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2012年高考试题分类考点50


考点 50
一、填空题

离散型随机变量及其分布列、 离散型随机 变量的均值与方差

1.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运 动员在这五场比赛中得分的方差为_________.

0 8 9 10 3 5
1 s ? ? ( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? n (注:方差
2

图2
? ( xn ? x ) 2 ? ?

,其中 x 为 x1,x2,?,xn 的平均

数)
1 x ? (8 ? 9 ? 10 ? 13 ? 15) ? 11 5 【解析】 , s2 ? 1 ? (8 ? 11) 2 ? (9 ? 11) 2 ? (10 ? 11) 2 ? (13 ? 11) 2 ? (15 ? 11) 2 ? ? ? ? 6.8 5 .

【答案】6.8 二、解答题 2.已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一 个黑球得 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记 随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和. (1)求 X 的分布列. (2)求 X 的数学期望 E(X). 【解析】 (1)X=3,4,5,6,
3 C5 5 P( X ? 3) ? 3 ? C9 42 ,

-1-

1 C52C4 10 P( X ? 4) ? ? 3 C9 21 , 1 2 C5 C4 5 ? 3 C9 14 , 3 C4 1 ? 3 C9 21 ,

P( X ? 5) ?

P( X ? 6) ?

所以 X 的分布列为: X P 3
5 42

4
10 21

5
5 14

6
1 21

15+80+75+12 91 13 ? = 42 21 3 . (2)X 的数学期望 E(X)=

3. 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且 都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频 率 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

从第一个顾客开始办理业务时计时. (Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率. (Ⅱ) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期 望. 【解析】设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如 下:

Y

1

2

3

4

5

P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
-2-

(Ⅰ)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务” ,则事件 A 对应 三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时 间为 3 分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理 业务所需的时间为 1 分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟.所以 P( A) ? P(Y ? 1) P(Y ? 3) ? P(Y ? 3) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) P(Y ? 2)

? 0.1? 0.3 ? 0.3? 0.1? 0.4? 0.4 ? 0.22 .
(Ⅱ)方法一:X 所有可能的取值为 0,1,2.

X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 P( X
? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5



X ? 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需
的时间超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟, 所以 P( X ? 1) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2)

? 0.1? 0.9 ? 0.4 ? 0.49 ;
X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01 , 所以 X 的分布列为 X 0 1 2

P 0.5 0.49 0.01 ∴ EX ? 0? 0.5 ?1? 0.49 ? 2? 0.01 ? 0.51. 方法二:X 所有可能的取值为 0,1,2.
X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过

2 分钟,

所以 P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5 ;
-3-

X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01 ; 所以 P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 2) ? 0.49 ; 所以 X 的分布列为 X 0 1 2

P 0.5 0.49 0.01 ∴ EX ? 0? 0.5 ?1? 0.49 ? 2? 0.01 ? 0.51. 4.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取 了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时 间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷” 与性别有关?

-4-

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采 用随机抽样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体 育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E( X ) 和 方差 D( X ) .
?2 ?
n(n11n22 ? n12 n21 )2 , n1? n2? n?1n?2

附:

【解题指南】(Ⅰ)据频率分布直方图可计算“体育迷” , “非体育迷”人数, 按照提供的公式,计算相关数值,与所给数据比较,获得结论; (Ⅱ)将所有的 基本事件罗列,很容易解决问题. 【解析】(Ⅰ)由所给的频率分布直方图知, “体育迷”人数为 100 ? (10 ? 0.020 ? 10 ? 0.005) ? 25 , “非体育迷”人数为 75,则据题意完成 2? 2 列联表: 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 30 45 75 15 10 25 45 55 100

将 2? 2 列联表的数据代入公式计算:

2 2 ) 100 (n11n? n12 n21 ? n12 n212 )2 n100(30 100 ?10 ? 45?15)2 10? ? 45 ?15) 22 ? ?? 75?25?45?55 ? ? 100(30 ? ? 3.030 ?75 3.030 ?25?45. ?55 33 ? n22 ? n12 ? n21 n11 ? n22 ? n12 ? n21 33

1n22

因为 3.030 ? 3.841 ,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. (Ⅱ)由频率分布直方图知,抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,
1 1 X ~ B(3, ) 4 ,从而 X 4 即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 .由题意,

的分布列


-5-

X P

0
1 0 C3 (1 ? )3 4

1
1 1 1 C3 ( )(1 ? )2 4 4

2
1 2 1 2 C3 ( ) (1 ? ) 4 4

3
3 1 3 C3 ( ) 4

X 的数学期望为

E( X ) ? np ? 3 ?

