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寒假作业之导数


寒假作业之导数 1.函数 f ( x) ? x3 ? bx 2 ? cx ? d 在区间 ? ?1, 2? 上是减函数,则 b ? c 的最大值为 2.已知 R 上的可导函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 满足: f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,且 f (1) ? 1 则不 等式 f ( x) ?

1 e x ?1

>的解是
3 2



3. 若 函 数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c 有 极 值 点 x1 , x2 , 且 f ? x1 ? ? x1 , 则 关 于 x 的 方 程

3 ? f ? x ? ? ? 2af ? x ? ? b ? 0 的不同实根个数是
2

4 、 . 已知函数 f ?x ? ? mx ? ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为
2

_________ 5.已知函数 f ( x) ? mx3 ? nx 2 的图象在点 (?1,2) 处的切线恰好与直线 3x ? y ? 0 平行,若

f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上单调递减,则实数 t 的取值范围是
6.已知函数 f ( x) ? ln x ?

2a , a?R . x (1)若函数 f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值.

7.已知函数 f ? x ? ? a ? x ?

? ?

1? ? ? ln x, x ? R . x?

⑴ 若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; ⑵ 若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 的单调区间; ⑶ 设函数 g ? x ? ? ?

?

?

a .若至少存在一个 x0 ? ?1, ?? ? ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立, x

求实数 a 的取值范围.

8.已知 f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2, (Ⅰ)对一切 x∈(0, +∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a=-1 时,求函数 f(x)在[m,m+3]( m>0)上的最值; (Ⅲ)证明:对一切 x∈(0, +∞),都有 lnx+1>

1 2 ? 成立。 x e ex

寒假作业之导数参考答案 1.函数 f ( x) ? x3 ? bx 2 ? cx ? d 在区间 ? ?1, 2? 上是减函数,则 b ? c 的最大值为 ?

15 2

2.已知 R 上的可导函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 满足: f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,且 f (1) ? 1 则不 等式 f ( x) ?

1 e x ?1

的解是
3 2

(1,??)

3 .若函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c 有极值点 x1 , x2 ,且 f ? x1 ? ? x1 ,则关于 x 的方程

3 ? f ? x? ? ? 2 af ? x? ? b ? 0的不同实根个数是
2

3
1 2

4.已知函数 f ?x ? ? mx ? ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为 m≥
2

5.已知函数 f ( x) ? mx3 ? nx 2 的图象在点 (?1,2) 处的切线恰好与直线 3x ? y ? 0 平行,若

f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上单调递减,则实数 t 的取值范围是 (1,1 ? )
6.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 e

2a , a?R . x (1)若函数 f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值. 2a 1 2a 解: (1)∵ f ( x) ? ln x ? ,∴ f ?( x) ? ? 2 . x x x
∵ f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,

1 2a x ? 2 ≥0 在 [2, ??) 上恒成立,即 a ≤ 在 [2, ??) 上恒成立. 2 x x x 令 g ( x) ? ,则 a ≤ ? g ( x) ?min , x ? [2, ??) . 2 x ∵ g ( x) ? 在 [2, ??) 上是增函数,∴ ? g ( x) ?min ? g (2) ? 1 . 2
∴ f ?( x) ? ∴ a ≤1.所以实数 a 的取值范围为 (??,1] . (2)由(1)得 f ?( x) ?

x ? 2a , x ? [1, e] . x2

①若 2a ? 1 ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上是增 函数. 所以 ? ? f ? x ?? ? min ? f (1) ? 2a ? 3 ,解得 a ?

3 (舍去) . 2

②若 1≤ 2a ≤ e ,令 f ?( x) ?0 ,得 x ? 2a .当 1 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, 2a) 上是减函数,当 2a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (2a, e) 上是增函数. 所以 ? ? f ? x ?? ? min ? f ? 2a ? ? ln(2a ) ? 1 ? 3 ,解得 a ?

e2 (舍去) . 2

③若 2a ? e ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ?0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上是减 函数. 所以 ? ? f ? x ?? ? min ? f ? e ? ? 1 ?

2a ? 3 ,所以 a ? e . e

7.已知函数 f ? x ? ? a ? x ?

? ?

1? ? ? ln x, x ? R . x?

⑴ 若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; ⑵ 若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 的单调区间; ⑶ 设函数 g ? x ? ? ?

?

?

a .若至少存在一个 x0 ? ?1, ?? ? ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立, x

求实数 a 的取值范围. 解:函数的定义域为 ? 0, ?? ? ,

1 ? 1 ax 2 ? x ? a ? f ? x ? ? a ?1 ? 2 ? ? ? x2 ? x ? x
'

f ?( x) ? a(1 ?

1 2 ax2 ? 2 x ? a . )? ? 2 x x x2

(1)当 a ? 2 时,函数 f ? x ? ? 2 ? x ?

? ?

1? ' ? ? ln x ,由 f ?1? ? 0 , f ?1? ? 3 . x?

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 3 ? x ? 1? ,即 3x ? y ? 3 ? 0 . (2)函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ?? ? . 由 a ? 0 , ? ? 1 ? 4a ,
2

(ⅰ)若 0 ? a ?

