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044高一数学自主招生


高一数学自主招生 044

一、选择题(每题 5 分,共 30 分)

3 ?1? 1.下列图中阴影部分面积与算式 ? ? ? ? ? 2?1 的结果相同的是( 4 ?2?
1 2

2

). 2 . 计 算

3 2

1?

2?
2

2 3?

2011

2 ?

2

的结果是 ( A . 2 B . 2

?1 ?1

2011

C.

1 2011 (2 ? 1) 2

D.

1 2011 (2 ? 1) 2

3.如图,⊙O 过点 B、C,圆心 O 在等腰 Rt△ABC 的内部, ?BAC ? 90? , OA ? 1 , BC ? 6 .则⊙O 的
半径为( A. 6 ). B. 13 C.

13

D. 2 13

第3题 4.如图,表示阴影区域的不等式组为( ). 2x +.y ≥5, 2x + y ≤5, 2x +.y ≥5, (A) 3x + 4y≥9, (B) 3x + 4y ≤9, (C) 3x + 4y≥9, y≥0 y≥0 x≥0

第4题

(D)

2x + y ≤5, 3x + 4y ≤9, x≥0

5.已知点 P 的坐标是( 2 +a, 2 +b),这里 a、b 都是有理数,PA、PB 分别是点 P 到 x 轴和 y 轴的垂线 段,且矩形 OAPB 的面积为 2 .那么,点 P 可能出现在的象限有( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 ).

6.已知 AC⊥ BC 于 C,BC=a,CA=b,AB=c,下列选项中⊙ O 的半径为

ab 的是( a?b

). 二、填空题(本 大题共 10 个小 题,每小题 6 分, 共 60 分) 7.已知 a 是实 数 , 且

a3 ? 3

a2 ? 3

,则( a?2

?0

2 a

0

?1

0

8 的值是 ) a ? ( ?

2

0 a1 . ? )

0

9

?(
1

12

)

0

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A D B
第8题

E

C
B
60
C

P

O D A
第 12 题

8. 如图, 在△ABC 中, AB=AC=13, BC=10, D 是 AB 的中点, 过点 D 作 DE?AC 于点 E, 则 DE 的长是 9.如图,双曲线 y ?

.

2 ( x >0)经过四边形 OABC 的顶点 A、C,∠ABC=90°,OC 平分 OA 与 x 轴正半 x 轴的夹角,AB∥ x 轴,将△ABC 沿 AC 翻折后得△ AB ?C , B ? 点落在 OA 上,则四边形 OABC 的面积
是 .

10. 已知 a ?

2 ? 1, 则 a3 ? a 2 ? 3a ? 2011 =

.

11. 已知一组数据 x1, x2, x3, …, xn 的平均数是 x , 方差是 S 2 , 那么另一组数据 2x1– 1, 2x2 – 1, 2x3– 1, …, 2xn– 1 的平均数是 ,方差是 .

12. 以数轴上的原点 O 为圆心, 3 为半径的扇形中,圆心角 ?AOB ? 90 ,另一个扇形是以点 P 为圆心, 5 为半 径,圆心角 ?CPD ? 60 ,点 P 在数轴上表示实数 a ,如图 5.如果两个扇形的圆弧部分(弧 AB 和弧 CD ) 相交,那么实数 a 的取值范围是

.
.

13. 已知 R、 x、 y、 z 是整数, 且 r> x > y > z, 若 r、 x、 y、 z 满足方程 16(2r ? 2x ? 2 y ? 2z ) ? 330 , 则r=

14.如图,正方形 A1B1PP 1 2 的顶点 P 1、P 2 在反比例函数

Y

y?

2 (x x

0) 的图象上,顶点 A1 、 B1 分别在 x 轴、

P1 B1
O

y 轴的正半轴上,再在其右侧作正方形 P2 P 3 A2 B2 ,
顶点 P 3、P 2 在反比例函数 y ?

P2
B2

P 3
A2
X

2 (x x

0) 的图象上,

A1

顶点 A2 在 x 轴的正半轴上,则点 P 3 的坐标 为 .

第 14 题

15.某广场地面铺满了边长为 36cm 的正六边形地砖.现在向 上抛掷半径为 6 3cm 的圆碟,圆碟落地后与地砖间的间隙 不相交的概率大约是 .