1 3 9 1 3 D( X ) ? np(1 ? p) ? 3 ? ? ? ? 4 4 16 . 4 4 ,X 的方差为

5. 某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试 题,则使用后该试题回库,并增补一道 A 类型试题和一道 B 类型试题入 库,此次 调题工作结束;若调用的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结 束.试题库中现共有 n ? m道试题, 其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题, 以X 表示两次调题工作完成后,试题库中 A 类型试题的数量. (Ⅰ)求 X ? n ? 2 的概率. (Ⅱ)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望). 【解题指南】 (I)根据 X ? n ? 2 得到两次调题均为 A 类型试题,进而求出概率; (Ⅱ)先求出随机变量 X 的可能取值,再求出取每个值的概率,列出分布列, 求出均值.
n n ?1 ? 【解析】 (I) X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为 m ? n m ? n ? 2 .

(Ⅱ) m ? n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为

p?

1 2,

随机变量 X 可取 n, n ? 1, n ? 2 ,其中 X=n,X=n+1,X=n+2,分别意味着两次调 题都是 B 类型试题、一次 A 类型试题和一次 B 类型试题(先 A 后 B 与先 B 后 A) 、 两次调题均为 A 类型试题,对应概率为
P( X ? n) ? (1 ? p) 2 ? 1 1 1 P( X ? n ? 1) ? 2 p(1 ? p) ? P( X ? n ? 2) ? p 2 ? 4, 2, 4

分布列是
X

n

n ?1
-6-

n?2

P

1 4

1 2

1 4

1 1 1 EX ? n ? ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? ? n ? 1 4 2 4 均值 .
n n ?1 ? 答: (Ⅰ) X ? n ? 2 的概率为 m ? n m ? n ? 2 ;

(Ⅱ)分布列(见上表) , X 的均值为 n ? 1 . 6.某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝10 元的价 格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (1) 若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

日需求量 n 频数

14 10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分 布列,数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 【解题指南】(1) 根据题意建立利润与需求量的分段函数;(2)利用公式求期望 与方差,注意随机变量 X 代表利润; (3)比较购买 17 枝与 16 支的期望,期望 越大越好. 【解析】 (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 . 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 ,
-7-

?10n ? 80(n ? 15) y?? (n ? N ) 80 ( n ? 16) ? 得: .

(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80 ,
P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7 .
X

的分布列为
X
P

60
0.1

70
0.2

80
0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76 .
DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44 .

(ii)购进 17 枝时,当天的利润为
y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4 ,
76.4 ? 76 得:应购进 17 枝.

7.如图,从 A1(1,0,0) ,A2(2,0,0) ,B1(0,1,0) ,B2(0,2,0) ,C1(0,0,1) , C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一 个“立体” ,记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的 3 个点与原点在同 一个平面内,此时“立体”的体积 V=0).

(1)求 V=0 的概率. (2)求 V 的分布列及数学期望. 【解题指南】 (1)列出 V=0 时的三个点的坐标的可能情况,然后除以总的基本
-8-

事件数即得概率,列举时若情况较多,可用排列组合的知识解决; (2)求出 V 取各个值时对应的概率,列分布列,求出数学期望.
3 【解析】 (1)从 6 个点中随机选取 3 个点总共有 C6 ? 20 种取法,选取的 3 个点

与原点在同一个平面内的取法有 C C ? 12 种, 因此 V ? 0 的概率为
1 3 3 4

P ?V ? 0 ? ?