1 , 2

1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 由 f ? x ? ? 0 ,即 h ? x ? ? 0 ,得 x ? 或x? ; 2a 2a
'

由f

'

? x ? ? 0 ,即 h ? x ? ? 0 ,得

1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2 ?x? . 2a 2a

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? 1 ? 1 ? 4a 2 ? 2a ? ? ?. ? ?

? ? 1 ? 1 ? 4a 2 ? , ?? ? , ? 和? ? ? ? 2a ? ? ?

单调递减区间为 ? (ⅱ)若 a ?

? 1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4 a 2 , ? 2 a 2a ?

1 ' , h ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,则 f ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,此 2

时 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. (3) )因为存在一个 x0 ? ?1, ?? ? 使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? , 则 ax0 ? ln x0 ,等价于 a ? 令 F ? x? ?

ln x0 . x0

ln x , x ? ?1, ?? ? ,等价于“当 x ? ?1, ?? ? 时, a ? F ? x ?min ”. x 1 ? ln x ' 对 F ? x ? 求导,得 F ? x ? ? . x2
因为当 x ? ?1, e ? 时,F ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递增. 故此时 F ? x ? ? ? 0, ? , e
'

? 1? ? ?

当 x ? ? e, ?? ? 时, F ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递减.,
'

又 F ? x ? ? 0 ,故此时 F ? x ? ? ? 0, ? , 综上, F ? x ? ? ? 0, ? ,即 F ? x ?min ? F ?1? ? 0 ,所以 a ? 0 . e 另解:当 x ? ?1, ?? ? 时, F ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, F ? x ? ? 0 .

? ?

1? e?

? 1? ? ?

即 F ? x ?min ? F ?1? ? 0 ,所以 a ? 0 . 另解: 设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? ln x , x ? ?1, ?? ? ,

F ' ? x? ? a ?

1 ax ? 1 . ? x x

依题意,至少存在一个 x ? ?1, ?? ? ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 等价于当 x ? ?1, ?? ? 时, F ? x ?max ? 0 . (1)当 a ? 0 时,

F ? ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 恒成立,所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递减,
只要 F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ,则不满足题意.

1? ? a? x ? ? ax ? 1 1 a? ' (2)当 a ? 0 时, F ? x ? ? ,令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? . ? ? x x a
(ⅰ)当 0 ?

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, a
'

在 ?1, ?? ? 上 F ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,由 F ?1? ? a ? 0 , 所以 F ? x ? ? 0 恒成立 (ⅱ)当

1 ? 1 ,即 0 ? a ? 1时, a

在 ?1,

? 1? ?1 ? ? ? ? 上 F ? x ? ? 0 ,在 ? , ?? ? 上 F ? x ? ? 0 , ? a? ?a ? ? 1? ?1 ? ? 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增, ? a? ?a ?

所以 F ? x ? 在 ?1,

由 F ?1? ? a ? 0 ,所以 F ? x ? ? 0 恒成立 综上所述,实数 a 的取值范围为 (0, ??) .

8.已知 f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2, (Ⅰ)对一切 x∈(0, +∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a=-1 时,求函数 f(x)在[m,m+3]( m>0)上的最值;

1 2 ? 成立。 x e ex 2 解: (Ⅰ)对一切 x ? (0,??), f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 x ln x ? ax ? ? x ? 2 恒成立.也就 2 是 a ? ln x ? x ? 在 x ? (0,??) 恒成立. x 2 令 F ( x) ? ln x ? x ? , x 1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ? 则 F ? ( x) ? ? 1 ? 2 ? , x x x2 x2 在 (0, 上 F ? ( x) ? 0 ,因此, F ( x) 在 x ? 1处取极小值,也是 , ? ?) 上 1) 上 F ? ( x) ? 0 ,在 (1 最小值,即 Fmin ( x) ? F (1) ? 3 ,所以 a ? 3 .……5 分 f ( x) ? x ln x ? x , (Ⅱ)当 a ? ?1时, 1 f ? ( x) ? ln x ? 2 ,由 f ? ( x) ? 0 得 x ? 2 . e 1 1 1 ①当 0 ? m ? 2 时,在 x ? [m, 2 ) 上 上 f ? ( x) ? 0 ,在 x ? ( 2 , m ? 3]上 上 f ? ( x) ? 0 e e e 1 1 因此, f ( x) 在 x ? 2 处取得极小值,也是最小值. f min ( x) ? ? 2 . e e 由于 f (m) ? 0, f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ? 0 因此, f max ( x) ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln( m ? 3) ? 1] 1 ②当 m ? 2 时 , f ' ( x) ? 0 ,因此 f ( x)在[m, m ? 3] 上单调递增,所以 e f min ( x) ? f (m) ? m(ln m ? 1) , f max ( x) ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln( m ? 3) ? 1] …10 分 x 2 (Ⅲ)证明:问题等价于证明 x ln x ? x ? x ? ( x ? (0,??)) , e e 1 1 由(Ⅱ)知 a ? ?1时, f ( x) ? x ln x ? x 的最小值是 ? 2 ,当且仅当 x ? 2 时取得, e e x 2 1? x 设 G ( x) ? x ? ( x ? (0,??)) ,则 G? ( x) ? x ,易知 e e e 1 Gmax ( x) ? G (1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e
(Ⅲ)证明:对一切 x∈(0, +∞),都有 lnx+1> 但?

1 2 1 1 ?? , 从而可知对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? 1 ? x ? 成立. 2 e e e ex


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