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2014版高考数学 第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第三章 第五节 两角和与差的 正弦、余弦和正切公式课时提升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 1.函数 f(x)=1-2sin x 是(
2

)

(A)最小正周期为 2π 的奇函数 (B)最小正周期为 2π 的偶函数 (C)最小正周期为π 的奇函数 (D)最小正周期为π 的偶函数 2. 在 △ ABC 中 ,tanA+tanB+

3

=

3

tanA · tanB, 则

C

等 于 (

)

?A?

? 3

? B?

2? 3

?C?

? 6

? D?

? 4

3.已知向量 a=(sin(α + =( )

? 4? ),1),b=(4,4cos α - 3 ),若 a⊥b,则 sin(α + ) 6 3

? A? ?

3 4

? B? ?

1 4

? C?

3 4

? D?
)

1 4

4.函数 f(x)= 3 cos(3x-θ )-sin(3x-θ )是奇函数,则θ 为( (A)kπ (k∈Z) (C)kπ +

? (k∈Z) 3

? (k∈Z) 6 ? (D)-kπ - (k∈Z) 3
(B)kπ +
4 4

5.(2013·临沂模拟)已知θ 是第一象限角,且 sin ? ? cos ? ? , 则 sin 2θ =( )

5 9

(A)-

2 3

(B)

2 3

(C)
2

2 2 3
2

(D)-

2 2 3
)

6.(2013·银川模拟)定义运算 a ? b=ab +a b,则 sin 15° ? cos 15°=(

?A?

6 8

? B?

3 8

?C ?

6 4

? D?

3 4

二、填空题 7.(2013·东营模拟)化简 sin 112°cos 322°-cos 112°sin 218°= .

8.(2013 ·唐山模拟 ) 已知 :0 ° < α <90 ° ,0 ° < α + β <90 ° ,3sin β =sin(2 α + β ), 则 tan β 的最大值 是 .

-1-

9.已知 sinα = 三、解答题

3 3 ? ,cosβ = ,其中α ,β ∈(0, ),则α +β = 5 5 2

.

10.(2013·济南模拟)已知 a=(sin x,-cos x),b=(cos x, 3 cos x),函数 f(x)=a·b+ (1)求 f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标.

3 . 2

? 时,求函数 f(x)的值域. 2 x ? x 11.(能力挑战题)已知函数 f(x)= sin sin( ? ). 2 2 2
(2)当 0≤x≤ (1)求函数 f(x)在[-π ,0]上的单调区间. (2)已知角α 满足α ∈(0,

? ? ),2f(2α )+4f( -2α )=1,求 f(α )的值. 2 2 1 ? cos 2x 1 3 ? . sin2x2 2 2

12.(能力挑战题)函数 f(x)=

? ? , ],求函数 f(x)的最值及对应的 x 的值. 4 2 ? ? 2 (2)若不等式[f(x)-m] <1 在 x∈[ , ]上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2
(1)若 x∈[

答案解析 1. 【解析】选 D.∵f(x)=1-2sin x=cos2x, ∴T ?
2

2? 2 ? ? ? ?. ? 2

∴f(x)是最小正周期为π 的偶函数. 2.【解析】选 A.由题意得, tanA+tanB=- 3 (1-tanAtanB), ∴

tan A ? tan B ? ? 3, 即 tan(A+B)=- 3 , 1 ? tan Atan B

∴tanC=tan[π -(A+B)]=-tan(A+B)= 3 , ∵0<C<π ,∴C=

? . 3

3.【解析】选 B.∵a⊥b,∴a·b=4sin(α +

? )+4cos α - 3 =0, 6
-2-

即 sin(α +

? 3 )+cos α = , 6 4 ? ? 3 +cos α sin +cos α = , 6 6 4

即 sin α cos



3 3 3 sin α + cos α = , 2 2 4 1 1 3 sin α + cos α = , 2 4 2



? 1 )= , 3 4 4? ? 1 又 sin(α + )=-sin(α + )=- . 3 3 4
故 sin(α + 故选 B. 4.【解析】选 D.由已知得,f(x)=2[