12 3 ? . 20 5

1 1 2 4 0, , , , (2)V 的所有可能取值为 6 3 3 3 ,因此 V 的分布列为

V 0 P 由 V 的分布列可得
3 5

1 6 1 20

1 3 3 20

2 3 3 20

4 3 1 20

3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 EV ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 5 6 20 3 20 3 20 3 20 40
3 8.现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 4 ,命中得 1 分, 2 没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 3 ,每命中一次得 2 分,

没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射 击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率. (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX . 【解题指南】 (Ⅰ)利用间接法来求解,分两类,命中甲一次,命中乙一次.(Ⅱ) 本题考查的是随机变量的分布列及数学期望,先列出得分的所有值,并求出每 个得分所对应的概率,列出分布列,然后根据公式求出数学期望. 【解析】(Ⅰ) 由于射手每次射击的结果相互独立,
7 3 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ?2 ? 36 . 所以 P(命中一次)= 4 3 3 4 3 3
-9-

(Ⅱ) 由题意知得分 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,5,

因此随机变量 X 的分布列为 X P 所以 9.现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为 增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游 戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率. (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率. (Ⅲ)用 X ,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? =|X ? Y | ,求随
- 10 -

0
1 36

1
1 12

2
1 9

3
1 3

4
1 9

5
1 3

机变量 ? 的分布列与数学期望 E? . 【解析】依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏 的概率为 ,设“4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai (i ? 0,1,2,3,4) ,则
2 3 i 1 i 2 4 -i P( Ai ) ? C4 ( )( ) , 3 3 1 3

(Ⅰ)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P( A2 ) ? C42 ( ) 2 ( ) 2 ?

1 3

2 3

8 . 27

(Ⅱ)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事 件 B,则 B ? A3 ? A4 ,由于 A3 与 A4 互斥,故

所以,这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . (III) ? 的所有可能取值为 0,2,4.由于 A1 与 A3 互斥, A0 与 A4 互斥,故

1 9

所以 ? 的分布列是
?

0
8 27

2

4

40 17 81 81 8 40 17 148 随机变量 ? 的数学期望 E? = 0 ? ? 2 ? ? 4 ? ? . 27 81 81 81

P

10.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在 该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如表所示. 一次购物量 顾客数(人) 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上
x

30
- 11 -

25

y

10

结算时间(分钟/人)

1

1.5

2

2.5

3

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互 独立,求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. (注:将频率视为概率) 【解析】 (Ⅰ)由已知,得 所以 x ? 15, y ? 20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次 购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,将频率视为概 率得

X

的分布列为

X P X 的数学期望为
E ( X ) ? 1?

1
3 20

1.5 2 2.5
3 10 1 4 1 5

3
1 10

3 3 1 1 1 ? 1.5 ? ? 2 ? ? 2.5 ? ? 3 ? ? 1.9 20 10 4 5 10 .

(Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟” , X i (i ? 1, 2) 为该 顾客前面第 i 位顾客的结算时间,则
P( A) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5且X 2 ? 1) ,
- 12 -

由于各顾客的结算相互独立,且 X1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以
P( A) ? P( X1 ? 1) ? P (X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1) ? P( X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5) ? P( X 2 ? 1)
? 3 3 3 3 3 3 9 ? ? ? ? ? ? 20 20 20 10 10 20 80 .

9 故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 80 .

11.近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、 可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾 分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统 计如下(单位:吨) : “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 100 240 20 100 30 60

(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率. (Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误的概率. (Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投 放量分别为 a,b,c 其中 a>0,a+b+c=600.当数据 a,b,c 的方差 s2 最大时,写出 a,b,c 的值(结论不要求证明) ,并求此时 s2 的值.
1 s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? n (注: ? ( xn ? x) 2 ]

,其中 x 为数据 x1,x2,?,xn 的平均数)

【解题指南】第(Ⅰ)问厨余垃圾投放正确即厨余垃圾投入到“厨余垃圾”箱 内;第(Ⅱ)问,可以先求对立事件“生活垃圾投放正确”的概率;第(Ⅲ) 问,先求出平均数,再写出方差表达式.方差最大也就是数据相对于平均数的波
- 13 -

动最大. 【解析】 (Ⅰ) (Ⅱ)
P ? 1? P? 400 2 ? 400+100+100 3 .

400 ? 240 ? 60 3 ? 1000 10 .

