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高中数学课件 1.2导数的计算(1)


1.2 1.2.1

导数的计算

几个常用函数的导数

问题提出

( 1.导数 f ?x 0 ) 的几何意义是什么?

函数y=f(x)的图象在点x=x0处的切 线的斜率. 2.如何求函数f(x)的导函数?
f (x + Vx ) - f (x ) f ? x ) = lim ( Vx ? 0 Vx

探究知新

1、设c为常数,函数f(x)=c的图象 是什么?相对于x的函数值增量△y等 y 于什么? y=c O x

△y=f(x+△x)-f(x)=c-c=0.

探究知新

2、函数f(x)=c的导数f′(x)等于什么? Vy f ?x ) = lim ( = lim 0 = 0 D x 瓺0 Vx x 0 3、若y=c表示路程关于时间的函数, 则y′=0的物理意义如何解释?
物体的瞬时速度始终为0,即物体处于 静止状态.

探究知新

4、函数f(x)=x的图象是什么?相对 于x的函数值增量△y等于什么? y y=x
O x

△y=f(x+△x)-f(x)=△x.

探究知新

5、函数f(x)=x的导数f′(x)等于什么?

Vy f ?x ) = lim ( = lim 1 = 1 D x 瓺0 Vx x 0
6、若y=x表示路程关于时间的函数, 则y′=1的物理意义如何解释? 物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.

v= 0

探究知新

7、根据导数定义,函数f(x)= kx(k≠0)的导数f′(x)等于什么?

f ?x ) = k (

探究知新

8、函数f(x)=kx(k≠0)的图象是什么? 其导数表示什么? y=kx的图象是过原点的一条直线

f ?x ) = k 表示直线y=kx的斜率. (

探究知新

9、函数f(x)=kx(k≠0)增(减)的快慢 与k的取值有什么关系? k>0时,k越大,f(x)增加得越快; k<0时,k越大,f(x)减少得越慢.

探究知新

10、函数f(x)=x2的图象是什么? 相对于x的函数值增量△y等于什 y 么? y=x2
O x

△y=f(x+△x)-f(x)=(2x+△x)△x.

探究知新

11、函数f(x)=x2的导数f′(x)等于什 么?
Vy f ?x ) = lim ( = lim (2x + D x ) = 2x D x 瓺0 Vx x 0

12、若y=x2表示路程关于时间的函数, 则y′=2x的物理意义如何解释?
物体做变速直线运动,在时刻x的瞬时速度 为2x.

探究知新

13、根据导数分析,当x>0时,随着x 的增加,y=x2增加的快慢程度如何变 化?当x<0时又如何变化? 当x>0时,随着x的增加,y=x2增加的 速度越来越快; 当x<0时,随着x的增加,y=x2减少的 速度越来越慢.

探究知新

1 14、函数f(x)= 的图象是什么? x

相对于x的函数值增量△y等于什么? 1 y y=x O x

1 1 Dx Dy = = - 2 x + Dx x x + x譊x

探究知新

1 15、函数f(x)= 的导数等于什么? x
Vy 1 1 f ? x ) = lim ( = lim (- 2 )= - 2 D x 瓺0 Vx x 0 x + x譊x x

探究知新

16、根据导数分析,当x>0时,随
1 y 着x的增加, = 减少的快慢程度如何 x 1 变化?当x<0时,随着x的增加,y = x

减少的快慢程度如何变化?

探究知新

17、函数 f (x ) = x 的图象是什么? 相对于x的函数值增量△y等于什么? y y= x O
Dy = x + Dx x =

x
Dx x + Dx + x

探究知新

18、函数 f (x ) = 什么?

( x 的导数 f ?x )等于

Vy 1 f ? x ) = lim ( = lim D x 瓺0 Vx x 0 x + Dx +

1 = 2 x x

探究知新

20、根据导数分析,当x>0时,随 y 着x的增加, = x 增加的快慢程度如何 变化?
y 当x>0时,随着x的增加, = 速度越来越慢. x 增加的

典例讲评

1 例1 求曲线 y = 在点(1,1)处 x 的切线方程.
y=-x+2. 例2 抛物线y=x2在点A(a,a2)(a≠0) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的 面积为16,求实数a的值. a=±4.

典例讲评

1 y 例3 设曲线C1: = 与曲线C2: = y x

x

在其交点处的切线分别为l1,l2,求直线 l1与l2的夹角的正切值. tanθ=3

1 1.函数y=c,y=x,y=x2,y = , x y = x 都是幂函数,在解题中会经常遇 到,其导数公式要作为基本知识点掌握.
2.由于导数是函数在一点的瞬时变化 率,所以利用导数可以反映函数在某个 区间内增、减的快慢程度.

课堂小结

布置作业

P18习题1.2A组:1.


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