A

16.如图,不等边 ?ABC 内接于⊙O, I 是其内心, 且 AI ? OI .若 AC ? 9, BC ? 7 ,则 AB ? .

I B D

O C
第 16 题

三、解答题: (本大题共 5 小题,计 72 分,写出必要的推算或演算步骤. )
2

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17. (1) (7 分)已知 a ? b ? ?5, ab ? 1 ,求

a b 的值。 ? b a
2

2 (2) (7 分)已知 ? 是方程 x ? 2011x ? 1 ? 0 的一个根,试求 ? ? 2010? ?

2011 ? 2 ?1

的值。

18. (12 分) 如图,⊙ O1 与⊙ O2 相交于点 A 和 B,经过 A 作直线与⊙ O1 相交于 D,与⊙ O2 相交于 C, 设弧 BC 的中点为 M,弧 BD 的中点为 N, 线段 CD 的中点为 K. 求证: MK ? KN .
M O2 O1 N C K A

D

B

第 18 题

19. (14 分) 某商店以 6 元/千克的价格购进某种干果 1140 千克,并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时 开始销售。这批干果销售结束后,店主从销售统计中发出:甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销 量 , 且 在 同 一 天 卖 完 ; 甲 级 干 果 从 开 始 销 售 至 销 售 的 第 x 天 的 总 销 量 y1 ( 千 克 ) 与 x 的 关 系 为

y1 ? ? x 2 ? 40x ;乙级干果从开始销售至销售的第 t 天的总销量 y 2 (千克)与 t 的关系为 y2 ? at 2 ? bt ,
且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表:

t
y2

1 21

2 44

3 69

(1) 求a、

b 的值;

(2)若甲级干果与乙级干果分别以 8 元/千克的 6 元/千克的零售价出售,则卖完这批干果获得的毛利 润是多少元? (3)问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克? (说明:毛利润=销售总金额-进货总金额。这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计) 得分 评卷人

3

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20. (20 分)

如图,抛物线

y ? ax2 ? bx ( a ? 0 ) 与 双 曲 线
B. 已知点 A 的坐标为(1,4) ,点 △AOB 的面积为 3 (O 为坐标原点) . b,k 的值; 上点 A 作直线 AC∥x 轴, 交抛物线 点 C,求所有满足△EOC∽△AOB 坐标.

y?

k 相交于点 A, x

B 在第三象限内, 且 (1) 求实数 a, (2)过抛物线 于 另 一 的点 E 的

… … … … … … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … …

数 学 试
题 号 得 分 一 二

(第 20 题)


总 分

三 17 18 19 20

原毕业学校

得分

评卷人

一、选择题(每题 5 分,共 30 分)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

得分

评卷人

姓名

二、填空题(本大题共 10 个小题,每小题 6 分,共 60 分)

7. 11. 14. ,

.

8. . . 15. 12.

.

9.

. 10.

. . .

. 13.
. 16.

三、解答题: (本大题共 5 小题,计 72 分,写出必要的推算或演算步骤. ) 得分 评卷人 17. (1) (7 分)已知 a ? b ? ?5, ab ? 1 ,求

考场号

a b 的值。 ? b a

4

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2 (2) (7 分)已知 ? 是方程 x ? 2011x ? 1 ? 0 的一个根,试求 ? ? 2010? ?
2

2011 ? 2 ?1

的值。

得分

评卷人

18. (12 分)

C

K O2

A O1

D

M

B

N

第 18 题

5

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得分

评卷人

19. (14 分)

(1)

(2)

(3)

得分

评卷人
6

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20. (20 分)

(1)

(第 20 题)

(2)

数学试卷参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6
7

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答案

B

A

C

D

C

C

二、填空题(本大题共 10 个小题,每小题 7 分,共 70 分) 7.1
13. 4

8.

60 13

9.

2

10.

2012

11. 2 x ? 1 , 4 S 2

12. ?4 ? a ? ?2

14. ( 3 ? 1, 3 ?1)

15.

