (万元) 乘车里程为 15km 的乘客其打车总费用 300 ?1%? 0.1? ?10+1.3?12? =7.68 (万元) 乘车里程为 19km 的乘客其打车总费用 300 ?1%? 0.05 ? ?10+1.3?16? =4.62(万元) ∴出租车公司一天的总收入为 7.5+18.24+12.24+7.68+4.62=50.28 (万元)…12 分

x2 y 2 2 20.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,F1F2 是其焦点,点 a b 2

P 在椭圆上.

(Ⅰ)若 ? F1PF2=900,且△PF1F2 的面积等于 1,求椭圆的方程; (Ⅱ)直线 PF1 交椭圆于另一个点 Q,分别过点 P、Q 做直线 PQ 的垂 线,交 x 轴于点 M、N,当 MN 取最小值时,求直线 PQ 的斜率. 【考点】圆锥曲线 【解析】
(Ⅰ) 已知椭圆

2 x2 y2 c 2 ,即 = ,又∵ c 2 = a 2 - b 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 2 2 a b a 2 1 ∴ a 2 = 2b 2 又∵ ?F1PF2 ? 90? ,∴ SDF1PF2 = PF1 ? PF2 1 , 2
由 点 P 在 椭 圆 上 , ∴ PF1 + PF2 = 2a , 在 Rt D F1PF2 中 , PF1 + PF
2 2 可得 b = 1 , a = 2 ,∴椭圆的标准方程为

2

2 2

= 4c 2

x2 + y 2 = 1 ……………………… 5 分 2

P (x 1 , y 1 ) , Q (x 2 , y 2 ) , (Ⅱ) 不妨设 F 依题意知 PQ ^ PM , PQ ^ QN ,点 M , N 1 是左焦点,
分别在 x 轴上,∴直线 PQ 的倾斜角不等于 90 ° . 设直线 PQ 的斜率为 k ,倾斜角为 q ,则直线 PQ 的方程为: y = k (x + c )

? y ? k ( x ? c) ? 解方程组 ? x 2 y 2 ,得: (b 2 + a 2 k 2 )x 2 + 2a 2ck 2 x + a 2c 2 k 2 - a 2b 2 = 0 ? ? 1 ? 2 b2 ?a
设此方程的两个根为 x 1 , x 2 , 由韦达定理得 x1 + x2 = 且 y 1 = k (x 1 + c ) , y 2 = k (x 2 + c ) 可得 PQ =

- 2a 2 ck 2 a 2 c 2 k 2 - a 2b 2 , x x = 1 2 b2 + a 2 k 2 b2 + a 2 k 2

(x 1 - x 2 ) + ( y 1 - y 2 ) = 1 + k 2 ? (x 1 x 2 ) - 4x 1x 2
2

2

2

2

2 2 ? 2a 2 k 2 c ? a 2 k 2 c 2 ? a 2b 2 2ab ?1 ? k ? ? 1? k2 ? ? ? 2 ? 4 ? 2 2 ? b2 ? a 2 k 2 b2 ? a 2 k 2 ? b ?a k ?

故 MN = 又∵ e = ∴ MN
2

PQ cos q

=

2ab 2 (1 + k 2 ) 1 + k 2 b 2 + a2k 2



c 2 = , a 2 = b 2 + c 2 ∴ a 2 = 2b 2 a 2

=

t3 4a 2 (1 + k 2 )3 2 f ( t ) = ,令 , t ? 1 ? k t ? 1 ? ? (2t - 1) 2 (1 + 2k 2 ) 2

则 f '?t ? ?

3t 2 (2t ? 1)2 ? 4(2t ? 1)t 3 t 2 (2t - 1)(2t - 3) = (2t - 1) 4 (2t ? 1)4

∴ f ?(t ) ? 0 ,得 t = 0 ,或 t = 当1 ? t ?

3 1 ,或 t = 2 2

3 ? 3? 时, f ?(t ) ? 0 ,故函数 f (t ) 在 ?1, ? 上为减函数, 2 ? 2?

当t >

3 ?3 ? 时, f ? (t ) > 0 ,故函数 f (t ) 在 ? , ?? ? 上为增函数, 2 2 ? ?

? 3 ? 27 ∴ f (t ) 有最小值 f ? ? ? , ? 2 ? 32
∴ MN 取最小值

2 3 6a 3 时, 1 + k 2 = ,即 k ? ? .………………………… 12 分 2 4 2

21.已知曲线 f(x)=ln(a+x)-ln(a-x)(a>0)在点(0,f(0)) 处的切线方程 y=2x. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求证当 x≥0 时,f(x)≥2x+ 【考点】函数与导数 【解析】
(Ⅰ)已知 f (x ) = ln(a + x ) - ln(a - x ) (a > 0) 则 f '( x) ?

