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高三数学一轮复习每日一练10(解析版)


每日一练 10 1.设函数 f ( x) ? x2 ?1 ,对任意 x ? ? , ?? ? , f ? 成立,则实数 m 的取值范围是 【答案】D 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。 .

?2 ?3

? ?

?x? 2 ? ? 4m f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m)

恒 m ? ?

3 x2 2 2 2 2 依据题意得 2 ? 1 ? 4m ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? 4(m ? 1) 在 x ? [ , ??) 上恒定成立,即 2 m

1 3 2 3 ? 4m2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。 2 m x x 2 3 3 2 5 1 5 2 当 x? 时 函 数 y ? ? 2 ? ? 1 取 得 最 小 值 ? , 所 以 2 ? 4m ? ? , 即 2 x x 3 m 3

(3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ?
2.在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

3 3 或m ? 2 2


AC 的值等于 2 cos A

AC 的取值范围为 ( 2, 3) .
解: 设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?

由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 , 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?

2 3 ? cos ? ? , 2 2

? AC ? 2cos? ? ( 2, 3).
3 .已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a3 ?
A. n(2n ? 1)

? log2 a 2n? 1 ?
B. (n ? 1)
2

C. n

2

D. (n ? 1)

2

2 【解析】 由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an 则 an ? 2 n , log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? an ? 0 , ? 2 2n ,

log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.

4.(2009 湖北卷文)(本小题满分 12 分) 已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== 列{bn}的前 n 项和 Sn 解(1)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②
2

a2+a7=16.

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数 2 2 2 2n

由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9d ? 220

? d 2 ? 4, 又d ? 0,? d ? 2, 代入①得a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1
(2)令 cn ? 两

bn , 则有an ? c1 ? c2 ? 2n


? cn , an ?1 ? c1 ? c2 ?


? cn ?1
减 得
n 1 n

an ?1 ? ? cn ?1 2

,由 得 an ? , (

?1

( 时,

cn ( 2

1

1

? 1

?

) a

?
1

1a 2 ?

n

? ) b 1

,

? 即当 , cn

1 ? 2n ?n 又当n=1时, ( ?

n )

?2 n ? ? bn ? ? n ?1 ?2 n ?
于是 Sn ? b1 ? b2 ? b3 =2?2 ?2 ?2 ?
2 3 4

)

? bn ? 2 ? 23 ? 24 ?

? 2n?1

? 2n?1 -4=

2(2n?1 ? 1) ? 4 ? 2n? 2 ? 6,即Sn ? 2n? 2 ? 6 2 ?1


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