4 9

16.5

三、解答题: (本大题共 5 小题,计 72 分,写出必要的推算或演算步骤. ) 17. (1)解: ab ? 1 0 ? a 、 b 同号 又

a ? b ? ?5

0 ?a

0, b

0

2分

原式=

ab ab ? 2 b a2
ab ab ? b a
4分

=

1 1 b a a?b ) = ? ab ( ab
=5 (2)解:

= ? ab ( ? )

6分

7分

? 是方程 x 2 ? 2011x ? 1 ? 0 的一个根,

? ? 2 ? 2011? ? 1 ? 0 既 ? 2 ? 2010? ? ? ? 1 , ? 2 ? 1 ? 2011?
3分

? ? 0 ?? ?
原式= ? ? 1 +

1

?

? 2011

5分 7分
G

2011 1 = ? ? ? 1 ? 2010 2011? ? 18:证明:将 ?KDN 绕点 K 顺时针旋转 180? 得 ?GCK ,
连接 MC, MB, GC, NB, ND, MN . 延长 AB 交 MN 于 S. ……………………..3 分 则 CG ? DN ? BN , ?GCK ? ?KDN MC ? MB ……………………..6 分 又
C

KA
O2

D

O1
B S N

?KCM ? ?MBS , ?GCK ? KDN ? ?SBN
……………………..9 分 ……………………..10 分
M

??GCM ? ?MBN ??GCM ? ?NBM 得 GM ? MN . 又 GK ? KN ? MK ? KN

……………………..12 分

19.解: (1) 根据表中的数据可得

a ? b ? 21
解得

a ?1
8

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4a ? 2b ? 44
(2)设甲级干果和乙级干果 n 天售完这批货。 由题意得: ?n ? 4n ? n ? 20n ? 1140
2 2

b ? 20 …………..4 分.

解得: n ? 19 当 n ? 19 时, y1 ? 399, y2 ? 741. 毛利润 ? 399 ? 8 ? 741? 6 ? 1140 ? 6 ? 798 (元)……………………..9 分 (3)设第 m 天甲级干果每天的销售量为 ?2m ? 19. 则

(2m ? 19) ? (?2m ? 41) ? 6
?n ? 7
第 7 天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销售量至少多 6 千克. ……………………..14 分 20.解: (1)因为点 A(1,4)在双曲线 y ? 所以 k=4. 故双曲线的函数表达式为 y ? 设点 B(t,

k 上, x

4 . ……………………..2 分 x

4 ) , t ? 0 ,AB 所在直线的函数表达式为 y ? mx ? n ,则有 t
解得 m ? ?

?4 ? m ? n, ? ?4 ? mt ? n, ? ?t

4 4(t ? 1) ,n ? ……………..4 分 t t

于是,直线 AB 与 y 轴的交点坐标为 ? 0,

? ?

4(t ? 1) ? ?, t ?

……………………..5 分

1 ( 4 t ?1 ) ? ?1 ? t ? ? 3 ,整理得 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 , 2 t 1 解得 t ? ?2 ,或 t= (舍去) .所以点 B 的坐标为( ?2 , ?2 ) . 2
故 S ?AOB ? ……………………..8 分 因为点 A,B 都在抛物线 y ? ax2 ? bx (a ? 0)上,所以 ? 分

(第 20 题)

?a ? b ? 4, ?a ? 1, 解得 ? …………10 ?4a ? 2b ? ?2, ?b ? 3.
CO ? 2. BO

(2)如图,因为 AC∥x 轴,所以 C( ?4 ,4) ,于是 CO=4 2 . 又 BO=2 2 ,所以
2

设抛物线 y ? ax ? bx (a ? 0)与 x 轴负半轴相交于点 D, 则点 D 的坐标为( ?3 ,0). 因为∠COD=∠BOD= 45 ? ,所以∠COB= 90 ? . …………12 分

B? ( ?2 ,2)是 CO 的中点,点 A1 的坐 (i)将△ BOA 绕点 O 顺时针旋转 90 ? ,得到△ B?OA 1 .这时,点
标为(4, ?1 ).
9

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延长 OA1 到点 E1 ,使得 OE1 = 2OA1 ,这时点 E1 (8, ?2 )是符合条件的点. …………16 分 (ii)作△ BOA 关于 x 轴的对称图形△ B?OA2 ,得到点 A2 (1,?4 ) ;延长 OA2 到点 E2 ,使得 OE2 =

2OA2 ,这时点 E2(2, ?8 )是符合条件的点.
所以,点 E 的坐标是(8, ?2 ) ,或(2, ?8 ). …………20 分

10


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