1 3 cos(3x-θ )- sin(3x-θ )] 2 2

? -3x+θ ) 3 ? =-2sin(3x- -θ ). 3
=2sin( ∵f(x)是奇函数,∴故θ =-kπ -

? -θ =kπ (k∈Z). 3

? (k∈Z). 3
4 4 2 2 2 2 2

5.【解析】选 C.∵sin θ +cos θ =(sin θ +cos θ ) -2sin θ cos θ

1 5 ? 1 ? sin 2 2? ? , 2 9 8 2 ∴sin 2θ = , 9
∵2kπ <θ <2kπ +

? (k∈Z), 2

∴4kπ <2θ <4kπ +π (k∈Z), ∴sin 2θ >0,∴sin 2θ ?

2 2 . 3

6.【解析】选 A.根据新定义可得 sin 15° ? cos 15° 2 2 =sin 15°(cos 15°) +(sin 15°) cos 15°, 即 sin 15° ? cos 15°=sin 15°cos 15°(sin 15°+cos 15°),由 sin 15°cos 15°=

1 1 3 2 sin 30°= ,且(sin 15°+cos 15°) =1+sin 30°= , 2 4 2
-3-

所以 sin 15°+cos 15°=

6 6 , sin 15° ? cos 15°= , 所以选 A. 2 8

7.【解析】原式=sin 68°cos 38°-(-cos 68°)(-sin 38°) =sin 68°cos 38°-cos 68°sin 38° =sin 30°= 答案:

1 . 2

1 2

8.【解析】由 3sinβ =sin(2α +β )得 3sin(α +β -α )=sin(α +β +α ),化简得 sin(α +β )cosα =2cos(α + β )sinα , ∴tan(α +β )=2tanα , ∴tanβ =tan(α +β -α )=

tan(? ? ?) ? tan? tan? ? ? 1 ? tan(? ? ?)tan? 1 ? 2tan 2?

1 1 ? 2tan? tan?

.

由题意知,tanα >0,∴

1 +2tanα ≥ 2 2 tan ?

(当且仅当

1 2 =2tanα ,即 tanα = 时等号成立), tan ? 2

∴tanβ 的最大值为

1 2 2

?

2 . 4

答案:

2 4

【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用 (1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的灵活应用非常关键,公式可以正 用、逆用、变形应用. (2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换 ,出现和或差的形式,即出现能逆用公式的条 件;有时通过两式平方相加减,利用平方关系式,切函数化成弦函数等技巧. 9.【解析】∵α ,β ∈(0, ∴cosα =

? 3 3 ),sinα = ,cosβ = , 2 5 5

4 4 ,sinβ = . 5 5

∴cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ

4 3 3 4 ? ? ? =0. 5 5 5 5 ? ? ∵α ,β ∈(0, ),∴0<α +β <π .∴α +β = . 2 2
=
-4-

答案:

? 2

10.【思路点拨】(1)将 f(x)进行向量坐标运算后,利用三角公式转化为一个三角函数后即可求解. (2)利用 x 的范围及三角函数的有界性可确定 f(x)的值域. 【解析】(1)由题意知 f(x)=sin xcos x- 3 cos x+
2

3 2

=

1 3 sin 2x(cos 2x+1)+ 2 2 1 3 sin 2xcos 2x 2 2 ? ). 3

3 2

=

=sin(2x-

所以 f(x)的最小正周期为π .