2x 3 . 3

1 1 2a , ? ? 2 a ? x a ? x a ? x2

2 2a 2 ∴a= 1 ………… 4 分 ? ,由题意知: f '(0) ? 2 ,∴ = 2 2 a a a 2x 3 2 x3 ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? 2 x ? (0 ? x ? 1) (Ⅱ)∵ a = 1,令 g (x ) = f (x ) - 2x 3 3 1 1 2 2 x4 2 g '( x) ? ? ? 2 ? 2x2 ? ? 2 ? 2 x ? (0 ? x ? 1) 1? x 1? x 1 ? x2 1 ? x2

f '(0) ?

当 0 ? x ? 1 时, 1- x 2 > 0 ,∴ g '( x) ? 0
∴函数 g ( x ) 在 [0,1)上为增函数,∴ g ( x) ? g (0) ? 0 ∴当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ?

2 x3 .……………………………………………… 12 分 3

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的

第一题计分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 过以 AB 为直径的圆上 C 点作直线交圆于 E 点,交 AB 延长线于 D 点, 过 C 点作圆的切线交 AD 于 F 点, 交 AE 延长线于 G 点, 且 GA=GF. (Ⅰ)求证 CA=CD; (Ⅱ)设 H 为 AD 的中点,求证 BH?BA=BF?BD. 【考点】几何证明选讲 【解析】
(Ⅰ)∵ GA = GF ∴ ?GAF ? ?GFA , ∵ GC 与圆相切于 C ∴ ?EAC ? ?GCE ? ?FCD ∵ ?GAF ? ?EAC ? ?CAD, ?GFA ? ?FCD ? ?CDA ,∴ ?CAD ? ?CDA ∴ CA = CD . ……………………………………………………………… 5 分 (Ⅱ)∵ H 为 AD 的中点, CA = CD ,∴ CH ? AB ,连结 BC , ∵ AB 是直径, C 点在圆上∴ ?ACB ? 90? , ∴ BH ? BA ? BC 2 , ∵ ?BCF ? ?CAB, ?CAB ? ?CDA ,∴ ?BCF ? ?D ,又∵ ?CBF ? ?DBC , ∴ DCBF ∽ DDBC ,∴ 故 BH ? BA ? BF ? BD .

CB BF = DB BC

∴ BC 2 ? DB ? BF , …………… 10 分

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,P 是直线 2x+2y-1=0 上的一点,Q 是射线 OP 上的一点,满足 OP ? OQ ? 1 . (Ⅰ)求 Q 点的轨迹; (Ⅱ)设点 M(x,y)是(1)中轨迹上任意一点,求 x+7y 的最大值. 【考点】极坐标与参数方程 【解析】
(Ⅰ)以 O 为极点,Ox 为极轴,建立极坐标系,设点 Q , P 的极坐标分别为 (r , q) ,(r 1 , q) , 由题意 ? ? ?1 ? 1 , ? ? 0 ,得 ?1 ?

? cos? sin ? ,∴点 P 的直角坐标为 ? , ? ? ? ?
1

? ?, ?

P 在直线 2x + 2 y - 1 = 0 上,∴

2cos q 2sin q + - 1 = 0 , r = 2cos q + 2sin q , r r

化成直角坐标方程得 (x - 1)2 + ( y - 1)2 = 2 (x 构0, 且y

0) ,

∴ Q 点的轨迹是以 (1,1) 为圆心, 2 为半径的圆(原点除外). …………………5 分

? 5? ? x ? 1 ? 2 cos ? (? 为参数,? ? ) (Ⅱ) Q 点轨迹的参数方程为 ? 4 ? ? y ? 1 ? 2 sin ?
则 x + 7 y =1+ 2 cos q + 7 + 7 2 sin q = 8 + 10sin(j + a ) ,其中 tan a = ∴ x + 7 y 的最大值是 18.

1 7

………………………………………10 分

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)= x - a ,a<0. (Ⅰ)证明 f(x)+f(- )≥2; (Ⅱ)若不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式 【解析】
1 1 1 (Ⅰ) f ( x) ? f (? ) ? x ? a ? ? ? a ? ( x ? a) ? (? ? a) x x x

1 x

1 2

? x?

1 1 ? x ? ?2 x x

……………………………………5 分

? ? 2a ? 3 x ? x ? a? ? ? a? ? (Ⅱ)函数 y ? f ( x) ? f (2 x) ? x ? a ? 2 x ? a ? ? ? x ?a ? x ? ? 2? ? ? ? a? ? ?3x ? 2a ?x ? ? 2? ? ?
函数的图象为:
y

a

a 2

o

x

a a a 1 时, y min = - ,依题意, - < ,则 a > - 1 2 2 2 2 ∴ a 的取值范围是 - 1< a < 0 …………………………………………………………10 分
当x =


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