1 x ? (a ? b ? c) ? 200 (Ⅲ)数据 a,b,c 的平均数为 3 , 1 s 2 ? [(a ? 200) 2 ? (b ? 200) 2 ? (c ? 200) 2 ] 3 方差 ,

可以令 a=600,b=0,c=0,此时方差 s2 最大,最大值为 80000. 12. 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如 下表: 降水量X 工期延误天数Y X<300 300≤X<700 0 2 700≤X<900 6 X≥900 10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别 为 0.3,0.7,0.9,求: (I)工期延误天数 Y 的均值与方差. (Ⅱ)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 【解析】(I)由已知条件和概率的加法公式有: P(X<300)=0.3,P(300≤X<700) =P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700) =0.9-0.7=0.2, 所以 P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为:
- 14 -

Y

0

2 0.4

6 0.2

10 0.1

P 0.3

于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8. (Ⅱ)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(x<300)=0.7, 又 P(300≤x<900)=P(X<900)-P(X<300) =0.9-0.3=0.6. 由条件概率,得 P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)=
P(300 ? X ? 900) 0.6 6 ? ? P(X ? 300) 0.7 7
6 7

故在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 . 13. 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩 分组区间是: ?
40,50? , ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100?

.

(1)求图中 x 的值. (2) 从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人, 该 2 人中成绩在 90 分以上 (含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望. 【解题指南】(1)本小题根据每个区间上的矩形的面积和为 1,可建立关于 x 的
- 15 -

方程,解出 x 的值.(2)解本小题的关键是先求出成绩不低于 80 分的学生数和成 绩在 90 分(含 90 分)以上的学生数.然后分别求出 ? ? 0,1, 2 对应的概率值,再根 据期望公式求解即可. 【解析】(1)由频率分布直方图知 (0.006 ? 3 ? 0.01 ? 0.054 ? x) ?10 ? 1,? x ? 0.018 . (2) 50 ? (0.018 ? 0.006) ?10 ? 12 ,
50 ? 0.006 ?10 ? 3 ,

? 不低于 80 分的学生共 12 人,

90 分(含 90 分)以上的学生共 3 人.
? 的取值为 0,1,2.
P(? ? 0) ?
1 1 C92 6 C9 C3 9 C32 1 ? , P ( ? ? 1) ? ? , P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C12 11 C12 22 C12 22 ,

? E? ? 0 ?

6 9 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 11 22 22 2 .

14.受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车 首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均 为 2 年, 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆, 统计书数据如下: 品 牌 甲
x?2


0? x?2 x?2

首次出现故障时间 x (年) 0 ? x ? 1 1 ? x ? 2 轿车数量 (辆) 每辆利润 (万元) 将频率视为概率,解答下列问题: 2 1 3 2

45 3

5 1.8

45 2.9

(Ⅰ) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在 保修期内的概率. (Ⅱ) 若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1 ,生
- 16 -

产一辆乙品牌轿车的利润为 X 2 ,分别求 X1 , X 2 的分布列. (Ⅲ) 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其 中一种品牌的轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该生产哪种品牌的轿 车?说明理由. 【解析】 ( I )设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A ,则
P( A) ? 2?3 1 ? 50 10 .

(II)依题意得随机变量 X1 的分布列为
X1

1

2

3

随机变量 X 2 的分布列为

P

1 25

3 50

9 10

X2
1.8

2.9

(III)甲品牌.由(II)得

P

1 10

9 10

E ( X 1) ?1 ?

1 3 9 ?2 ? ?3 ? ?2.86 25 50 10

(万元),

E ( X 2 ) ? 1.8 ?

1 9 ? 2.9 ? ? 2.79 10 10 (万元).

因为 E( X1 ) ? E( X 2 ) ,所以应生产甲品牌轿车. 15. 设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相 交时, ? ? 0 ;当两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,
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? ?1.

(1)求概率 P(? ? 0) . (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) . 【解析】 (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个,过任意 1 个顶点恰有 3 条棱, ∴共有 8C3 对相交棱,∴ (2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或
2

P(? ? 0)=

8C32 8 ? 3 4 ? ? 2 C12 66 11 .

2 ,其中距离为 2 的共有

6 对,

6 6 1 6 1 4 1 6 P(? ?P(? 2)= ? 2)= ? 2 ? ? ? P(? ? 1)=1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 2)=1 ? ? = 2 C12 C 66 11 66 11 12 11 11 11 . ∴ ,∴

∴随机变量 ? 的分布列是:
?
P (? )
E (? )=1 ? 6 1 6? 2 ? 2? = 11 11 11 .

0
4 11

1
6 11

2

1 11



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