? ? )=0,得 2x- =kπ , 3 3 k ? ∴x= ? ? ,k∈Z. 2 6 k ? 故所求对称中心的坐标为( ? ? ,0)(k∈Z). 2 6 ? (2)∵0≤x≤ , 2 ? ? 2? ∴- ≤2x- ≤ , 3 3 3
令 sin(2x∴-

? 3 ≤sin(2x- )≤1, 3 2

即 f(x)的值域为[-

3 ,1]. 2

11.【思路点拨】(1)利用诱导公式及倍角公式化简 f(x)的解析式后可求. (2)利用已知将条件代入,整理成单角α 的三角函数关系式后可解. 【解析】f(x)=sin =sin

x ? x sin( + ) 2 2 2

x x 1 cos = sin x. 2 2 2

? ? ] ,单调递增区间为[- ,0]. 2 2 ? ? (2)2f(2α )+4f( -2α )=1? sin 2α +2sin( -2α ) 2 2
(1)函数 f(x)的单调递减区间为[-π ,=1 2 2 ? 2sin α cos α +2(cos α -sin α )=1 2 2 ? cos α +2sin α cos α -3sin α =0
-5-

? (cos α +3sin α )(cos α -sin α )=0. ∵α ∈(0,

? ), 2 ? 4

∴cos α -sin α =0? tan α =1 得α = , 故 sin α =

2 , 2

∴f(α )=

1 2 sin? ? . 2 4

【变式备选】若向量 m=( 3 sinω x,0),n=(cosω x,-sinω x)(ω >0),在函数 f(x)=m·(m+n)+t 的图象中, 对称中心到对称轴的最小距离为 (1)求函数 f(x)的解析式. (2)求函数 f(x)的单调递增区间. 【解析】(1)由题意得 f(x)=m·(m+n)+t=m +m·n+t=3sin ω x+ 3 sinω x·
2 2

? ? ,且当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 1. 4 3

cosω x+t =

3 3 3 - cos2ω x+ sin2ω x+t 2 2 2 ? 3 )+ +t. 3 2 ? , 4

= 3 sin(2ω x-

∵对称中心到对称轴的最小距离为 ∴f(x)的最小正周期为 T=π . ∴

2? =π ,∴ω =1. 2?

? 3 )+ +t, 3 2 ? ? ? ? 当 x∈[0, ]时,2x- ∈[- , ], 3 3 3 3 ? ? ? ∴当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 3+t. 3 3 3 ? ∵当 x∈[0, ]时,f(x)max=1,∴3+t=1,∴t=-2, 3 ? 1 ∴f(x)= 3 sin(2x- )- . 3 2 ? 1 (2)由(1)知 f(x)= 3 sin(2x- )- . 3 2 ? ? ? 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2
∴f(x)= 3 sin(2x-6-

? 5 ? 5 ≤2x≤2kπ + ? ,kπ ≤x≤kπ + ? , 6 6 12 12 ? 5 ∴函数 f(x)的单调递增区间为[kπ - ,kπ + ? ](k∈Z). 12 12
2kπ 12.【思路点拨】(1)先利用所学公式把 f(x)变换成 f(x)=Asin(ω x+φ )+b 的形式.利用所给 x 的范围,求得 最值及对应 x 的值.(2)利用不等式变换转化成不等式恒成立问题求解. 【解析】(1)f(x)=

1 ? cos 2x 1 3 ? sin 2x2 2 2

=

1 ? 3 sin 2x- cos 2x-1=sin(2x- )-1, 2 6 2

? ? ? ? 5? , ],∴ ≤2x- ≤ , 4 2 3 6 6 ? ? ? 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)max=0, 6 2 3 ? 5? ? 1 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)min=- . 6 6 2 2 ? ? ? ? 2 (2)方法一:∵[f(x)-m] <1(x∈[ , ]) ? f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[ , ]), 4 2 4 2
∵x∈[ ∴m>f(x)max-1 且 m<f(x)min+1, 故 m 的取值范围为(-1,
2

1 ). 2

方法二:∵[f(x)-m] <1 ? m-1<f(x)<m+1,

1 1 且 m+1>0,故-1<m< , 2 2 1 故 m 的取值范围是(-1, ). 2
∴m-1<-

-7-


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